高等数学教育重在培识

何正风

【摘要】高等数学不能再只是教会学生怎么计算的工具，而应该是通过高等数学这个载体教会学生思维更具开放性、逻辑性，如何识大体，把握解决问题的方向和方法的能力，成为厚积薄发的有“识”之士.

【关键词】高等数学；高等数学教育；识

随着时代的不断进步，高等教育的普及，越来越多的学生进入到大学学习，大学课程也在不断地更替和发展中.而高等数学这门经典的课程，却作为一门重要的基础课被保留至今，并且随着数学在各个行业的广泛应用，高等数学在大学的课程体系中占据了越来越重要的位置：越来越多的专业把高等数学选为必修的基础课程，它不仅是理工科的专业基础课，也是综合管理专业的基础课，甚至许多的综合文科也把它列为通识基础课.这显然是因为高等数学在现代科学与技术中的重要作用而产生的效果；更重要的是高等数学所蕴含的数学文化、思维方法及推理逻辑，更是在大学生的素质结构中成为越来越重要的一部分.

然而，几十年来高等数学的教学模式几乎还是单纯知识传授型的教学模式：教学模式单一，过于强调知识的系统性和完整性，不太重视学生数学素质与实践能力的培养，与实际应用相去甚远，教学过程中，学生基本处于消极接受状态，很少参与教学过程.加之内容抽象，学习难度较高，许多学生缺乏学习数学的兴趣、热情与积极性.他们“轻概念重计算”，误以为学数学就是学一些运算技巧，对所学的数学概念的理解很肤浅，很难以数学为工具去解决本专业所涉及的实际问题.事实上，对于相当部分的学生来说，在他们以后的工作和生活中，几乎甚至完全用不到高等数学；即便是部分学生在以后的工作中需要用到一些高等数学的知识，那也在他们毕业的时候忘得差不多了.那么，高等数学教育的意义何在呢？数学教育问题归根到底是如何以数学育人的问题，数学教育与其他学科教育的根本区别是载体的不同，高等数学这一载体从教育意义上来看，它充满了原创者深刻的蕴含和卓越的见识，而这种蕴含与见识是对数学、方法、关系的理解与融会，有人将这种融会与应用称为“识”，这远比知识本身更为重要.因此，如何在高等数学的教育过程中，使学生获得这种“识”？即便学生可能会忘记所学过的知识，但获得的这种“识”也会使之受益终身.

那么“识”究竟是什么呢？不同人群对“识”的理解不尽相同.

一、“识”的概念与作用

1.广义的“识”

“识”对不同的人群，理解是不尽相同的：在政治家看来，识指把握历史规律，顺应民心向背的能力.从人才成长教育和社会发展的角度来看，李裕德认为，识指把握复杂系统、准确抓住机遇、决定主攻方向、正确对待处境的一种高层次的能力. 在古代，诸葛亮在考察一个人时认为“咨之以计谋，而观其识”. 清朝诗人袁枚把才、学、识之间的关系做了系统的总结，认为“学如弓弩，才如箭镞，识以领之，方能中鹄”.把渊博的知识学问比喻成强弓硬弩，把才华比作搭在弓弩上的利箭——只有弓弩强劲，箭才能射得远，只有箭头锋利，才能杀伤猎物.但只有在卓然的见识（高超的射术）引导下，箭才可能命中目标.这种对学问、才华和见识三者之间的关系的比喻，形象而准确.袁枚对“识”的内涵进一步解释为“善学邯郸，莫失故步；善求仙方，莫为药误”.即：既要学习别人的长处，又要保持自己的特色；既要多方借鉴人家的新奇观点，又要能明辨是非，不为错误观点所蛊惑.可见，在不同语境中“识”有不同的内涵.但“识”是指引方向的一种本领和智慧，这是共通的.所以，具有良好的见识，就能够发挥一个人的知识和才华的作用，如果缺乏良好的见识，就会迷失方向，知识和才华的作用就不能或者不能很好地发挥出来，甚至误用，如有的人常常埋怨自己怀才不遇，虽有满腹经纶，却无用武之地，整天怨天尤人，牢骚满腹，这就是有知无识.

