第二类曲面积分的计算方法和技巧

刘春梅　周立平　匡彪

【摘要】第二类曲面积分的计算是积分运用中的一个难点，若能巧妙地运用方法去求解，则可以大大地简化计算.本文介绍了几种常见的求解第二类曲面积分的方法，还给出了利用变量的轮换对称来简化第二类曲面积分的计算，使第二类曲面积分的计算更加简洁.

【关键词】第二类曲面积分；计算方法；计算技巧

【中图分类号】O13 【文献标识码】A

一、绪 论

曲面积分是高等数学多元函数积分学中的重要组成部分，也是数学分析中一类具有挑战性的问题，从而如何计算曲面积分已成为学习中的重点和难点.在第二类曲面积分的学习过程中，学生必须在理解概念的同时，掌握求第二类曲面积分的方法和技巧.由于第二类曲面积分的概念比较抽象，难理解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，因此本文对第二类曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.

本文先通过找出每种方法的适用条件，然后针对具体的题目寻找解题技巧.如文献[1-2]主要介绍平面投影法、高斯公式这两种方法，在文献[3-6]中主要介绍了利用定义法、斯托克斯公式、参数方程法求第二类曲面积分.而本文将主要针对第二类曲面积分的计算方法进行分析和归纳，并总结解题的思路和技巧，以帮助加深对基本概念的理解，加强对基本解题方法与技巧的掌握，进而提高学生学习能力和数学思维水平.

二、第二类曲面积分的方法

1.定义法

设R是定义在光滑曲面S：z=z（x，y），（x，y）∈Dxy上的连续函数，以S的上侧为正侧，则有SR（x，y，z）dxdy=DxyR（x，y，z（x，y））dxdy.

定义法主要适用于当单位法向量容易求得且易于表达的情形.

2.高斯公式

定义 在空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成，若函数P，Q，R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则

高斯公式的实质为空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系（该公式只对闭曲面成立，且将第二类曲面积分化为三重积分）.当空间曲面较为复杂但差一个简单曲面或平面时，可以利用补面法将曲面补齐，并进行计算，此时也应该特别注意方向的判断.

例1 计算J=Sy（x-z）dydz+x2dzdx+（y2+xz）dxdy，其中S为曲面z=5-x2-y2上z≥1的部分，并取外侧.

分析 由于S不是封闭的空间区域，则不能直接使用高斯公式.为此添加一曲面S1：x2+y2≤4，z=1，并取下侧，那么S∪S1构成了封闭曲面，从而原积分的计算转化为较简单的三重积分和S1上的第二类曲面积分的计算.

解 令S1：x2+y2≤4，z=1，并取下侧，结合高斯公式有：

其中V为S∪S1所围成的空间区域，Dxy为S1在xy坐标平面上的投影区域.

3.斯托克斯公式

斯托克斯公式是建立沿空间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L的积分之间的联系.对曲面S的侧与其边界曲线L行走，指定的侧总在人的左边，则人前进的方向为边界曲线L的正向，这个规定方向也成为右手法则.

定义 若P=P（x，y，z），Q=Q（x，y，z），R=R（x，y，z）都是连续可微分函数和C为限制逐片光滑的有界双面曲面S的逐段光滑的简单封闭周线，则产生斯托克斯公式：

CcPdx+Qdy+Rdz=ScosαcosβcosγxyzPQRdS，式中cosα，cosβ，cosγ是指向周线C逆时针方向（对于右旋坐标系）环绕的那一面的曲面S的法线方向余弦.

注：如果是封闭的可以直接运用斯托克斯公式进行计算，如果不是封闭的，那就应该适当地添加一些辅助线段，使其成为封闭的，然后再运用斯托克斯公式.

4.平面投影法

平面投影法是计算第二类曲面积分的基础方法，可以概括为“投影、描述、代入”，此积分包括三个积分，如计算∑R（x，y，z）dxdy：第一步，将∑在xOy面投影，得投影区域D

3.

总结 在用平面投影计算第二类曲面积分的时候，如果被积函数是偶函数或者奇函数的时候可以利用性质进行求解，就可以简化计算.

5.参数方程法

参数法是计算第二类曲面积分的最常用方法，将其转化为定积分，应用时要特别注意上下限的确定（根据所给的方向而不是大小），常用于球面参数和柱面参数，由球面可推椭球面，其他参数由于计算复杂使用不多.其中球面参数、柱面参数如下：

球面参数S：x=rsinφcosθ，0≤r≤+∞y=rsinφsinθ，0≤φ≤πz=rcosφ，0≤θ≤2π，其中雅克比行列式为r2sinφ；

柱面参数S：x=rcosθ，0≤r≤+∞y=rsinθ，0≤θ≤2πz=z，-∞

例3 计算积分Sxyzdxdy，其中S是球面x2+y2+z2=1在x≥0，y≥0部分取外侧.

解 对S：x2+y2+z2=1 在x≥0，y≥0部分取上下侧得z=±1-x2-y2，球面在xOy标面上的投影为Dxy=（x，y）|x2+y2≤1，x≥0，y≥0，于是有

（2）若被积函数关于x是偶函数，∑关于yOz面对称，则∑dydz=0；若被积函数关于y是偶函数，∑关于xOz面对称，则∑dzdx=0；若被积函数关于z是偶函数，∑关于xOy面对称，则∑dxdy=0.

结 语

以上的一些例题介绍了一些常见的利用定积分求解无穷项和式极限的思路和方法，它们都基于定积分的定义以及一些常用的极限计算方法.但与此同时，也不可对此类问题思维定式，毕竟不是所有的无穷项和式极限都能用定积分定义求解的，关键还是要符合定积分的定义.

【参考文献】

[1]同济大学应用数学系.高等数学：上册[M].第六版.北京：高等教育出版社，2011：225-226.

[2]国防科学技术大学大学数学竞赛指导组.大学数学竞赛指导[M].北京：清华大学出版社，2012.