完全平方公式与平方差公式

李炳学

完全平方公式的数学表达式：

（a+b）2= a2 +2ab+b2

（a-b）2= a2 - 2ab+b2

完全平方公式的文字叙述：

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.

你能根据图1中和图2的面积说明完全平方公式吗？

图1 图2

完全平方公式 的几何意义

和的完全平方公式

（a+b）2= a2 +2ab+b2

差的完全平方公式：

（a-b）2= a2 - 2ab+b2

公式特征：（a+b）2= a2 +2ab+b2 （a-b）2= a2 - 2ab+b2

1、积为二次三项式；

2、积中两项为两数的平方和；

3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.首平方，尾平方，积的2倍放中央 .

4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.

想一想： 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？

（1）（x+y）2=x2 +y2 错 （x +y）2 =x2+2xy +y2

（2）（x -y）2 =x2 -y2 错 （x -y）2 =x2 -2xy +y2

（3） （-x +y）2 =x2+2xy +y2 错 （-x +y）2 =x2 -2xy +y2

（4） （2x+y）2 =4x2 +2xy +y2 错 （2x +y）2 =4x2+4xy +y2

例1、运用完全平方公式计算：

（1）（4m+n）2

解： （4m+n）2= （4m）2 +2·（4m） ·n +n2 =16m2 +8mn +n2

（2）（x-2y）2

解： （x-2y）2= x2 -2·x ·2y +（2y）2 =x2 -4xy +4y2

例2、运用完全平方公式计算：

（1） 1022

解： 1022 = （100+2）2 =10000+400+4 =10404

（2） 992

解： 992 = （100 –1）2 =10000 -200+1 =9801

思考

（a+b）2与（-a-b）2相等吗？ （a-b）2与（b-a）2相等吗？ （a-b）2与a2-b2相等吗？ 为什么？

拓展练习：

1. =_______；

2.若 是一个完全平方公式， 则 _______；

3.若 是一个完全平方公式， 则 _______；

观察等式

两数和与这两数差的积等于这两数的平方差

概括总结

公式中的字母的意义很广泛，可以代表常数，单项式或多项式

平方差公式的特征：

（1）等号左边是两个数（字母）的和乘以这两个数（字母）的差.

（2）等号右边是这两个数（字母）的平方差.

注：必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方差公式

练一练

（a+b）（a-b）= a2-b2

阅读算式，按要求填写下面的表格

能力提高