基于“六何”提问链策略优化高中数学课堂提问的课例研究

韦国秀

【摘 要】广西师大唐剑岚教授提出了优化高中数学课堂提问的“六何”提问链策略，本文通过两个不同的教学实录及其对比分析得出，依据“六何”提问链策略设计的高中数学课堂提问，能促进学生深度的思维投入、情感体验与行动参与，提升教学有效性。

【关键词】高中数学；课堂提问；“六何”提问链

一、倾斜角概念形成片段实录与分析

（1）第一次教学实录。师：坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法。本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率。

师：平面几何中，确定直线的条件是什么？对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？

众生：两点确定一条直线。

师：还有没有别的方法？能否利用给定的直角坐标系？

众生：……

师：在直角坐标系内任给一个点，过这个点的直线有无数条。再给一个什么条件就可以唯一确定一条直线呢？请动手操作一下。

生1：再给另一个点。

生2：与x轴的交角。

师：好！（借助于信息技术演示，得出倾斜角的概念）

（2）第二次教学实录。师问1：在几何问题研究中，我们常常直接依据几何图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质，那么能不能通过代数运算来研究几何图形的性质呢？

生：可以！

师问2：我们如何把形转化成数得以进行运算呢？

师：17世纪法国数学家笛卡尔对这个问题进行了深入的思考，直到有一天躺在床上观察虫子在天花板上爬行位置，激发了灵感，产生了坐标的概念，创立了解析几何。从而以坐标系为桥梁，把几何问题代数化，即把图形放入坐标系进行研究。

师问3：平面几何中，确定直线的条件是什么？对于平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由哪些条件决定？

生：两点确定一条直线

师问4：有两个点确定的，一个点行不行？

生：不行

师问5：如果给一个点，再增加一个什么条件，能够确定直线在平面直角坐标系的位置呢？即如果给你P点定点，还需要什么条件？

生：角！

师问6：好，谭喆同学，您可否上来指出来给同学们看看呢？是哪个角？

生：（学生上讲台示范指出）

师：好！我们给这个角一个名字吧，叫直线的倾斜角。一般地，当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。

（3）片段实录分析。第一次授课时，引言部分通过教师介绍，使学生了解学习新内容的特点及意义，接着针对初中学过的相关知识，设计了提问1与提问2，意在立足旧知识，寻找新知识的增长点，最后教师成为主角，直接告诉学生如何定义直线的倾斜角。在第二次教学中，把坐标法产生的背景及过程，结合即将学习的直线的倾斜角概念，设计“如何”提问链，即提问1—6，且提问与提问之间互相联系、环环相扣。这样在提问链驱动下，经过一系列的数学思考与交流，直线倾斜角的定义自然生成，也让学生体悟到数形结合的思想。

二、直线斜率的坐标计算法公式推导片段实录与分析

（1）第一次教学实录。探究问题：已知P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是直线l上任意两个不同的点（其中x1≠x2），求直线l的斜率k。

师：要求斜率k，你会想到我们刚刚学习的什么知识呢？

生：k=tanα。

师：要用到k=tanα，根据正切函数的定义，我们可以构造什么图形呢？

生：直角三角形的勾股定理。

师：那么如何通过P1、P2构造包含有倾斜角α的三角形呢？

生： ……

师：很好，这里的α为锐角，当α为钝角时，情况又如何呢？

生：当α为钝角时

α=180°-∠QP1P2，x1>x2，y1?y2，tanα=tan（180°-θ）=-tanθ，

在直角∠QP1P2中：

师：好！两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），x1≠x2过P1P2的直线的斜率为。

（2）第二次教学实录。师：请大家完成这个问题：已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），x1≠x2，求直线P1P2的斜率k。看谁能做出来！哪位同学上来在黑板做一做？好！肖峻友同学。

（两分钟左右，在黑板写的肖同学作出了如下图4-5图形及结果）

图1

师：大家看看，很有意思，他把点P1很聪明地放在了坐标原点上，但是点P1一定在原点吗？

众生：不一定！

师：谁来帮他改改！好，甘雨果同学，你上去改改！

（两分钟左右，作出了如下图2、3图形及结果）

图2 图3

师：请给同学作一下解释。

生：（略）

师：很好，给甘雨果同学点掌声！但我们更想知道你是如何想到的？

生：构造直角三角形，用三角函数的定义。

师：为什么想到要构造直角三角形呢？

生：……

师：想想我们想要解决的问题是什么？

生：因为所要求的直线的斜率与倾斜角的正切值有关，而要求倾斜角角α的正切值，就要构造直角三角形来求解。

师：非常好，说出了这样做的理由，我代表同学们还有一个小疑问，你的两个图形中的直线P1P2中的点P2都是在P1的上方，可不可以把它们交换位置，那么有何不同？

生：一样的。

师：怎么个一样法呢？

生：计算结果是一样的或是，只是直线P1P2方向不同。

师：经过探究与讨论，我们得到了过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），x1≠x2的直线P1P2的斜率为，我们也发现这个公式分子分母中的P1（x1，y1）、P2（x2，y2）对应坐标点的是对应的，体现了数学符号化的对称美，也有促于我们记忆。在此，我们还会有一个小疑问，这里为什么x1≠x2呢？

生：分母不能为零。

师：如果从直线的角度去理解，还可以如何解释呢？

生：倾斜角为90°的直线的斜率不存在！

师：除了以上我们同学介绍的方法，是否还有别的更简洁的方法吗？

生：老师，我有一种方法，不知道对不对！

师：请说。

生：P1、P2两点满足一次函数的解析式y=kx+b，代入消去b得，我发现得到的结果跟课本一样的，但我不确定这里的k就是所求的直线的斜率。

师：同学们，觉得可不可以？

生：可以

师：实际上，这位同学已经把直线的斜率用一次函数的角度作了对比研究，换句话说，一次函数解析式中y=kx+b的k可看作直线的斜率，事实上，这就是我们以后将会学习的直线的方程。我建议给这位同学鼓鼓掌！

（3）片段实录分析。两次授课模式不同，第一次是教师主导学生参与，最终演变成了教师讲授、学生被动授受，即只给学生介绍了教材中提供的推导两点求直线斜率公式的方法，并向学生说明了怎样想到这种方法的。

第二次是开放式教学，给出问题“已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），x1≠x2，求直线P1P2的斜率k”，让学生去自主探究。在展示环节，教师还提出“请给同学作一下解释”、“更想知道你是如何想到的”、 “为什么想到要构造直角三角形呢”等“为何”提问链，促进学生深入理解，把自主权交给学生，同时了解学生可能还有的想法与解法，如一个学生把其中一点放到坐标原点，这在第一次授课中是很难嵌入的。另一方面，在介绍完基本方法后，通过“若何”提问“除了以上我们同学介绍的方法，是否还有别的更简洁方法吗”，有学生联系到一次函数解析式，教师适时点拨与归纳，让学生深入理解了直线P1P2斜率k与一次函数联系，所以第二次授课对知识的理解更全面、系统与深刻，整个过程的处理更丰满、更有价值，不仅授人以“鱼”，还授人以“渔”，更授人以“欲”。