在国际上，很多学者与智者对“识”有着精辟而独到的见解，认为“识”是指科学的洞察力和鉴赏力.综合概括他们的观点，认为“识”的主要含义具体可概括为：认识、见识、学识、才识、识力等方面的综合能力，它是在学习过程中获得知识技能、开发智力基础上形成的意识与胆识，是一种能从思想上起到引导、统领发展创新的重要质素.所以“识”必然在人的学习发展、个人成长和创新过程中具有极其重要的作用.通过以上探究，我认为“识”不仅具有层次性、结构性和群体性，而且具有语义的缄默性和过程的表现性.它表现为心向的引领性：对事物作出判断、对行动作出决断、对前景作出预见，并认为它们的背后都依赖于洞察力.

2.数学的“识”

数学的“识”是相对于数学而言的才与学.就数学而言的才、学、识，香港大学数学教授萧文强认为，“才”是指计算能力、推理能力、分析和综合能力，等等；“学”是指各种公式、定理、算法、理论，等等；“识”是指分析鉴别知识再经融会贯通后获致个人见解的能力.单是“学”的传授，仅是狭义的数学教育，“才、学、识”兼顾才是广义的数学教育.华罗庚从数学认识的角度在“学与识”中指出，我们要认识事物的本质，达到灵活运用，变为自己的东西，就必须知而识之，学而识之，见而识之，不断提高.学习不经过由知、学、见到识，不能进入认识领域.并认为由知、学、见到识，就是“去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里”的过程.如果说知、学、见是“由薄到厚”的过程，那么，识就是“由厚到薄”的过程.

解题是数学教育的主要内容之一，如何通过解题来表现数学的识？首先，应有鉴赏能力，知道什么是好的解答；其次，应有洞察的能力，知道解答的每一步的目的是什么；最后，还应当考察一下解法有无普遍性，能否用到其他地方，推理过程与所得结论能否加强或推广，有没有什么附属的结果.这种事后总结提问的能力与习惯非常重要，也应当培养学生在这方面的能力与习惯，只有多去想、多去推敲方法与问题之间的技巧性，才能将才与学融会贯通，进而转变为识.除此以外，学习数学，不仅要学习已有的技巧，更要培养良好的观察能力，善于从整体去看，再从局部看，从不同角度去看，发现问题的特点，挖掘其中的联系，自己创造技巧.而这种观察能力，就是所谓见识的一部分，应当逐步养成.

3. “识”的作用

古人是这样叙述有识之士的：“有识，则不徇人，不矜己，不受古欺，不为习囿”，这样一个人在平常的工作和学习中就能临机不惑，见疑能断.由此可见“识”在人的一生中，尤其是在其学习与成长和发展的过程中的重要性.其实“识”的主要内容是科学的鉴赏力和洞察力，它左右人的方向选择 ——判断力和预见力，也决定人看问题的深度——看问题的能力和提问题的能力.人人都具有识，区别在于深浅、远近的程度.因此一个人要学一个东西，不只是要学到一些知识，学到一些技术上面特别的方法，而是要对它的意义有所了解，有一些欣赏，有一些认识.学数学也跟人生的旅途一样，根据他的目的在于赏玩最美的风景，或在于揽取最快的归程，鉴赏的立场也随之而异.例如我们将（n+1）2- n2分别拿给中学生、大学一年级学生、三年级学生计算时，很快大家用不同的方法计算出2n+1的结果，但问其对此算式的意义如何理解时，几乎没有人能从这一简单而特殊的算式中发现这么一伟大而普遍意义——任何一个奇数可以化成两个连续自然数的平方差.这一发现就是这一算式的“识”.当这一结论呈现给大家时，反应也自然不一样，中学生为自己年轻而欣慰，大学生特别是三年级的却为没有发现这一浅显道理而懊恼.为什么会这样呢？首先，是我们的学生满足或注重于求“知”求“学”，而不求“识”或者缺乏求“识”的意识；其次，是我们的学生不会求“识”，一个事实往往被一些浅显、简单的外表所遮盖（纵观历史上的每一次重大发现，无不是在浅显、普遍而又简单的表象下得到重要的启示），学生不容易观察到，需要学生去把简单外表的面纱揭下来.再就是教育的问题，我们平时很少培养学生求“识”的欲望，比较注重培养学生的“才、学”.如果我们的教育不改变这种不太注重培养学生求“识”的教育理念，那今天的中学生明天还会成为今天的大学生.

