关于数学问题教学的若干思考

邵红刚

【摘要】好的数学问题的特征；一是能激活学生原有的知识经验，二是能推广、扩充、引申，三是有多种解决的办法。促进学生思维能力提升的有效抓手是多角度探究数学问题、整合数学问题。其常用的方法有按学生的认知特点根据知识点间的联系设计“问题链”、实施变式求异提问导学。

【关键词】数学问题 问题链 课堂教学

数学问题是指“以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题”1。面对数学问题，当我们通过对它进行深化、推广、引申、综合，从而发现矛盾和缺陷（问题所在），探索到新的发展规律（需要论证的问题），或找到了问题与问题之间的新的联系时，这就是形成“问题链”的開始.通过这种过程的不断深化和逐次推进而找到的，具有内在联系的若干问题，就形成了“问题链”。

一、好的数学“问题”的特征

对数学教学而言，如何引发学生积极思维、主动学习和钻研，变“要我学”为“我要学”？笔者以为关键在于问题的设置。通过教师有效地设置问题，将教学各环节，知识各部分连接起来，让学生通过问题解决进行学习，这是数学教学的重要途径。数学问题的设置是“用问题包装课堂”的基础。要使教学取得良好成效，必须将问题设计好。总体来说，“好问题”的特征包括：问题的条件、结论、所描述的对象，给解题者提供广阔的思维空间，使他们有机会经理有意义的教学活动，如观察、猜测、检验、修正、证明、推广等，而且在活动中需要使用基本的、重要的饿数学知识、数学方法等。从教学实践看，好的问题对学生思维的展开、引起学生认知上的冲突进而促进他更深入进行思考，有着重要的推动作用。

（一）能激活原有的知识经验

问题的解决过程应包含已经学过的某些知识或所要讨论的有关概念和技巧，能使学生更主动、更广泛、更深入地激活自己的原有经验，通过积极的分析，形成新的理解、新的认识。好问题的启发性不仅指问题的解答中包含着重要的数学原理，对于这些问题或者能启发学生寻找应该能够识别的模式，或者通过基本技巧的某种运用很快能得到解决，能够促进学生对于数学基本知识和技能的掌握，有利于学生掌握有关的数学知识和思想方法。

（二）能进行推广、扩充、引申

好问题的可发展空间意思是说问题并不一定在找到解答时就结束，所寻求的解答可能暗示着对原问题的各部分做种种变化后，由此可以引出新的问题和进一步的结论。问题的发展性可以把问题延伸、拓广、扩充到一般情形或其他特殊情形，给学生一个充分自由思考、充分展现自己思维的空间。因此，问题的设计要注重代表性，要能够联系，推广，学生在这种不断扩充、改变条件就能引发新的结论的训练中，就能促进思维的灵活性，学会举一反三，提高转化的能力。

（三）有许多种解决的办法

一题多解，就是对一个问题从不同角度加以思考，探求出不同的解决方案。它有几个方面的作用 ：一是开拓学生的解题思路、激发探索兴趣；二是能激发学生主动寻找解题捷径，培养求简意识；三是创新解题模式，提高创新能力。一题多解是被当下教学实践证明对培养学生数学意识和解题能力有重要作用的训练模式。因此 ，问题的设计要考虑它的可变性，尽可能挖掘从不同的角度去寻找解决问题的途径，以此促进学生思维能力的提高。

二、利用“问题链”教学的具体案例

教学中注重适当地设置问题，启发诱导学生自觉去分析、鉴别、类比、抽象概括，尊重学生的个人感受和独特见解，这对促进学生思维活动的丰富性、多变性和复杂性，激发思维的能动性都有着特殊的作用。

（一）根据学生实际与教学要求设计“问题链”

数学的概念、法则、定理等都具有严密的内在体系 ，一些看似相近的知识却有着明显的不同之处。而学生的学习具有一定的迁移性，他会将原有的一些思维习惯带入新问题的学习之中，影响对问题的认识。针对这些问题合理设置“问题链”，破除学生思维中狭窄、零碎、片面的定势，激发和活跃思维，促进其在新的思考平台中去正确认识问题。

