生活中的对称及对称性的刻画

余永丽

【摘 要】文章通过对一些具体的对称对象进行分析，得到了对对称的基本特性的认识，并给出了对称的精确刻画。

【关键词】对称 结构 变换

中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.04.096

对称是自然界普遍存在的一种现象，无论是静止的还是变化事物往往都呈现出各种各样的对称性。掌握好对称的一些基本知识有便于提高人们的审美素质，也能在科学领域里得到广泛的应用，例如对称的一些基本原理能用于化学中晶体结构的研究、艺术中作品的构造、生物中物种进化研究等等。而对对称的认识往往都只在于表面，文章通过从一些特殊的对称对象出发，经过循序渐进的分析得到了对称的一般定义。

一、直观的图形对称

形体的对称在自然界几乎随处可见，如树叶的对称、蝴蝶的对称，自然风景的对称等等。对称总给人以美感，人们欣赏对称的美，而且对称也给人的生活带来很多的方便，于是人们在绘画创作中追求对称，在建筑和机械设计中都讲究对称美。数学作为一门高度抽象了的科学，在对称方面的体现更是精确和美丽。人们从小学到现在所学的几何图形中见得最多的都是对称的图形。

不管是在生活中还是在高度抽象的数学中，很多对称都如天平一样左右关于某一直线或平面分开而能重合，具体的说：一个物体，即空间构形，如果在关于给定直线E（或平面）的一个反射下变为其自身，我们就说它关于E是对称的。取垂直于E的任意直线l以及l上的任意一点P，那么此时在l上（在E的另一边）就存在一点P‘（也只有这么一点P‘）与E有同样的距离。仅当P在E上，点P‘才与P重合。

关于E的反射是空间到其自身上的映射ψ：P→P‘，这一映射把任意点P变为关于E的镜像P‘（如图）。用人们的话来说，就是左和右关于对称直线（或平面）反射可完全重合，这里左和右是一个相对的概念，即是在人为规定下得到的，这样的物体的空间结构两边是完全相同的。

那么空间结构又怎样去描述呢？可以从重合这里开始，重合实际上是对于任意的两点A、B∈S在映射ψ作用的前后A、B的距离d（A，B）没有发生改变，这样我们可以看到图形的对称实际上是在反射的作用下保持空间结构不变且回到自身的一种特性。

二、装饰上的对称

一个在平移L下不变的图形显示了装饰艺术中的所谓“无限关联”，即图案以一定的周期在空间中规则的重复，而且我们如果记Li为L在相同方向上平移i次，则图案在L1，L2，L3，…，Ln，…下也是不变的，如果L平移图案的长度为a，那么Ln平移它的量为na，从这个意义上来说，将直线上的一个给定的具有无限关联的图案，仍映为其自身的所有平移，就是基本平移a的倍数na，而且这一周期也可以和反射对称结合起来。如果这样的话，那么相邻的反射中心之间的距离为1/2a。这样所谓装饰中的无限关联就是具有在平移的作用下保持空间结构不变且回到自身的一种特性。

三、抽象的数式的对称

类似于图形的对称，也可以看到整数集Z={…，-n，…，-1，0，1，…，n，…}关于0对称，有理数集、实数集等都具有对称性；

对于Z={…，-n，…，-1，0，1，…，n，…}作映射Ψ1：k→k，（k∈Z），Ψ2：k→-k，（k∈Z），这样Z在Ψ1，Ψ2的作用下是不变的；

我们所熟悉的n个变元x1，x2，…，xn的n元多项式中也存在着不易发现的对称性，如： F（x1，x2，…，xn）=x1+x2+…+xn、f（x1，x2，…，xn）=x1x2…xn ，任意交换xi，xj（1≤i，j≤n）的位置，不改变多项式的结构，这类似于在置换：

Ψ：（1，2，…，n）→（i1，i2，…，in），（i1，i2，…，in是1，2，…，n）的一个全排列）的作用下f（x1，x2，…，xn）的结构没有发生改变，为了下面讨论的方便记Ψ：（1，2，…，n）→（i1，i2，…，in）= 。

由此可见在很多地方对称都散发着它的光彩。

四、对称的进一步归纳

以上的反射、平移、置换都是一个映射。所以对称就是对象在某个映射下有保持其结构不变且回到自身的一种特性，而对于不同的对象其结构有着不同的含义，在这里只关注对象在变换下保持不变，其结构的本质意义并不是我们所讨论的重点内容，为了研究的方便，统一把这些结构叫关系，记作“*”。例如在平面中d（A，B）=A*B.另外上面中的映射都有着他们特殊的性质，就是保持结构不变且回到自身，即保持元素间关系不变，这样就可以给出如下的定义：

定义1：设集合M有一个到自身的映射Ψ，M的元素间定义了某种关系“*”，满足 ，就称Ψ是保持了集合的关系“*”的一一变换。这样一个集合S的对称实际上就可以如下的描述：

定义2：设M是一个给顶的集合，S是M的一个子集，如果M存在一一变换Ψ（非恒等），使得 ，则称集合S是对称的。

可以说S是对称的，是指S存在一个非恒等一一变换，使得S保持结构不变且回到自身的一种属性。不对称集合S对于任意的非恒等一一变换，都不能回到自身。

以上给出了对称的定义。只要在其变换下保持不变的事物都具有着对称性，而从上面的例子中可以看到反射、平移、平移后反射、旋转变换下的对称，但是对称的形式很多，并不只局限于以上几种。

参考文献

[1]魏尔著.对称性[M].上海：上海翻译出版社，1990：3.

[2]王仲春等著.数学思维与数学方法论[M].北京：高等教育出版社，1989：66，67.