培养学生数学思维广度和深度探究

石小江

[摘要]数学教学要从学生的生活实际出发，创造合适的学习条件，培养学生数学思维的广度和深度，努力在课堂教学时做到知识问题化、问题层次化、任务习题化、习题探究化。

[关键词]生活化思维能力探究性学习

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）180040

费赖登塔尔曾说过，“与其说我们是在学习数学，倒不如说我们在学习数学化”。在数学教学中，我们应让学生经历学习数学的过程，通过自己的体验、用自己的思维方式，建构属于自己的数学知识。对此，我在讲授“切线的判定”时，努力在课堂上实践“四化”，即知识问题化、问题层次化、任务习题化、习题探究化，让学生经历“数学化”的过程，在培养学生数学思维的广度和深度方面做了些尝试。

一、创设探究情境，激发学习兴趣

为了调动学生学习数学的兴趣，我尝试把古典诗词与本课结合起来。在本课的导入中，我是这样问的，王维的《使至塞上》中的名句大家都知道吗？学生朗朗上口：“大漠孤烟直，长河落日圆。”“大家想一想，这句诗中包含了哪些几何图形？图形之间还形成了哪些几何关系？”学生对这个问题很感兴趣，积极思考，讨论热烈。通过讨论，学生发现有这样几种图形：大漠、孤烟——直线与曲线。而“长河落日圆”的“画面”，由线与圆所构成。我进一步追问：随着时间的推移，“长河”与“落日”，也就是“线”与“圆”之间先后有几种关系？然后让学生动手画一画。这个教学环节是引导学生复习“直线与圆”的位置关系，学生很快得出结论：相离、相切、相交。这样一种让数学与文学相融合的处理方法，既切合了生活，也调动了学生的学习兴趣，一举两得。

二、借助数量关系，拓展思维深度

几何图形是一种形象思维，教学中我们应该让学生尝试用数量关系来加深对本课内容的理解。教学实践中，我先出示了三组判断题让学生判断：（1）若C为⊙O上的一点，则过点C的直线与⊙O相切。（2）直线与圆最多有两个公共点。（3）和圆有一个公共点的线段是圆的切线。

然后引导学生思考：这说明了什么？在我的引导下，学生认识到判断直线和圆的位置关系就是要知道直线和圆的公共点的个数。我接着追问：能不能像判定点和圆的位置关系那样，通过数量关系来判定直线和圆的位置关系呢？想一想我们应该通过比较半径和哪个距离之间的数量关系来判断直线和圆的位置关系呢？

接着，我引导学生深思：根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便，常用的是“和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”及切线的判定定理。同学们能说出这两种方法的联系和区别吗？学生通过仔细思考，发现切线的判定定理是由“和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”直接推出来的，两种方法本质是一致的，只不过切线的判定定理是从位置角度来判定的，“和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”是从数量角度来判定的。

这样，以问题链的形式引导学生探索切线的判定定理，解决了两个问题：一条直线成为切线需同时满足两个条件：①经过半径外端。②垂直于这条半径。

三、精心选择例题，强化探究能力

教学中，只有选择好具有探究价值的例题，才能真正培养学生的数学思维能力。教师要善于从例题中引导学生深入思索，总结规律。已知：⊙O的半径为3厘米，直线上有两点A、B，且OA=OB=5厘米，AB=8厘米，求证：AB与⊙O相切。

我首先要求学生确定选用的切线判定方法。学生认为题目条件中未明确指出直线AB与⊙O有公共点，所以适宜选用“和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”进行证明，只需作OH⊥AB于点H，证明OH等于该圆的半径即可。在请两位学生到黑板上演示自己的推理过程之后，我让学生自己总结从本题中得到的启发。学生经过讨论，集思广益后发现：在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线与圆是否有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证圆心到直线的距离等于圆的半径。可以简单地说成“无交点，作垂线，证半径”。这样，通过引导学生自主、合作、探究，总结归纳根据公共点是否明确来选用切线的判定方法以及相应辅助线的画法，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。

接着，我再追问：学完本课，我们能不能得出一些规律性的东西？研讨之后，大家发现了规律：判定一条直线是圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连圆心和公共点”，再证直线与半径垂直。当已知条件中未明确指出直线与圆是否有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证圆心到直线的距离等于圆的半径。这种探究式的学习方法，就比教师直接灌输的效果要好得多。

培养学生思维的深度和广度需要开阔他们的视野，需要拓展思维的力度，见多才能识广，练多才能生巧。要做到这一点，作为数学教师首先要做到成为一个爱动脑的人、一个“识广”的人。只有这样，才能让学生在“柳暗”之时“花明”，亲其师，明其道，获益匪浅。

（责任编辑黄晓）