针对教学重点、难点设置“问题链”。从教学角度来说，每节课都有一个中心内容，即教学的重点和难点 ，问题的设计应围绕其展开：抓住教学重点内容层层设置问题，由浅入深，由易到难；抓住教学的难点设问，浅中见深，化难为易。掌握了重点，突破了难点，数学思想与方法就会逐步形成并内化为学生个体的知识体系。

如在双曲线概念的教学中，当得出双曲线定义：“平面内到两定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫双曲线”之后，笔者设计了如下的问题串：

（1）将定义中的“小于”改为“等于”或“大于”，其点的轨迹又是什么呢？

（2）将“绝对值”三个字去掉，其结果又如何呢？

（3）令定义中的常数为0，其余不变，其点的轨迹又是什么呢？

（4）将括号中的小于 去掉后，如何讨论点的轨迹？

此问题以“双曲线的概念”为背景，通过设问，步步深入，形成问题链，在“变”中开阔学生的视野，拓宽学生的思维空问，将静态的数学与动态的变化结合起来，这样学生不仅学得轻松，掌握了知识，也培养了学生探索知识、发现知识、应用知识的综合创新能力。

（二）选择能优化学生认知结构的“问题链”

数学学习的过程是不断地建构数学认知结构，又不断地打破原有的认知结构建立新的认知结构的过程。数学教学的重要目的在于培养和发展学生的数学思维能力。教学中要培养学生灵活运用定理、公式与法则的能力，培养学生善于洞察每一个研究对象的实质并揭示这些对象之间的相互关系的能力，让学生思维的灵活性和深刻性得到极大地发展。

推广是事物发展所遵循的规律之一。当我们从研究一个对象过渡到研究包含该对象的一个集合，或从研究一个较小的集合过渡到研究一个包含该集合的一个更大的集合时，就是推广，当我们对命题从层次和形式上作推广时，可以得到一些层次不同或形式相似的命题，它反映了数学对象之间的纵向或横向间的联系，可以拓广命题的外延表现形式并加深对命题内涵的认识。概念、体系、命题和方法的各个方面，都可以运用推广来进行教学。概念的学习分为上位学习、下位学习和并列学习3种方式.在上位学习中，我们可以运用推广的观点来教学。

教学案例【1】等差中项的性质及其推广

教学案例【2】错位排列问题及其推广

（1）编号为1、2、3、4的四位学生分别坐编号为1、2、3、4的四个座位，所有学生均不对号入座的不同坐法有多少种？

（2）甲、乙、丙等五人排周一至周五的值班，每人值一天，其中甲不排周一，乙不排周二，共有多少种不同的安排方法？

（3）甲、乙、丙等五人排周一至周五的值班，每人值一天，其中甲不排周一，乙不排周二，丙不排周三有多少种不同的安排方法？

（4）编号为l、2、3、4、5的五位学生分别坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，所有学生均不对号入座的不同坐法有多少种？

（1）、（2）是学生熟悉的，学生很快就能给出答案。3）提示学生用分类讨论或间接法，在教师的帮助下也不难解决。给出本题组的目的不仅仅是解决这几个问题，而是要揭示两类看似不同的问题间的联系，整合学生原有的认知结构，让学生对这两类问题的认知有质的飞跃。

数学课堂是不断提出问题、解决问题的过程，好的问题是开启智慧之源。教师要找准学生原有的认知结构、思维基础，让新的问题与学生原有的认知结构产生同化与顺应，这样的问题才能激活学生原有的知识结构，唤醒学生的运用意识。这对教师提出了很高的要求，所以教师要博览群书，潜心研究教材，对教材的把握做到得心应手，对各知识点之间的联系烂熟于心，这样才能设计出富有挑战性、启发性的问题，才能在课堂上挥洒自如、运筹帷幄。

【参考文献】

[1]陈 曦.数学[复习课：在“问题变式”中演绎精彩[J]中学数学教学参考2012。10

[2]戴再平.数学习题理论[M].上海：上海教育出版社，1997.163