问题探究 促思维发展

叶仁寿

摘 要：创设问题的探究情景，引领学生对问题进行探究、类比、提出猜想，通过实验验证、分享交流，学会对探究问题进行归纳、总结与拓展，通过对问题的探究基本方法的操作，激发学生的求知欲，培养良好的数学思维习惯，促进数学学科学生发展所需的核心素养.

关键词：问题；探究；验证；拓展

我国在基础教育特别是有着高考压力的高中数学教学过程中，教师的课堂教学更多关注讲授与认知量，忽略关注学生学习过程中的情感与探究思维的培养.教师更多的成了课堂的播放器，学生成了课堂的录音机.这种课堂的特点就是容量大，进度快，学生被动接受知识，缺少主观能动性，看似完成了教学目标任务，但在培养学生数学“四基”与“四能”方面未必有效.什么才是真正有效的数学课堂？所谓有效教学，是指在师生双方的教学活动中，通过运用适当的教学策略，使学生的基础性学力、发展性学力和创造性学力得到很好的发展.《基础教育课程改革纲要（试行）解读》指出：所谓“有效”，主要是指通过教师在一段时间的教学之后，学生所获得的具体的进步或发展.也就是说，学生有无进步或发展是教学有没有效益的唯一指标.有效的数学课堂是以关注能否促进学生的思维发展为主，课堂中学生积极主动参与学习，并在思考的快乐中探究知识、发展思维.

有效的数学探究式教学案例：“已知函数在定义域内某一个子区间的解析式，求它在其他区间内的解析式”这一问题上的一堂教学公开课.这堂课主要由教师“导演”，学生“主演”，有归纳，有拓展，有效率，有深度，受到听课老师的一致肯定.现将课堂实况部分记录如下：

1 创设问题的探究情景

老师：同学们，在前面学习函数解析式的求法中，主要通过常用的三种方法：换元法、迭代法、解方程组法来解决问题，今天这节课我们一起探索这样一类问题：已知函数在定义域内某一个子区间的解析式，求其他区间内的解析式.这也是属于函数解析式求法的范畴.即把这类问题称之为：“已知函数的一部分”求“函数的另一部分” .

2 引领学生对问题进行探究、类比、提出猜想，通过实验验证、分享交流

下面请同学们思考这一具体的问题：已知y=f（x）是R上的奇函数，当x≥0时， f（x）=x2-2x，则在R上f（x）的解析式为（ ）.

A. -x（x-2） B. x（|x|-2） C. |x|（x-2） D. |x|（|x|-2）

在给出题目后，学生们开始思考，并在草稿纸上演算，几分钟后，学生们有了思考结果.

教师用手机把有代表性的几种做法拍成相片，通过云同步，在多媒体屏幕上出现相应的内容：

学生1：x>0则-x<0，所以f（-x）=x2+2x，由f（x）为奇函数，得f（-x）=-f（x），f（x）=-x2-2x，故选B.

学生2：设x<0则-x>0，所以f（-x）=x2+2x，由f（x）为奇函数，得f（-x）=-f（x），f（x）=-x2-2x，故选B.

学生3：f（x）=f（-x）=-f（x）=-x2+2x，故选A.

教师追问：

①以上解法是否正确，为什么？

②你认为哪种解法比较好？

③你还能提供其它解法吗？

学生们开始思考以上三位同学的解法，并交流讨论判断出只有学生2的解法是正确的，但无法给出比较合理的解释.

学生4认为应该这样分析：设t<0则-t>0，所以f（-t）=t2+2t，由f（x）为奇函数，f（t）也是奇函数，得f（-t）=-f（t），f（t）=-t2-2t，即f（x）=-x2-2x，故选B，

这时，同学们的意见不统一，有人说错，有人说对，还有人不理解为什么要引入字母t？

师：你能对这类问题的解法用自己的语言进行归纳吗？

3 学会对探究问题进行归纳、总结与拓展

学生们在教师的帮助引导下，共同整理归纳出解这类问题的基本方法：（1）所求自变量假设；（2）将自变量转化到已知区域范围内；（3）将转化后的自变量代入已知区域的函数解析式；（4）通过函数性质化简求出f（x）.

