如何利用中点巧作辅助线

奚雯燕

【摘要】 中点问题是几何问题中一类常见的问题，与中点有关的知识点也比较多.学生们常常不知该从哪个角度添加辅助线，从而影响了解题.事实上，与中点有关的常用辅助线有以下几种：倍长中线、斜边中线是斜边的一半、三线合一、中位线、垂径定理及其推论.根据中点添出恰当的辅助线，能够简化解题过程，提高解题效率.

【关键词】 倍长中线；斜边中点；底边中点；中位线；垂径定理

一、倍长中线（普通中点）

1. 倍长中线或其一部分

如图1，AD为△ABC中线，BE交AD于点F，AE = EF. 求证：BF = AC.

证明：如图1，延长AD至点G使DG = AD，连接BG，易证△GDB≌△ADC.

∴∠G = ∠DAC，BG = AC.

∵ EA = EF，∴∠CAF = ∠AFE.

∴∠G = ∠BFG.

∴ BG = BF. ∴ BF = AC.

证明二：如图2，延长AD至点G使GD = FD，连接GC，易证△BDF≌△CDG.

∴ GC = BF，∠G = ∠BFD. ∵ EA = EF，

∴∠EAF = ∠EFA. ∴ ∠G = ∠GAC.

∴ AC = GC. ∴ BF = AC.

2. 倍长类中线

如图3，在△ABC中，AB > AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G.求证：BF = CG.

证明：延长FE至Q使EQ = EF，连接CQ，易证△BEF ≌ △CEQ. ∴ BF = CQ，∠BFE = ∠Q.∵ AD平分∠BAC，∴∠CAD = ∠BAD. ∵ EF∥AD，∴∠CAD = ∠G，∠BAD = ∠BFE. ∴∠G = ∠Q.∴ CQ = CG.∴ BF = CG.

点评：三角形中出现中线或类中线，可以构造全等三角形解题.

二、斜边中线是斜边的一半（斜边中点）

如图4，已知BE，CF是△ABC的两条高，M，N分别为BC，EF的中点.求证：MN⊥EF.

证明：如图，连接MF，ME，∵ MF是 Rt△FBC斜边上的中线，∴ MF = ■BC，同理ME = ■BC.

∵在△MEF中，MF = ME，点N是EF的中点，

∴ MN⊥EF.

点评：直角三角形中出现斜边中点，通常构造斜边中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题.

三、三线合一（等腰三角形底边中点）

如图5，矩形ABCD中，E为CB延长线上一点，AC = CE，F为AE中点.求证：BF FD.

证明：如图5，连接CF，∵AC = CE，F为AE的中点，∴CF ⊥AE.∵ F是Rt△AEB斜边中点，∴ FB = FA，∠FBA = ∠FAB.∵矩形ABCD，∴∠ABC = ∠BAD，BC = AD.易证△FBC ≌ △FAD. ∴∠BFC = ∠AFD. ∴ ∠AFC = ∠BFD. ∴ BF⊥DF.

点评：等腰三角形中出现底边中点，常作底边中线，利用等腰三角形三线合一解题.

四、中位线（多个中点）

如图6，四边形ABCD中，AD = BC，E，F分别为AB，CD的中点，AD，BC的延长线分别与EF的延长线交于H、G.求证：∠H = ∠BGE.

证明：如图6，连接AC，取AC中点M，连接ME，MF，则EM是△CDA的中位线.

∴ EM∥AD，EM = ■AD，同理MF∥BC，且MF = ■BC.

∵ AD = BC，∴ EM = MF，∠MEF = ∠MFE.∵ EM∥AH，

∴∠MEF = ∠H.∵ FM∥BG，∴∠MFE = ∠BGF. ∴∠H = ∠BGF.

点评：图形中出现多个中点时，可构造中位线，用中位线知识来解题.

五、垂径定理（弦中点）

如图7，在⊙O中，AB=CD，M，N分别是AB，CD的中点.求证：∠BMN = ∠DNM.

证明：连接MO，NO，由垂径定理得OM⊥AB，ON⊥CD，由勾股定理得OM = ■，ON = ■.

∵ AB = CD，M，N分别是AB，CD的中点，∴ OM = ON. ∴∠OMN = ∠ONM. ∴ ∠BMN = ∠DNM.

点评：圆里面出现弦中点时，可连接中点与圆心，利用垂径定理来解题.

六、垂径定理推论（弧中点）

如图8，A，B，C为⊙O上三点，D，E分别为■，■中点，连接DE，分别交AB，AC于F，G.求证：AF = AG.

证明：连接DO，EO，∵ D，E分别为■，■中点，∴ DO⊥AB，EO⊥AC.∵ DO = EO，∴ ∠D =∠E.

∴∠AFG = ∠AGF.∴ AF = AG.

点评：圆里面出现弧中点时，可连接中点与圆心，利用垂径定理推论来解题.

中点是图形中的特殊点，中线、中位线是三角形中的特殊线段，在解题中，如果能灵活运用与它们相关的性质，巧作辅助线，可使许多问题得到迅速解决.

练习：如图，在Rt△ABC中，AB = BC，在Rt△ADE中，AD = DE，连接EC，取EC中点M，连接DM，BM.

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图（1），猜想BM与DM的关系；

（2）如果将图（1）中的Rt△ADE绕点A逆时针旋转90°的角，如图（2），那么（1）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.

【参考文献】

[1]王守团.巧作中点问题的辅助线[J].初中数学教与学，2002，20-23.

[2]张建华.利用“中点线段倍长”法解题[J].初中数学教与学，2013，4-5.