随着目的的不同，鉴赏也不同.同样是上面这一题，我们还可以继续赏玩下去，让我们的想象力充分地发挥：计算了（n+1）2-n2，再计算（n+1）2+n2，2n（n+1），这三个数有怎样的关系呢？当n=1时，得到三个数 3、4、5，刚好是一组勾股数，由此可以判断：（n+1）2+n2，2n（n+1），（n+1）2-n2 是一组勾股数.事实上，容易证明[（n+1）2-n2 ]2+[2n（n+1）]2=[（n+1）2+n2]2.这样就得到了一个构造勾股数的计算公式.这就是在“识”的引领下，以丰富的想象力，大胆的预判力，构造理论框架，提出问题，找到关键；然后再用“才、学”去修补、完善和证明它，从而可以享受到创造与创新的快乐.所以，“识”在人的学习发展、尤其是创新过程中的作用是极其重要的.因而，不论是数学教育还是高等数学教育都应崇尚引导和培养学生的“识”.

二、如何培养学生的“识”

高等数学教育教给学生的不应仅仅是一些公式、概念和原理、图像等理论知识，更应该着重培养学生运用数学思想解决现实生活中问题的能力，从而拥有超乎常人的观察力和能够厚积薄发的资本.“识”是在遇到困惑和迷茫的时候，引领其走出迷茫解决困惑，取得成功的一种能力.所以，在教学过程中，创设充满疑难和困惑的问题情景，有助于培养学生在疑惑的情景下预见或提出解决问题的能力.只有经常让学生在这种条件纷繁、困惑但有趣的问题情景中，才能培养学生的预测力和判断力，才能养成学生找问题和提问题的习惯和能力.而这些都是“识”所必须具备的.

1.以问题为中心培养学生观察问题和提问题的能力

看问题和提问题是培养预测力与判断力的基本功，只有能够正确充分认识自身及所处环境，联通所有条件与关系及过人的胆识，才能够有异于常人的见识和开阔的视野，才可能看得远.以问题为中心的启发——探索式教学模式的指导思想是建构主义的主动建构意义理论以及布鲁纳认知理论中的发现学习.发现学习是布鲁纳提出来的一个重要学习理论.布鲁纳认为：学习、了解一般原理原则固然重要，但尤为重要的是发展一种态度，即探索新情境的态度，作出假设，推测关系，并应用自己的能力，以解决新问题或发现新事物的态度.布鲁纳认为，教育工作者的任务是：把知识转化成一种适应正在发展着的形式，以表征系统发展顺序作为教学设计的模式，让学生进行发现学习.所谓发现，当然不只限于发现人类尚未知晓的事物的行动，还包括用自己的头脑亲自获得知识的一切形式.这与高等数学一贯的教学方法——满堂灌是矛盾的.然而，高等数学缔造者的初衷，是要把数学的脉络、精神、方法及创新渗透给学生，绝不是让教师一股脑儿地灌输给学生，因为这让学生掌握的仅仅是“知”，而非那种见疑不惊、遇惑不乱的“识”.为此我们提倡以问题为中心的启发——探索式数学教学模式.教师不是在课堂上进行填鸭式教学，相反要将课堂回归给学生，现代教育倡导以学生为主体和以教师为主导的“双主”课堂.教师在课堂中更多的是扮演一个指导者、管理者、分享者甚至学习者与学生一起学习.学生扮演的是主要学习者，他们有权利去主宰自己的课堂，在课堂中与同学相互交流观点和看法，在教师的启发下进行深度探索，以获得新的发现和知识.这种创新学习是数学教学培“识”的新课堂，但对高等数学教学来说却是一个考验.

