关于《高等数学》中函数连续性概念教学的探讨

王岳

【摘要】函数连续性是高等数学中用极限研究函数性质的第一处重要概念，连续的概念是学生在生活中经常接触的，如何让学生从生活实例抽象出共性的函数关系去深入理解这一概念是教学的重点.教学中我们将函数在一点连续的两个等价定义分为静态和动态两种形式进行教学设计，在教学实践中分别从静态和动态的角度分析定义，并指明静态定义和动态定义的等价关系，使学生更形象深入地理解概念的本质.

【关键词】连续性；极限；概念教学；教学过程

《高等数学》第一章“函数的极限与连续”的内容中，一个非常重要的概念就是“函数的连续性”.函数的连续性是函数的一个最基本的概念，是高等数学学习的基础.函数连续性的定义对分析函数的性质，以及讨论由实际问题所建立起的函数的性质，并通过这些性质解决实际问题具有重要理论与实际意义.连续性是自然界中各种物体连续变化的数学体现，是其在函数关系上的具体反映.“函数的连续性”这节内容是运用高等数学中极限的方法对连续性的现象进行描述和研究.为了使学生能更好地掌握这一概念，加深对概念的理解，并能通过学习体会概念与生活实例的联系，在此，我们探讨一下函数在一点连续这一重要概念的教学过程.

一、函数连续性教学探讨的必要性

首先，由于在自然界中存在很多常见的连续现象，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等都是连续地变化着的，尽管连续性的物理意义和几何直观都比较浅显，但在学习中仍需要给连续性下一个明确的数学定义，这是因为在实际问题中常要遇到很复杂的函数，在考察它们的性质包括连续性时，它们不一定都有清晰的物理背景和简单的几何直观，因而仅靠感觉是无法进行准确的运算和推理的.在学习这节内容之前，学生对这一概念并不完全陌生，但他们头脑中的连续完全是由上述一些原形形成的生活中的概念，如何让学生去寻求这些现象的共性，结合这些现象去理解数学中连续的概念，是函数连续性这节教学的重点.

其次，在《高等数学》第一章学习了极限概念之后给出连续的概念，是高数中第一处运用极限的知识去研究函数的性质，具有非常重要的地位，也是学生学好高等数学后续内容的基础.

二、函数在一点连续教学过程的具体实现

高等数学中，函数在一点连续有两个等价的定义式，分别为：limΔx→0Δy=0和limx→x0f（x）=f（x0）.在教学过程中，我们如果仅仅是照本宣科地依次讲解、推导这两个概念，并不一定能起到学生加深理解的作用和效果.我们可以更形象的将这两个定义分为“静态定义”和“动态定义”两种形式，分别从静态和动态两个角度结合图像来讲述“函数在一点连续”这一重要概念的含义.使学生从多角度加深对连续性概念的理解.

1.静态定义

大部分课本上，静态定义式是由动态定义式推导出来的，在此，我们可以运用一种更形象的分析方法：研究函数在某一点是否连续，可以先让学生观察函数图像，一般意义上我们理解的函数在一点x0处连续对应到图像上就是函数图像在这点处不间断.如果函数图像在x0处断开了，那么，对于断开处的点f（x0）本身而言，我们可以把它归到图像的左边部分，也可以归到右边部分.若将这点归到左侧图像，则能得到函数在这一点的左极限恰好等于这一点的函数值，即：limx→x-0f（x）=f（x0）（如图1）；若将此点归到右侧图像，则得到函数在这一点的右极限恰好等于这一点的函数值，即：limx→x+0f（x）=f（x0）（如图2）.

如果函数图像在这点处没有发生间断，则这点既可以归到左侧图像，也可以归到右侧图像，根据左右极限的定义，我们就得到关系式limx→x0f（x）=f（x0）成立（如图3）.此时，函数在这点处是连续的.因此，函数在一点连续的定义可叙述为：

定义1 设函数y=f（x）在点x0的某个邻域U（x0）内有定义，如果limx→x0f（x）存在，且等于f（x0），即limx→x0f（x）=f（x0），则称函数y=f（x）在点x0处连续，点x0称为函数的连续点.

由于在这个研究过程中，我们把x0点看作是相对静止的，所以这个定义我们把它称为“静态定义”.结合上述定义以及函数左右极限的定义，我们得到，当limx→x-0f（x）=f（x0）成立时，称函数f（x）在x0点左连续，limx→x+0f（x）=f（x0）成立时，称函数f（x）在x0点右连续.因此，函数在点x0连续的充分必要条件是：函数在点x0既左连续，又右连续.

