范德蒙德行列式的应用

陈莹

【摘要】用增补法（升阶法） 说明了范德蒙（Vandermonde） 行列式的一个性质，并使其能解决一类行列式的计算问题。

【关键词】范德蒙德行列式 行列式 行列式计算 推广

引言

范德蒙德行列式的特点是行列式的每一列都是某个数的不同方幕， 且由上而下方幕次数由0递增至n-1。利用范德蒙德行列式计算行列式， 应当先根据范德蒙德行列式的上述特点， 然后利用其结果计算。利用范德蒙德行列式的结论计算并不复杂，难的是如何将给定的行列式化成范式的标准形式。所给行列式各列（或各行） 都是某元素的不同次幂，但其幂次数的排列与范德蒙德行列式不完全相同，需利用行列式性质（如提取公因式，调换各行（或各列） 的次序，拆项等）

1主要结果

2综合应用

由于行列式是方形的， 设 ， 则指数集合 ， 中必存 t在位空缺数字， 设它们是 。于是行列式中将缺少指数为 ， 的各行， 可简写为

先研究只缺1行的情况， 即

作一新行列式‘ ” ， 将指数为i的那行补齐， 并补充以y为变量1的列， 即

易知“ 为一范德蒙德行列式， 故 将‘ 行列式与它的展开式即上式对比， 得

以下研究缺行的情况

则行列式与 之乘积中 的系数为行列式

3范德蒙德行列式例题

解：本项中行列式的排列规律与范德蒙德行列式的排

列规律正好相反，为使Dn + 1中各列元素的方幂次数自上而

下递升排列，将第n + 1 行依次与上行交换直至第1 行，第n

行依次与上行交换直至第2 行……第2 行依次与上行交换

直至第n 行，于是共经过

次行的交换得到n + 1 阶范德蒙德行列式：

若Dn 的第i 行（列） 由两个分行（列） 所组成，其中任意

相邻两行（列） 均含相同分行（列） ；且Dn 中含有由n 个分行

（列） 组成的范德蒙德行列式，那么将Dn 的第i 行（列） 乘以- 1 加到第（i + 1） 行（列） ，消除一些分行（列） ，即可化成范

德蒙德行列式：

总结

范德蒙德行列式在解决数学问题中有十分重要的作用，本文主要介绍了有关范德蒙德行列式的结论，和简单的范德蒙德行列式的计算。范德蒙德行列式是一种特殊形的行列式，在计算方面有很强的技巧性。所以在行列式的计算中应用范德蒙德行列式，简便计算。范德蒙德行列式在其他定理推理中也有重要作用。范德蒙德行列式应用其实很广泛。本文只是一小部分。

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