相似三角形在平面几何中有关线段间关系的运用

黄建国

摘   要 ：相似三角形是平面几何中的基本图形之一，也是初中教学中的重点之一。它在解决平面几何的许多问题，如某些定理的证明，两直线的位置关系，特别是有关线段的比例，乘积及和差倍分等都起着“过河搭桥”的作用。

关键词 ：相似三角形;线段运用;辅助线;线段成比例

相似三角形在平面几何的教学中，能否牢固地掌握相似三角形的判定定理及有关性质并灵活地应用，是解决平面几何问题的关键之一，也是初中学生掌握基础知识和基本技能的途径之一。现将谈谈相似三角形在平面几何中有关线段间关系的运用。

1   证明两线段相等

证明线段相等的方法较多，常用的方法是根据全等三角形、特殊四边形的性质等等，但是利用相似三角形→比例线段→线段相等，也是一条便捷的解题思路，它有时会解决利用全等三角形、特殊四边形的性质无法解决或难解决的问题。

例1   如图1：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线交CD、CB于P、E，PF∥AB交BC于F，求证：CE=BF。

证明：∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠CAE=∠B AE，

又∵CD⊥AB，∠ACB=90°，

∴∠PDA=∠ACE=90°

则△PDA ∽△ECA。

得=                                   ①

又由PF∥AB得                            ②

由①、②得=                         ③

同是，由角平分线性质得=   ④

又∵∠CDA=∠BCA=90°，∠CAD=∠BAC，

∴△ADC∽△ACB.

∴=   ⑤

由③、④、⑤得=，故CE=BF。

2   证明线段成比例

比例式的线段是平面几何常见类型题，它有一种变形（ad=bc）和一种特例（a2=bc），利用相似三角形对应边成比例的性质证明四条线段成比例是常用的方法。下面举例说明用这种方法证题的思路。

2.1   当所证的比例式中的线段分别是两个三角形的两边时，首先考虑证这两个三角形相似。

例2   已知：如图2△ABC内接于圆O，∠A的平分线交BC于D，⊙O于E。

求证：=

分析： =

AD·AE=AC·AB

可证：△ADC∽△AEB.

证明：连结BE，∠1=∠2，∠C=∠E，

∴△ADC∽△AEB，∴=。

2.2   当所证比例式中的四条线段分别是两个三角形的两边，但这两个三角形不相似时，应考虑添辅助线造成相似三角形，先使其中三条线段在两个相似三角形中，然后再把另一条线段等量代换，从而证明求证的比例式成立。

例3   如图3，AM为△AB C的∠A的平分线，过A作一圆与BC相切于M点，并且与AB、AC分别交于E、F，求证：=

分析：如图3，虽然BE、BM和CF、CM是△BEM和△CFM的边，但这两个三角形在一般情况下不相似。（只有O点在AM上，△BEM≌△CFM），所以，考虑连结EM、FM，则△BEM∽△BMA，△CFM∽△CMA，则有=，=又由角平分线性质=，得=。

证明：  （略）

2.3   当所证比例式中的四条线段不是两个三角形的两边时，应通过作辅助线（一般是作平行线），构成相似三角形。

例4   如图4，BD=CE，求证：AC·EF=AB·DF。

分析：因为所证等式中的四条线段不同在两个三角形中，所以考虑作DG∥AC，这样可使四条线段都分别在两对相似三角形中。

证明：过D作DG∥AC，交B C于G，

∵DG∥AC，

∴△FEC∽△FDG，得=   ①

∴△BDG∽△BAC，得= ②

又∵CE=BD，     ③

由①、②、③得=，故AC·EF=AB·DF。

2.4   当四条线段在同一直线上时，可通过等量代换，使其中一条转移，以造成两个三角形，再证这两个三角形相似。

例5   如图5，AD为△ABC（AB>AC）的角平分线，AD的垂直平分线和BC的延长线交于点E，求证DE2=BE·CE。

分析：这个题目要证明DE2=BE·CE，由于B、C、D、E四点在一条直线上，所以不能直接通过证明两个三角形相似而证出。但EF是AD的垂直平分线为本题的已知条件，若连结AE，则DE=AE，即AE与DE为相等的线段。将AE代换DE2 =BE·CE中的DE，有AE2=BE·CE。这样只要证出△ACE与△B AE相似，就可证得AE：BE=CE：AE，即得证：AE2=BE·CE。

证明：如图5：连结AE，

∵EF是AD的垂直平分线，

∴EA=ED                              ①

∵∠2+∠3=∠4，

又∵∠4=∠l+∠B（三角形外角定理），

∠1=∠2，

∴∠3=∠B.

在△ACE和△ABE中，

∵∠3=∠B，∠AEC=∠BEA，

则△ACE∽△BAE。

∵=                           ②

由①②得DE2=BE·CE.

在这个例题中，与DE相等的线段是AE，用AE代换DE后，便能顺利地找出证法。从上例与数学实践中得出：应用等线代换这一方法证明比例式时，以找a2=bc中的a的等线为最好。

3   证明线段的倍分关系

利用相似三角形证明线段的倍分关系，通常将两线段置于两个相似三角形中，根据相似三角形的对应边成比例，然后用等量代换证明。

例6   已知：如图6，AB和CD是⊙O互相垂直的两条直径，G为的中点，连结AG交CD于E，交BC于F，求证：OE=BF。

分析：由结论OE=BF，即=，又O是圆心，是直径AB的中点，由此可考虑利用中位线的定理把结论与条件联系起来。由于AB是直径，则∠AGB=90°，因此，过O作OM⊥AG交AG于M，OM=BG，而OE与BF分别是Rt△OEM和Rt△BFG的对应边，现只需证明这两个直角三角形相似。

证明：连结BG，过O点作OM⊥AG于M，

∵AB为直径，    ∴∠BGA=90°，

∴OM∥BG、AO=OB，

∴==

又∵G为的中点，且AB⊥CD，

∴∠CBG=∠A=∠EOM，

且∠BGF=∠EMO=90°。

∴Rt△OEM∽Rt△BFG。

∴==，得OE=BF。

诚然，相似三角形在线段间应用远不止这些，它还可用于解决一些线段的平方或积的和差、几何不等式、两角相等以及面积比等问题，这里不一一赘述。

总之，以上只是简单地介绍相似三角形在平面几何中有关线段间关系的运用，旨在使学生熟悉相似三角形运用的基础上，逐步掌握利用它来解题的基本思路和方法。可以加深学生对直线形、圆形中有关线段间关系问题的相关性质认识和理解，提高学生的解题能力。

参考文献：

[1] 王建磐. 义务教育课程标准试验教科书·八年级数学[M].上海：华东师范大学出版社，2009.

[2] 朱海峰，夏建平.全国中考试题分类精粹·数学[M].福州：福建少年儿童出版社，2014.

[3] 黄东坡.培优竞赛新方法·八年级数学[M] .湖北：湖北人民教育出版社，2013.