略谈二元函数在定点处的可微性条件

闫瑞玲

【摘要】本文列出了二元函数在定点处可微的几个条件并指出其作用，通过例子进一步明确这些条件的使用规则，以便在应用中做到具体问题具体分析.

【关键词】二元函数；偏导数；连续；可微；条件

对一元函数而言，可导与可微是等价的，连续是可导与可微的必要条件.

二元函数与一元函数相比，似乎仅比一元函数多了一个自变量，但其定义域已从一维空间扩充到了二维空间，几何意义从二维空间改变到了三维空间，各种分析性质（连续性，可导性，可微性等）之间的影响变得很复杂.

下面探讨二元函数在定点处的可微条件，引起注意.

一、定义

若二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）的全改变量Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）可表示为Δz=AΔx+BΔy+o（ρ），就说z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微，其中ρ=（Δx）2+（Δy）2，A，B是常数.并把dz=AΔx+BΔy称作z=f（x，y）在点P（x0，y0）处的全微分.

这是z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微的充要条件.

二、z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微的几个条件

定理1 如果二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微，则它在点P（x0，y0）连续.

定理2 如果二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微，则它在点P（x0，y0）的两个偏导数存在，且定义中的A=f′x（x0，y0），B=f′y（x0，y0）.

无论是二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）连续，还是其在点P（x0，y0）存在偏导数都仅仅是其可微的必要条件，而非充分条件.所以对一般的二元函数在定点处的可微性问题，仅计算出两个偏导数A=f′x（x0，y0），B=f′y（x0，y0），就得出z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微的结论，甚至说z=f（x，y）在点P（x0，y0）处的全微分是dz=f′x（x0，y0）Δx+f′y（x0，y0）Δy，是错误的.当且仅当二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微时，才把f′x（x0，y0）Δx+f′y（x0，y0）Δy称作是z=f（x，y）在点P（x0，y0）处的全微分.

如果定理2的条件再加强，就得到一个z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微的另一个条件.

定理3 二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）的某邻域内存在偏导数，且f′x（x，y），f′y（x，y）在P（x0，y0）连续，则z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微.

定理3扩大了考虑范围，却指出了z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微的充分条件.

三、结合例子分析条件

例1 考察函数z=f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0，在点（0，0）处的情形.

解析 点P（x，y）沿y=kx轴趋向（0，0）時，

lim（x，y）→（0，0）y=kxxyx2+y2limx→0kx2x2+k2x2=k1+k2.

它随k的值变化.此函数在（0，0）点连极限都不存在，当然谈不到连续.

在点（0，0）处，

f′x（0，0）=limΔx→0f（0+Δx，0）-f（0，0）Δx=limΔx→00=0，

fy（0，0）=limΔy→0f（0，0+Δy）-f（0，0）Δy=limΔx→00=0，

f（x，y）在（0，0）处的两个偏导数存在.

不满足定理1，但满足定理2，因而不可微.

如果从定理3方面考虑，则

当（x，y）≠（0，0）时，用偏导数的求导公式，有

f′x（x，y）=（x）′xyx2+y2+xyx2+y2′x=yx2+y2-2x2y（x2+y2）2=y（y2-x2）（x2+y2）2，

f′y（x，y）=（y）′yxx2+y2+yxx2+y2′y=xx2+y2-2xy2（x2+y2）2=x（x2-y2）（x2+y2）2.

于是f′x（x，y）=y（y2-x2）（x2+y2）2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0，

f′y（x，y）=x（x2-y2）（x2+y2）2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0.

可知f′x（x，y），f′y（x，y）在（0，0）不连续，则z=f（x，y）是点不满足定理3的充分条件.

是否可以认为二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）不满足定理3的条件时，一定不可微？

事实上，在（0，0）处给自变量增量（Δx，Δy）（Δx≠0，Δy≠0）时，有

Δz-（f′x（0，0）Δx+fy（0，0）Δ）=ΔxΔy（Δx）2+（Δy）2.

当Δx=Δy>0 时，有ΔxΔy（Δx）2+（Δy）2=12，则ΔxΔy（Δx）2+（Δy）2不是关于ρ=（Δx）2+（Δy）2的高阶无穷小. 于是所给函数在（0，0）不可微.

例2 考察f（x，y）=（x2+y2）sin1x2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0.在（0，0）的情形.

解析 lim（x，y）→（0，0）（x2+y2）sin1x2+y2=0=f（0，0），故所给函数在点（0，0）连续.满足定理1.

f′x（0，0）=limΔx→0f（0+Δx，0）-f（0，0）Δx=limΔx→0Δxsin1（Δx）2=0=0.

当x2+y2≠0时，

f′x（x，y）=2xsin1x2+y2-2xx2+y2cos1x2+y2.

而lim（x，y）→（0，0）2xsin1x2+y2=0，lim（x，y）→（0，0）2xx2+y2cos1x2+y2不存在，从而f′x（x，y）在（0，0）不连续.同理f′y（x，y）在（0，0）不连续.不满足定理3的充分条件.

但所给函数在点（0，0）可微.事实上

f′y（0，0）=limΔy→0f（0，0+Δy）-f（0，0）Δy=limΔx→00=0，

limρ→0Δf-（f′x（0，0）Δx+f′y（0，0）Δy）ρ=limρ→0ρ2sin1ρ2ρ=limρ→0ρsin1ρ2=0，

即f（0+Δx，0+Δy）-f（0，0）=f′x（0，0）Δx+f′y（0，0）Δy+o（ρ），则此函数在点（0，0）可微.

这时满足的是定义，或者说是另外的充分条件.

使一个事实成立的充分条件有时有几个，只要满足其中的一个即可.

【参考文献】

[1]数学分析 （第二版）华东师范大学数学系编 高等教育出版社出版.

[2]数学分析 （第四版）华东师范大学数学系编 高等教育出版社出版.