关于数列中错位相减法的进一步思考

谭杭军

数列是高中数学的主干内容，又是学生进一步学习的基础，在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列教学的一个重要环节，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧，常见的方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和等等.其中方法之一，错位相减法是数列高考命题的高频点，但是从日常教学来看，学生对此问题的掌握不是很顺畅，其最大的问题是最后一项同类项的合并的失误和计算的准确率低.文[1]介绍了用裂项相消法“取代”错位相减法，大大减少了计算量，且提高了正确率，其相关结论如下：

定义1 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式.形如An=Bn·Cn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可.

定义2 裂项相消法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.

引理设数列An=（bn+c）an（a≠1，b≠0），则An=A′n-1-A′n=

x（n-1）+yan-1-xn+yan，则数列An前n项和为Sn=y-xn+yan，（其中x=ba-1，y=ac+ab-c（a-1）2）.

文[1]仅适合在数列Bn为等差数列（即一次函数）的时候，但是在实际教学过程中，经常碰到一些利用二次错位相减法的题目（即数列Bn是二次函数），那么是否也可以推广呢？

思考Ⅰ数列An=Bn·Cn，Cn为等比数列，当数列Bn=bn2+cn+d时，An是否也可以写成相邻两项数列之差呢？

推理Ⅰ设数列An=（bn2+cn+d）an（a≠1，b≠0），An=A′n-1-A′n=

x（n-1）2+y（n-1）+zan-1-xn2+yn+zan，则数列An前n项和为Sn=z-

xn2+yn+zan（其中x=ba-1，y=ac-c+2ab（a-1）2，z=da-1+ac-ab（a-1）2+2a2b（a-1）3）.

证明：令A′n=xn2+yn+zan，An=A′n-1-A′n

=x（n-1）2+y（n-1）+zan-1-xn2+yn+zan=ax（n-1）2+ay（n-1）+az-xn2-yn-zan=（ax-x）n2+（ay-2ax-y）n+ax-ay+az-zan

∴ax-x=bay-2ax-y=cax-ay+az-z=d

即x=ba-1y=ac-c+2ab（a-1）2z=da-1+ac-ab（a-1）2+2a2b（a-1）3

∴An=A′n-1-A′n=x（n-1）2+y（n-1）+zan-1-xn2+yn+zan

则Sn=A1+A2+A3+…+An=（x（1-1）2+y（1-1）+za0-x（2-1）2+y（2-1）+za）

+x（2-1）2+y（2-1）+za-x（3-1）2+y（3-1）+za2+…+x（n-1）2+y（n-1）+zan-1-xn2+yn+zan=x（1-1）2+y（1-1）+za0-xn2+yn+zan=z-xn2+yn+zan.（其中x=ba-1，y=ac-c+2ab（a-1）2，

z=da-1+ac-ab（a-1）2+2a2b（a-1）3），证毕.

例已知数列{an}满足：a1=2，an+1=21+1n2an.

（1）求数列an的通项公式；

（2）求证：a1+a2+…+an<（n2-2n+2）·2n+2

解法一：运用二次错位相减法

（1）求法略，an=n2·2n（2）用归纳法等传统方法，略.

解法二：裂项相消法

（1）求法略，an=n2·2n

（2）令bn=（An2+Bn+C）·2n使得an=bn+1-bn，則bn+1-bn=

[An2+（4A+B）n+2A+2B+C]·2n=n2·2n，∴A=14A+B=02A+2B+C=0，

∴A=1B=-4C=6即bn=（n2-4n+6）·2n，∴a1+a2+…+an=（b2-b1）+

（b3-b2）+…（bn+1-bn）=（n2-2n+3）·2n+1-6，

∴（n2-2n+2）·2n+2-[（n2-2n+3）·2n+1-6]=2n+1·（n-1）2+6>0，证毕.

思考Ⅱ当数列Bn=bn3+cn2+dn+e或者次数更高时，An是否也可以写成相邻两项数列之差呢？

推理Ⅱ数列An=x1nm+x2nm-1+…+xm+1an（x1≠0，a≠1），An=A′n-1-A′n，

其中A′n=y1nm+y2nm-1+…+ym+1an，则数列An前n项和为Sn=A′0-A′n

=ym+1-y1nm+y2nm-1+…+ym+1an，（其中y1、y2、…、ym+1均为常数）.

由以上可知，An也可以写成相邻两项数列之差，结论是肯定的，当然在实际教学过

程中，很少出现3次以上的问题，倘若有，不难证之，方法同上.

总之，对于数列An=Bn·Cn，其中Cn为等比数列，Bn=x1nm+x2nm-1+…+xm+1

（x1，x2，…，xm+1为常数），都可以采用裂项相消法，从而“取代”错位相减法，使其减少计算量、规避运算量，从而提高解题正确率，同学们不妨一试.

【参考文献】

[1]陈佳敏，毛选林.裂项相消法“取代”错位相减法.[J].读写算，2012（41）.