别出心裁 出奇制胜

何聪

立体几何中有一类四面体问题，如果用直接法解决较为复杂，甚至有些困难，但如果把它们补形成正方体或长方体解决就很简单，下面举例说明.

兰州市三月份高三诊断考试中有这样一个问题：

在半径为R的球面上有不同的三点A，B，C，已知A，B，C三点中任意两点的球面距离均为π3R，O为球心，则三棱锥O-ABC的体积为.

大部分同学很容易发现三棱锥O-ABC是棱长为R的正四面体，然后根据体积公式去求解，事实上如果把它放在棱长为22R的正方体中计算更为简单.

VO-ABC=2R23-4×13×1222R3=212R3.

下面再举几个这方面的例子：

例1 （2003江西高考卷）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）.

简解 如图，把四面体补形成正方体，由四面体的所有棱长都为2，可知正方体的棱长为1，四面体的外接球即为正方体的外接球，球的直径为正方体的体对角线，所以，球半径为32，球的表面积为4π322=3π.故选A.

例2 （2006山东高考卷）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，则P-DCE三棱锥的外接球的体积为（）.

简解 同例1，易知三棱锥P-DCE为正四面体，且棱长为1，把它补形成正方体，则正方体的棱长为22，所以，球半径为64，球的体积为4π3643=68π.故选C.

例3 （2009江西高考卷）如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（）.

A.O-ABC是正三棱锥

B.直线OB∥平面ACD

C.直线AD与OB所成的角是45°

D.二面角D-OB-A为45°

简解 同例1、例2，将正四面体补形成如图正方体，一目了然，很容易判断B错误.

例4 已知四面体A-BCD的三组对棱长分别为5，10，13，求它的体积.

简解 将四面体补形成如图长方体，则四面体的三组对棱为长方体的面对角线.设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则x2+y2=13，x2+z2=10，y2+z2=5，得x=3，y=2，z=1.

所以，VA-BCD=V长方体-4·13·12xyz=2.

总之，没有做不到，就怕想不到，对这类问题别出心裁，采取补形方法，可取得出奇制胜的效果.

本文系甘肃省教育科学“十二五”规划课题“高三数学复习中的‘多与‘少研究”的研究成果之一.课题代码为Gs[2013]GHB0212.