解题反思 温故知新

季近仁

【摘要】 在初中数学标准中明确指出学生通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验.反思性学习在初中数学学习中尤为重要，而解题教学是数学教学的根本，将反思性数学学习融入现今数学课堂教学中的解题教学，从而引导学生自我反思，养成反思习惯，提高反思能力.

【关键词】 反思；解题；学习

一、反思及反思性学习的概述

在西方研究中，杜宾斯基（Dubinsky）强调了反思作为一种数学理解的有效性.基尔帕特里克 （Kilpatrick）表明反思活动在客观意义上是从元观点演变而来的.在我国的研究中，反思在当代认知心理学中属于元认知范畴，它是指对自身的思维过程、思维结果进行再认识和检验的过程.

反思性学习是一种以学习为中心的自主学习、自我监控和自我评估的学习，是学习者对自己的思维过程、思维结果进行再认识的检验过程，体现了以人为本的理念.反思性学习是一种有效的学习方式，它的基本特征是探究性，即在考查学习活动的经历中探究其中的问题和答案，重新建构自己的理解，从而学会学习，使学习活动变成一种有目标、有策略的主动行为.

二、解题教学中的反思性学习

在课堂教学中，解题教学不仅能帮助学生透过现象认识本质，而且有利于学生养成良好的反思习惯.解题过程的反思实际上是解题学习的信息反馈调控阶段，通过反思，有利于提高学生深层次的构建.课堂解题教学的反思性学习主要体现在解题的一般化、特殊化和类比.

1. 一般化思想的反思性学习

一般化是从对象的一个给定集合进而考虑到包含这个给定集合的更大的集合.例如在解答后的反思中将题目的已知条件替换成一般形式，进行了更广泛的推广，得到了更一般的结论，使学生的知识网络化，完善认知结构.

例1 （1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“>”、“<”或“=”）

①12 21，②23 32，③34 43，

④45 54，⑤56 65，……

（2）由（1）可以猜测nn+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n 时，nn+1 < （n + 1）n；当n 时，nn+1 > （n + 1）n.

解析 第一小问通过具体的数字来进行计算，答案是①< ②< ③> ④> ⑤>，第二小问将第一小问的具体数字用抽象的字母n来代替，体现了一般化的数学思想方法，通过对第一小问的反思，进行简单的归纳和总结，我们得到当n = 1或2时，nn+1 < （n + 1）n；当n > 2时，nn+1 > （n + 1）n.

（2）特殊化思想的反思性学习

特殊化是从对象的一个给定集合，转而考虑包含在这集合内的较小的集合.例如从多边形转而考虑正n边形，从正n边形转而特别考虑等边三角形.

例2 观察：1·2·3·4 + 1 = 52

2·3·4·5 + 1 = 112

3·4·5·6 + 1 = 192

…

（1）请你用含n的数学式子表示第n个等式；

（2）根据（1），计算2006·2007·2008·2009 + 1的结果.（用一个最简式子表示）

解析 本题给出了几组等式，这几组等式有相似的格式，从格式中抽象出一般的情况（第一小问）体现了一般化的思想方法，答案是n（n + 1）（n + 2）（n + 3） + 1 = [n（n + 3） + 1]2.在第一小问的基础上进行反思，发现第二小问是对第一小问的特殊化，将数值带入第一小问，就可以得到答案（2006 × 2009 + 1）2.

（3）类比思想的反思性学习

类比源自希腊文“analogia”，原意之一为比例.类比是某种类型的相似性，两个系统可作类比，如果他们各自部分之间，在其可以清楚定义的一些关系上一致的话.例如，在平面上的一个三角形可与空间的一个四面体作类比，一个三角形和一个棱锥也可以看作类比的图形.类比思想的本质就是相似性，在数学解题教学中，类比思想的反思性学习能够帮助学生得到与题目对象相似的另一对象的对应结论.

例3：（1）如图（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O.

a）若∠A = 60°，求∠BOC的度数.

b）若∠A = n°，则∠BOC = .

解析：b）小题相对于a）小题，体现了数学思想中的一般化思想，将题目条件中具体的数值用抽象字母代替，解题思路没有太大的变化. a）小题答案是120°， b）小题答案是（90 + n） °

（2）如图（2），在△A′B′C′中的外角平分线相交于点O′，∠A′ = 40°，求∠B′O′C′的度数.

解析：第二小问本身是第一小题的类比，从第一小问中已知条件的内角平分线，变成了外角平分线，但是所给的角度是一个具体值，方便学生计算，答案是70°.在解答完本小问后，仿照第一小问的模式，我们通过反思可以把题目类比改成：如图（2），在△A′B′C′中的外角平分线相交于点O′，∠A′=n°，求∠B′O′C′的度数.从而将题目推到了一般化的情况.答案是（90 - n） °.

我们注意到，我们讨论了三角形两个内角的平分线相交，两个外角的平分线相交，反思一下，一个内角平分线和一个外角平分线相交的情况是什么呢？

数学中的很多知识都是有联系的，相似的，运用类比思想有利于举一反三，得到相似对象的对应结论，帮助学生以不变应万变，提高解题技巧.

三、小 结

通过上述分析，可以看出反思性学习在初中数学解题教学中的地位举足轻重，反思性数学学习充分体现了新课程的理念，符合新课程的要求，有利于发展学生的思维，发展学生的反思能力，提高学生的综合能力.