实变函数中的若干反例

黄金锐

【摘要】本文针对实变函数中几个特定问题构造出相应的反例，并给出严格的证明，同时做了进一步的讨论.

【关键词】可测函数；点点收敛；依测度收敛

【中图分类号】O174

1.复合函数的依测度收敛

命题“f∈C（Ω），ΩRn，gk依测度收敛于g，则fogk依测度收敛于fog.”是不成立的（[1][2]得出在添加条件m（Ω）<∞或者{gk}一致有界且Ω为闭集时命题成立），下文构造该命题的反例，本例中的{f～k}也可以作为点点收敛而不依测度收敛的反例.下文中gk依测度收敛于g简记为gkmg.

2.依测度收敛函数列的有界性

问题相当于是当函数列依测度收敛时，能否去掉测度足够小的点集，使得函数列一致有界.

下文同样构造出在m（Ω）<∞情况下的反例：

另一方面，N>0，mE（∪∞n=1k≤2ng（n）k（x）>N）≥mE（∪n≥Nk≤2ng（n）k（x）>N）=m（[0，1]）=1，与问题所求相悖.

注：例4也是问题（*）在m（Ω）<∞以及gk有界情况下的反例.

3.结 语

在实变函数的学习中，反例的作用十分重要，往往是寻找充分条件和改进条件的重要依据.文章以一个简单而有趣的例子作为结束.考虑以下命题：f在x=x0处可导，f′（x0）≠0，则f在x0某邻域内均单调.命题不成立.容易误解为f′在x0点连续时，则会觉得命题是成立的.

例4 f（x）=x2sin1x+x2， x≠0，0，x=0.

证明 f′（0）=limx→0f（x）-f（0）x=limx→0xsin1x+12=12>0，f′（x）=2xsin1x-cos1x+12，

取xn=12nπ， n∈Z+，则：f′（xn）=-12<0.证毕.

【参考文献】

[1]胡适耕，刘金山.实变函数与泛函分析定理、方法、问题[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]邓东皋，常心怡.实变函数简明教程[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]王晋勋.实变函数论中的几个问题与反例[J].韶关学院学报，2006（27，12）：16-18.

[4]Gelbaum B. Problems in Analysis[M]. Berlin：SpringerVerlag， 1982.