浅析在收敛问题中阶的估计方法的应用

祝君仪

【摘要】 作为数学分析中的基本概念之一，阶的估计是在收敛问题的数学分析中一个及其重要的分析方法.本文首先阐释了关于阶的概念定义，然后通过对阶的估计方法的应用，即用阶的估计讨论数学分析中判断正项级数收敛和判断广义积分的收敛问题.论证了阶的估计方法的应用在解决收敛问题上凸显的精炼准确的优势，为今后研究相关问题上提供了一种方法途径.

【关键词】无穷大量；极限；阶的估计；级数；广义积分

阶的估计是数学分析中讨论收敛问题时一个极其重要的方法，运用这种方法，可以有效处理复杂的数学问题，可以简化计算的程序步骤，得到精确的结果.

本文从阶的概念入手，对数列、 函数及级数中一些收敛问题，即判断正项级数收敛和判断广义积分的收敛问题进行分析计算.用实际判定过程证明运用阶的估计方法，可以切实有效地处理收敛问题.

就与参数y有关，此时我们常用Οy（x）代替Ο（x），以表明“大Ο常数”与参数y有关.

2.在收敛问题中阶的估计方法的应用

2.1 利用阶的估计的方法判断正项级数收敛

在判定正项级数收敛性问题时，我们最常用的是比较判别法.这个方法虽然对于那些级数通项的前后项之比很容易计算的问题来说是较为方便的.但对于有的问题，这个作比后再转化比较的计算量很大.为了克服这一缺点，我们利用阶的估计的计算方法来解决这类问题.

级数∑∞n=1an收敛与否取决于无穷小数列an，收敛于零的速度，即取决于当n→∞时an的阶.利用阶的估计的方法却能轻易的解决，体现了该方法在解此类问题时的优势.

x 发散.但当x>0时，原级数是Leibniz型级数，从而必收敛.故在0

由此可知，上述的级数如果作前后项之比来判断敛散性的计算量比较大，所以它们都不宜用比较判别法来判定，但如果运用阶的估计法来判定却非常方便.在运用阶的估计法来判定级数的敛散性时，关键正在于能否对正项级数的一般项的阶进行迅速而准确的判定，就是要对正项级数的一般项进行“换底”.如果做到了这一点，那么判定将会变得简单.

2.2 利用阶的估计的方法判断广义积分收敛

判定广义积分敛散性问题时，运用比较判别法的关键就在于能否迅速寻找到一个适当的比较对象，从这个角度来说，与其说它是一种判断收敛的方法，还不如说它是种审敛原理.因此，为了找到一个适当的比较对象，我们可以对被积函数首先进行阶估计，然后将估计所得与一些判断收敛的定理条件相比较，从而可以迅速地得出原广义积分敛散性的结论.

显然和正项级数一样，上述无穷积分的敛散性都无法直接用比较判别法来判定，如上运用阶的估计法来判定却是比较方便，这显示了阶的估计法在定性判定方面的优越性.在运用阶的估计法来解题时，第一步要对无穷积分的被积函数进行“换底”，让它同的阶作比较，那么判定的过程将大为简化.

结论

本文从收敛问题中攫取了判断正项级数收敛和判断广义积分收敛两个例子进行研究，通过上述判断，我们不难发现巧妙运用阶的估计方法分析问题能够变得简单清晰.这就显示了阶的估计方法在分析收敛问题方面的优越性.此外，阶的估计法还可应用于某些函数的渐进展开及数学中的估值，应用这种方法对理解数学的概念，拓展解题思路都非常有益.

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