师：本例的已知条件是“函数为奇函数”，你能从函数的基本性质（教师着重强调了“基本性质”四个字）去考虑，改变它的条件或结论，对这类问题进行比较深入的研究吗？

4 通过对问题的探究基本方法操作，激发学生的探究欲望

此时，同学们积极投入对问题的思考，教师到学生中收集到学生的典型之作，并把这些典型之作当作例题进行分析点评：

学生作品1：已知y=f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x，求f（x）在R上的解析式.

师：把条件改为偶函数，换二次函数为指数函数.

学生作品2：已知f（x）定义域为R，且f（2+x）=f（x-2），当x≤1时，f（x）=lnx，求x>1时，f（x）的解析式.

师：介入周期性知识，换二次函数为对数函数.

学生作品3：已知f（x）定义域为R，且f（2+x）=f（2-x），当x≤2时，f（x）=sinx，求x>2时，f（x）的解析式.

师：介入对称性知识，换二次函数为三角函数.

学生作品4：定义在R上的奇函数f（x），f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=x2，求f（x）在[-4，4]上的解析式.

师：这位同学“更狠”，把奇偶性、对称性都介入进来了，好样的.

由于时间关系，教师安排同学们先思考四道题的解题思路，然后按组对应分别做一道题，速度快的同学做完本组题后，可以做其他组的题，课堂上无法完成的题，课后再完成.这样很好地保证课堂效率.

5 培养良好的数学思维习惯，发展数学学科学生所需的核心素养

训练完这组题型后，教师引导同学们比较这5个例题，并发问： “通过比较，你能发现刚才归纳出的每一步骤的注意事项吗？请对它一一细化.”（结合例题，师生一起归纳）

（1）假设（一定要设x在所求区间，即要求哪部分的解析式就把变量设在哪部分，不能对调）；（2）转化（把x的范围转化到解析式已知的区间上，不能随意转化，而要根据已知的性质进行转化，否则代入后将无法化简.这是解决问题的关键，常用奇偶性、对称性、周期性等性质进行转化）；（3）代入（把转化后的变量代入到已知解析式中去）；（4）化简（由（3）结合已知函数的性质化简出f（x）的解析式）.（这些文字也已经放在了课件里）.

归纳完了，同学们露出欢快的表情，甚至有些得意.教师抛出一句：“同学们，我给你来个‘更狠的，有信心挑战吗？”“有”，同学们异口同声.“很好，爱思考也会思考啊！”教师打趣地说道，并顺势给出了课后思考的作业：

（1）函数f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意x∈R，均有f（x）=f（x+2）成立，当x∈[0，1]时，

f（x）=loga（2-x）（a>1）.

①当x∈[-1，1]，求f（x）解析式；

②当x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，求f（x）的解析式.

（2）（2010年福建省高考理科第15题改编）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；当x∈（1，2]时，f（x）=2-x.给出如下结论：

①对任意的m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；

④“若函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”则 “存在k∈Z，使得（a，b）？哿（2k，2k+1）”.

其中所有正确结论的序号是 .

本节课堂教学在学生的积极思考中快乐地完成了学习目标任务.

汇集听课老师的评议是：本节课，教师在教学过程中引领学生明确了对数学问题的思考方向，理解并运用探究数学问题的基本思考方法，引领学生对问题进行类比、拓展、猜想、验证、归纳、总结，促使学生对数学问题进行深入的研究，建立出解决数学问题探究的基本模型.课堂高效、灵活，氛围融洽，教学内容中对问题思考有梯度、有深度且能做到深入浅出.这对提高课堂教学质量，培养学生的数学思维能力和学科素养有重要意义，是一个很好的问题探究教学案例.