一道“全能”题及其变式

黄琼　华道雄

【摘要】对于标准的平面几何题，可以用解析法解决，向量也是解决几何问题的有力工具；而新课标中《几何证明选讲》也是学生学习的内容和高考考试的范围.由此，需要教师在紧扣教材的同时能够提炼升华，最终达到“源于教材而高于教材”的境界！

关键词平面几何；解析法；向量法；同一法

如右图，延长BA至F′点，使AF′=3，则△BEF′为等边三角形，

连接CF′交AE于点P′，由AB=58BF，EC=58BE，

易得：点P′与ABC三点共圆，则点P′与点P重合

故点F′与点F重合，即AF=3

五、能作为解三角形的综合训练

问题④解：设CA=CB=a，则CE=λa，CD=（1-λ）a

由平几知识可知：C、D、P、E四点共圆，且PC为外接圆直径2R.

连接ED，则∠EDC=∠CPE=180°-∠APE=180°-∠BPD=135°-60°=75°.

又∠ECD=60°，∴∠CED=45°.

在△CDE中，由正弦定理知：CDsin∠CED=CEsin∠CDE.

即（1-λ）asin45°=λasin75°λ=33.

六、能作为考查学生综合能力的训练或测试题

问题⑤解：若建立∠DPC的余弦值关于比值λ的函数，无论是建立函数的过程，还是求值域的过程都是复杂的.另解：由四点共圆得，∠DPE=120°，如下图，由极端性原理可知：