数学：答题规范细节化

汪鹏 范世兵 余锦银

应对填空题要注重反思与验算

对于填空题，常见错误或不规范的答卷方式有：字迹不工整、不清晰，字符书写不规范或不正确，分式写法不规范，通项和函数表达式书写不规范，函数解析式书写正确但未注明定义域，结果要求写成集合的未用集合表示，集合的对象属性描述不准确.《考试说明》中对解答填空题提出的要求是“正确、合理、迅速”，因此，解答的基本策略是：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，防止操之过急；全——答案要全，避免对而不全；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.

例1 已知全集[S={1，3，x3-x2-2x}]，[A={1，|2x-1|}]， 如果[?SA={0}]，则这样的实数[x]的集合是 .

误解 甲生：-1，2 乙生：（-1，2） 丙生：{0，-1，2}

正解 {-1，2}

点拨 由于填空题不像选择题那样有一个正确答案供我们校正结果，因此，对得出的结果要注意验算与反思. （1）反思：反思一下表达形式是否符合数学的格式，像甲、乙两位同学已经求得了[x]的值，但由于书写格式不对，造成丢分.（2）验算：验算一下结果是否符合题意，注意集合“三性”的检验，丙同学没有考虑到[x=0]时，[A={1，1}]违反了元素的互异性原则.

注重表达式及结果的化简

在答题过程中，关键语句和关键词是否答出是多得分的关键，如何答题才更规范？答题过程要整洁美观、逻辑思路清晰、概念表达准确、答出关键语句和关键词.比如要将你的解题过程转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言表述，这一点往往被一些考生忽视. 因此，卷面上大量出现“会而不对”“对而不全”的情况.如立体几何论证中的“跳步”，使很多人丢分；代数论证中的“以图代证”，尽管解题思路正确甚至很巧妙，但是由于不善于把“图形语言”准确地转化为“文字语言”，“心中有数”却说不清楚，因此得分少.只有重视解题过程的语言表述，“会做”的题才能“得分”.对容易题要详写，过程复杂的试题要简写，答题时要会把握得分点.

例2 已知函数[f（x）=2x-12x.]

（1）若[f（x）=2]，求[x]的值；

（2）若[2t?f（2t）+mf（t）≥0]对[t∈[1，2]]恒成立，求实[m]的取值范围.

误解 由题意得，

[当x<0时，f（x）=2x-12-x=2x-2x=0；当x=0时，f（x）=0.]

[∴f（x）=2x-12x， x>0，0， x≤0.]

（1）[∵f（x）=2，∴2x-12x=2，即（2x）2-1=2x+1.]

[∴x=log2（2+1）.]

（2）[2t?f（2t）+mf（t）≥0，]

[∴2t（22t-122t）+m（2t-12t）≥0.即23t-2-t+m?2t-m?2-t≥0，2t（22t+m）-2-t（1+m）≥0.]

正解 （1）[由条件知，2x-12x=2，即22x-2?2x-1=0，]

[解得2x=1±2.∵2x>0，∴x=log2（1+2）.]

（2）当[t∈[1，2]]时，[2t22t-122t+m2t-12t≥0，]

[即m（22t-1）≥-（24t-1）.∵22t-1>0，∴m≥-（22t+1）.∵t∈[1，2]，∴-（1+22t）∈[-17，-5].∴m的取值范围是[-5，+∞）.]

点拨 （1）解答数学题时，若能及时对表达式进行化简，会使运算过程变的简单且正确率高；反之冗长的表达式不仅书写麻烦，且会增加心理上的压力. 运算结果不注重化简更是直接丢分.（2）误解中，在求[f（x）]解析式时，当[x<0]时，[f（x）]解析式化简不彻底，使进一步解答时显得逻辑上存在漏洞.（3）对第二问化简变形的方向不明确造成变形无法进行，反映出平时训练时对步骤的严谨性要求不够，对此类问题的通解通法掌握不好.

注重解题步骤的规范表达

常见的规范性问题有：（1）解与解集：方程的结果一般用解表示（除非强调求解集）；不等式、三角方程的结果一般用解集（集合或区间）表示，三角方程的通解中必须加[k∈Z]. 在写区间或集合时，要正确地书写圆括号、方括号或花括号，区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开.（2）带单位的计算题或应用题，最后结果必须带单位，特别是应用题解题结束后一定要写符合题意的“答”.（3）分类讨论题，一般要写综合性结论. （4）轨迹问题：①注意轨迹与轨迹方程的区别.轨迹方程一般用普通方程表示，轨迹还需要说明图形情况.②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中x或y的范围.

例3 设函数[f（x）=xekx （k≠0）].

（1）求曲线[y=f（x）]在点[（0，f（0））]处的切线方程；

（2）求函数[f（x）]的单调区间；

（3）若函数[f（x）]在区间（-1，1）上单调递增，求[k]的取值范围.

误解 （1）[f（x）=（1+kx）·ekx，f（0）=1，f（0）=0.]

∴曲线[y=f（x）]在点[（0，f（0））]处的切线方程为[y=x].

（2）由[f（x）=（1+kx）·ekx]=0得，[x=-1k（k≠0）].

①若[k>0]，则当[x∈（-∞，-1k）]时，[f（x）<0]，函数[f（x）]单调递减；当[x∈（-1k]，+∞）时，[f（x）>0]，函数[f（x）]单调递增.

②若[k<0]，则当[x∈（-∞，-1k）]时，[f（x）>0]，函数[f（x）]单调递增；当[x∈（-1k，+∞）]时，[f（x）<0]，函数[f（x）]单调递减.

（3）若[k>0]，则[-1k]<-1，故[k<1]时函数[f（x）]在（-1，1）上单调递增.

若[k<0]，则[-1k]>1，故[k>-1]函数[f（x）]在（-1，1）上单调递增.

正解 （1）[f（x）=（1+kx）ekx，f（0）=1，f（0）=0]，

曲线[y=f（x）]在点[（0，f（0））]处的切线方程为[y=x].

（2）由[f（x）=（1+kx）ekx=0]得，[x=-1k（k≠0）].

①若[k>0]，则当[x∈-∞，-1k]时，[f（x）<0]，函数[f（x）]单调递减；当[x∈-1k，+∞]时，[f（x）>0]，函数[f（x）]单调递增，

②若[k<0]，则当[x∈-∞，-1k]时，[f（x）>0]，函数[f（x）]单调递增；当[x∈-1k，+∞]时，[f（x）<0]，函数[f（x）]单调递减，

综上所述：当[k>0]时，函数[f（x）]的增区间是[-1k，+∞]，减区间是[-∞，-1k]. 当[k<0]时，函数[f（x）]的增区间是[-∞，-1k]，减区间是[-1k，+∞].

（3）由（2）知，若[k>0]，则当且仅当[-1k]≤-1，即[k≤1]时，函数[f（x）]在（-1，1）上单调递增，此时[0

若[k<0]，则当且仅当[-1k]≥1，即[k≥-1]时，函数[f（x）]在（-1，1）上单调递增，此时[-1≤k<0].

综上可知，函数[f（x）]在（-1，1）上单调递增时，[k]的取值范围是[-1，0）∪（0，1].

点拨 （1）结论的完备性，答案的准确性是拿到满分的关键.（2）第二问中，并没有回答出函数的单调区间，要注意“[f（x）]的增区间是[（a，b）]”与“[f（x）]在[（a，b）]上是增函数”的区别.一般来说，由分类讨论得出的结论，要做汇总说明.（3）第三问中，一方面不要漏掉区间的“端点值”；另一方面要与分类范围取交集.