而且，由静态定义我们可以分析得出，函数f（x）在点x0处连续须下述三个条件皆满足：（1）f（x）在点x0的某邻域内有定义；（2）极限limx→x0f（x）存在；（3）极限limx→x0f（x）的值等于该点函数值f（x0）.我们常用上述三个条件来讨论函数在f（x）某点处是否连续.这样，就可以引导学生在理解概念的基础上，学会通过三步具体步骤来掌握利用静态定义判断函数在一点处是否连续.

例1 讨论函数f（x）=x2-1x-1，1， x≠1，x=1在x=1处连续性.

解 由于f（1）=1，limx→1f（x）=limx→1x2-1x-1=2，limx→1f（x）≠f（1），所以函数在x=1处的不连续.

不同分段函数的分段方式不同，对于分段点两侧表达式不同的分段函数，我们可以分别研究函数在一点是否左、右连续，来判断函数在该点是否连续.因此，讲完例1，我们可以再给出学生一个此类例题加以分析对比.

例2 讨论函数f（x）=1+cosx，sinx， x<π2，x≥π2在x=π2处的连续性.

分析 由于f（x）在x=π2处的左、右表达式不同，所以先讨论函数f（x）在π2处的左、右连续性.

解 由于limx→π2-f（x）=limx→π2-（1+cosx）=1+cosπ2=1=fπ2，

limx→π2+f（x）=limx→π2+（sinx）=sinπ2=1=fπ2，

所以，函数f（x）在x=π2处左连续且右连续，从而函数f（x）在x=π2处连续.

分析了这两个例题后，引导学生比较两个题目的解法，使学生通过差异对比，灵活掌握判断函数在一点连续的方法.

2.动态定义

函数在x0处连续的定义还可以用在几何上更为直观的动态定义来叙述.我们把x表示成x=x0+Δx，这样变量x可以看成在x0处有了一个增量Δx，相应的，函数值f（x0+Δx）与f（x0）也相差一个增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），按这种记法，在x0处，当|Δx|很微小时，Δy也很微小.特别当Δx→0时，也有Δy→0，即当自变量发生微小改变时，函数的相应变化也非常微小.这就是函数y=f（x）在x0处连续的实质，由此函数在一点连续的定义也可以叙述为：

定义2 设函数y=f（x）在点x0的某个邻域U（x0）内有定义，如果在x0处，当自变量的增量Δx趋于零时，对应的函数的增量Δy也趋于零，即： limΔx→0Δy=limΔx→0[f（x0+Δx）-f（x0）]=0，则称函数y=f（x）在点x0处连续，点x0称为函数f（x）的连续点.

这个定义过程，体现了函数在x0点自变量和因变量的动态变化的过程，因此我们称为函数在一点连续的“动态定义”.

根据动态定义，我们引导学生观察下列两图：由图4可以看出，函数y=f（x）是连续变化的，它的图像是一条不间断的曲线.当x0保持不变而让Δx无限趋近于零时，曲线上的点N就沿着曲线趋近于点M，即Δy趋近于零.符合连续的动态定义.而由图5可以看出，函数y=φ（x）不是连续变化的.它的图像是一条在点x0处间断的曲线.当x0保持不变，让Δx无限趋近于零时，曲线上的点N就沿着曲线趋近于点N′，Δy不能趋近于零，不符合连续的动态定义，所以函数y=φ（x）在点x0处不连续.

借助图像的直观性，学生能进一步深入理解动态定义的实质.

3.静态与动态的等价关系

静态定义和动态定义只是从不同角度、运用不同方法来研究的函数在一点的连续性，两个定义的实质是等价的，可以互相推导得到.课堂上，我们可以给学生推导从动态定义式推出静态定义式的过程，让其在课下推导其反过程，加深对定义的理解巩固.

在动态定义式中，limΔx→0Δy=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）=0，若记x=x0+Δx，则Δx=x-x0，相应的函数的改变量为Δy=f（x）-f（x0），当Δx→0时，即x→x0时，Δy→0，即[f（x）-f（x0）]→0，也就是f（x）→f（x0），于是就得到limx→x0f（x）=f（x0），反之，由静态定义式也可以推导出动态定义式，可以让学生自行推导.由此，通过授课教师的分析和学生的实践，得出两个公式是完全等价的.在不同的情形下，可以根据已知条件灵活选择不同的公式来判断函数在一点是否连续.

以上提出了“函数连续性”这一概念教学的一种新方法，在我们实际授课过程中这种形象、生动的教学方法，学生易于接受，通过数形结合进一步加深理解，在老师的引导和启发下，他们通过观察、对比从多角度深入理解了概念本质，收到了良好的效果.对这个概念有了全面深入的分析以后，后面我们再进行函数在区间上的连续性教学时，学生就相对更容易理解和接受了.