拓展双曲函数法和变系数mKdV方程的新精确解

陈添树　郑筱筱

【摘要】本文应用拓展双曲函数方法，结合首次积分和Riccati方法，得到变系数mKdV方程的精确解.应用此方法，可以得到方程的丰富的具有一般形式的精确解.比如，三角函数解、双周期函数解、整式形式解.此方法适用于求解一大类非线性偏微分发展方程.

【关键词】变系数mKdV方程；拓展双曲函数法；精确解

1.引 言

20世纪60年代以来，非线性科学得到了飞速发展，在非线性偏微分方程的求解方面也取得了许多成果.由于非线性方程的复杂性，许多人致力于利用不同的方法寻求方程的一般精确解.例如，双曲函数展开法、Hirota双线性方法、齐次平衡法、首次积分法等.过去，很多学者研究常系数KdV和 mKdV方程，得到了很好的结果.然而，实际应用中更多地出现变系数偏微分方程.因此，变系数发展方程求解问题具有重要意义.

本文讨论了变系数mKdV方程：ut+α（t）ux+6β（t）u2ux+β（t）uxxx=0.（1.1）

其中α（t）和β（t）关于t一次连续可微.尚亚东、郑筱筱、戴朝卿等采用各种方法求得了一些精确解.本文通过拓展双曲函数法，得到方程（1.1）丰富的新精确解.此方法也可以应用于求解其他类型的方程，得到多样化的、丰富的新精确解.

2.拓展双曲函数法

首先，考虑如下的耦合Riccati方程：

我们知道，耦合的Riccati方程有如下的一般解：

下面，给出拓展双曲函数法求解偏微分方程的一般步骤：

步骤一：给定一非线性偏微分方程： P（u，ut，ux，uxt，uxx，…，）=0.（2.3）其中u=u（x，t）为未知函数，P是关于u及其各阶偏导数的多项式.

假设方程（2.3）有如下形式的解：

其中Ai（x，t），Bi（x，t）和ξ=ξ（x，t）是关于x和t的待定函数，且均不为零.

将（2.4）和（2.5）代入（2.3），联合（2.1）和（2.2），得到关于f（ξ），g（ξ）的m阶多项式.

步骤二：利用齐次平衡原理，得到了平衡系数m，且m必须为正整数.

步骤三： 令fi（ξ）g（ξ）和g（ξ）的系数为零，得到一代数方程组，利用maple进行符号计算，

确定Ai（x，t），Bi（x，t），r，ξ（x，t）.将结果代回（2.4）或（2.5），得到方程（2.3）的精确解.

3.变系数mKdV方程（1.1）的精确解

首先，我们通过平衡u2ux和uxxx，得到2m+（m+1）=m+3，于是m=1.

（1）当ε=±1，有 u（x，t）=A2（x，t）f（ξ）+A1（x，t）g（ξ）+A0（x，t）.（3.1）

（2）当ε=0，有u（x，t）=A1（x，t）g（ξ）+A0（x，t）.（3.2）

其中，ξ=p（t）x+q（t），Ai（x，t）（i=0，1，2），p（t），q（t）待定.

将（3.1），（3.2）代回（1.1）式，联合（2.1），（2.2），得到关于f（ξ）和g（ξ）的多项式.令fi（ξ）g（ξ）以及g（ξ）的系数为零，得到一常微分方程组，通过maple计算，可得：

4.总结与综述

本文应用拓展双曲函数法和齐次平衡法，对变系数mKdV进行了精确解的运算，得出了3种类型、总共22个不同的解，其中包括双曲函数解、三角函数解以及整式形式解等，丰富了变系数mKdV的解的形式.本文所用的方法可以应用于其他的变系数发展偏微分方程.

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