对于高等数学教育而言，教师要做的就是提供给学生一个情境，让学生自己去发现问题，然后利用已有的知识进行解决，从而获得这种发现问题的能力.教师不应该只是提供给学生单纯的众多问题，因为数学中的问题是数不尽的，而且经过了九年义务教育和高中阶段对数学的学习，学习者想要在数学方面有重要的突破就应该将自己对数学的理解进行一些适当的转化.有时候发现一个问题比解决一个问题意义可能更大.因此教师应该提供合适的情境让学生自己发现规律、总结定理，培养他们发现问题的兴趣，从而积累这样的经验，这非常重要.将数学思维和能力能够迁移到现实生活中去，增长学生在现实生活中面对问题时，能够表现出过人的发现问题和解决问题的能力.

以问题为中心的教学步骤大致可以分为教师、小组和学生等的活动过程如下：

如图1所示，教师的工作首先第一步是设计问题情境，根据学习的需要将培养学生不同“识”的知识载体通过一定的情境表现出来.这样的情境要能够让学生产生兴趣和熟悉感.因此，第二步是教师要对学习者进行分析，分析学习者的知识水平和教育经验背景以及学习者的兴趣爱好大致取向等.第三步教学者应根据学习者的性格、能力等相关特征对学生进行适当分组.第四步教师可运用现在信息技术将问题情境以多种方式呈现给学习者，其目的是清晰明了地向学习者传达情境所包含的信息.教师将情境呈现给学习者，学习者将接受教师呈现的情境并且进行思考和提出问题，在此过程中教师应做适当的引导，发现问题并且提出问题不是一个简单的过程，需要教师将学生向所学知识内容上进行迁移，将搭建已知与未知之间的沟通理解桥梁.在一个情境中会提炼出多个问题，教师要根据问题的差异性将问题分配到各个小组，以小组为单位解决问题.每个小组确定选择的问题后，先对问题作出合理的假设；小组商讨解决问题且拟定可行的计划方案，方案围绕问题的解决而定，方案中要明确问题的原本知识取向和应该向哪个方向做工作等实际问题.在这过程中找到每个人的特长并且使其充分发挥出来，这样可以达到培养学生分析问题、提出问题的能力.

2.以问题为中心培养学生的预测力和判断力

预测力是指人们在所处的环境及已知的条件，加上自己的知识与胆识，对事物未来发展可能变化趋势的一种预测能力.判断力则是对这些可能趋势的一种选择能力，在遇到困惑的时候，有的人（不管他受教育程度如何）他所提出的建议、主张常常被证实是正确的，这就是具有判断力的人.这是因为平时对问题经常有分析和总结.因此，在以问题为中心的教学法中，在小组将问题及解答过程展示以后，对其他组员的交流和提问，小组成员的解答过程，在相互的交流中教师要进行适当的管理和指导.而提问和答疑的过程是思想碰撞并且产生灵感的阶段，在此过程中小组可继续在其他组员的意见中不断修正改进自己的问题和解决方案，其他成员也可以在此过程中学习到这种问题及解决的方法和思路，使学生从“惑”到“悟”.但是最重要的是每位参与者都获得了这种探索式学习的宝贵经验，为下一次的学习夯实基础.这样的教学培训方式长期执行下去，学生的学习将会是一个更加自觉和主动的过程.在这过程中学生对所具备的条件做充分的分析，有所推测，经过反复讨论、推敲得出正确结果，这无疑是培养学生预测力和判断力的有效方法.同时，学生在这样的讨论过程中，可甄别问题的错误与正确，烦琐与简单，谬误与真理，好与更好，这无疑培养了学生的鉴赏力.这样培“识”教育就自然孕育其中.

三、结 语

最后笔者认为高等数学教育再也不能满足于教会学生怎么计算，而应该教会学生怎么思考，简单的应用不是根本的目的，根本的目的是要通过高等数学这一载体怎样去认识世界解决问题拥有“识”.而培识的方法很多，不能拘泥于一式一法.总之，能够使学生开阔眼界放飞思维，勇于创新但又要充分认识到正确的重要性的方式方法都是值得考虑的.

【参考文献】

[1]李裕德.谈谈见识教育[N].光明日报，1999-04-21.

[2]钟法，毛翰.袁枚《续诗品》译释[M].银川：宁夏人民出版社，1988.

[3]柯志文.见识——编辑起飞的翅膀[J].出版发行研究，1999（2）：46-47.