用微元思想推导一维波动方程

郑承民

【摘要】本文应用微元分析方法，逐步、详细地推导出弦振动的波动方程，为教师教学、学生学习提供一种新的思维方式.

【关键词】微元思想；弦振动；波动方程

【中图分类号】O175.23 【文献标识码】A

1.引 言

探讨弦的横向振动是学习数学物理方程这门课程首先遇到的典型问题，也是学习偏微分方程入门时，学习者将要探讨的物理问题.我们将应用微元思想分析和推导弦的一维波动方程.

首先回顾一下，在学习函数在某点连续的定义时，学习者初次对函数局部分析这一分析方法有所认识.接着又学习函数在一点的导数定义，学习者逐渐适应从对函数整体分析转向在函数的某一点或者某一区间内的分析.后续学习定积分运算的定义，进一步学习从整体分析到局部分析、再转向整体的方法.通过学习和理解这些数学概念，逐步建立微元思想.

在研究对象上取出很小很小的一部分，记为Δ，面对这一很小的Δ，对其进行质量分析、受力分析…… 由于Δ很小，假设在Δ上质量分布均匀，受力均匀，那么对Δ的质量就可按照常规的算法来计算，对Δ的受力分析也可如此法完成.

2.问题的描述

设有一根柔软且有弹性的细弦，长度为l，两端拉紧后，让弦离开平衡位置，在垂直于弦线的恢复力作用下做微小的橫向振动，求在不同时刻不同位置弦线的运动状态.

3.理解问题、分析问题

（1）首先理解问题的条件，在文献[1][2]中都有相关的解释和假定.“柔软”是指弦可以任意地变形，但不会产生抵抗力.“橫向振动”是指在一个平面内，弦上各点的运动方向垂直于最初的平衡位置.

现在分析弦上各点处的张力.为方便分析，取弦上一小段，放大如图1，以弦上点A为例，A也表示在点A处的截面，截面两侧间原来存在的相互作用力分别表示为T1和T2，如图2、图3，T1表示点A处的左段弦对截面A的张力，T2表示A的右段弦对截面A的张力.当把弦看成线时，张力T1和T2可取在点A处的切线上，方向相反.

（2）建立坐标系.假设弦最初静止平衡状态所在直线为x轴，用u（x，t）表示t时刻弦上点x处的横向位移，x∈[0，l].

在弦上任意点M（x，u（x，t））处，取一小段非常短的弧线Δs，如图4，对应弧段MQ，对应区间[x，x+Δx].Q点坐标可记为Q（x+Δx，u（x+Δx，t））.过点M作切线MP，记倾斜角为α.

当Δx→0时，弦上的点Q趋向于切线上的点P，即线段PQ→0，同时△MQN→△MPN.若弦足够光滑时，可以把弧段MQ看作线段MP.

由定义ux=limΔx→0u（x+Δx，t）-u（x，t）Δx=ux，且ux=tanα，在△MPN中可假设MN=1，PN=ux.因而经计算可得到MP=1+u已知条件中“微小的橫向振动”是指弦的弯曲很微小，从前面分析可知此时线段QN很短，且线段PN的长也很小，即倾斜角α很微小.由于ux≈tanα，因而ux很微小.由此有sinα=ux1+u2x≈ux，且cosα=11+u2x≈1.

当MN=Δx时，则有MP=1+u2x·Δx，由前面的分析可以得出弧微元的长度.

Δs=弦MQ的长度≈1+u2x·Δx≈Δx.（1）

4.解决问题

假设弦的质量线密度为ρ（x），则弧微元MQ的质量可记为ρ（x）Δs≈ρ（x）Δx，此为弧微元Δs的质量，可叫作质量微元.质量微元所受惯性力为ρ（x）Δx·a，其中a表示加速度，a=2u（x，t）t2=utt，即

弧微元MQ所受惯性力=ρ（x）utt·Δx.（2）

如图5，作用在点M，Q处的张力分别记为T1，T2，其方向取向源自图1-3.点M，Q处切线与水平方向的夹角分别记为α，β.

因为∫l01+u2xdx≈∫l01+0dx=l，即弧微元MQ在左右方向没有发生位移，这表明弦在振动过程中，在所要求的精确范围内没有伸长.根据牛顿第二定律F=ma，水平方向合力为0，即T1+T2=0，由此得出T1=T2，即弦上各点处张力的大小相同，不妨记为T.

因点M处的张力T1在纵向的分量为T1sinα=-Tux（x，t），且在点Q处张力T2在纵向的分量为T1sinβ=Tux（x+Δx，t），得【参考文献】

[1]陈明文，刘宇.数学物理方程[M].北京：机械工业出版社，2013：1-3.

[2]包继光，朱汝金.偏微分方程[M].北京：北京大学出版社，2011：15-17.