品高考三视图考题 谈空间思维能力培养

孙世林

【摘要】新课标将立体几何的内容由原来的“以位置关系为主线、从局部到整体到展开图”，变为“以图形特征为主线，从整体到局部”，这一变化中最突出的是增加了三视图.三视图从三个不同的视角描述了空间几何体的结构，学习三视图可以更好地发展学生的空间思维，培养学生的空间想象能力，并在几何直观的基础上，初步形成对空间图形的逻辑推理能力，但三视图不能全面反映空间几何体的所有信息.

【关键词】高考；三视图；空间思维

那么如何才能帮助学生透彻地理解并准确地解决三视图问题，又如何通过三视图问题发展学生的空间思维能力，下面谈谈自己的一些认识：

1.品三视图的概念，在正确理解投影中全面认识三视图

三视图是光线从几何体的前面向后面、左面向右面、上面向下面三个方向的正投影，得到的三个平面图形.对于投影，学生有从日常生活得到的直接经验，易于接受但不严谨，可以借助物理光学的知识去理解.所以，只有准确科学地理解了投影的概念才能把握三视图的本质.实质上投影线和投影面是“线面垂直关系”，点、线、面、体在投影面上的投影图都可以归结为“点到平面上的投影（或射影）”.

例1 （2014年北京高考理科）在空间直角坐标系oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，2）；若S1，S2，S3分别表示三棱锥D-ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）.

A.S1=S2=S3 B.S1=S2且 S3≠S2

C.S1=S3且 S3≠S2D.S2=S3且 S1≠S3

解析 本题主要考查空间直角坐標系与空间几何体的正投影的概念和画法，考查空间想象能力和基本运算能力；一般而言，在多面体内部构造投影面，通过该投影面和已知条件观察几何体的视图往往可以将问题化繁为简.

图 1对于本题，首先，根据坐标在空间直角坐标系中作出三棱锥D-ABC，作出三棱锥在三个坐标平面的正投影，如图所示1，△ABC为三棱锥在坐标平面xOy平面上的正投影，

所以S1=12×2×2=2；

三棱锥在坐标平面yoz上的正投影与ΔDEF（E，F分别为OA，BC的中点）全等，所以S2=12×2×2=2；三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与ΔDGH（G，H分别为AB，OC的中点）全等，所以，S2=12×2×2=2；所以，S2=S3且 S1≠S3，所以选D.

例2 （2008年广东高考理科）

将正三棱柱截去三个角（如图2所示，A，B，C

分别是ΔGHI三边的中点）得到几何体如图3，

则该几何体按图3所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）.

图 2 图3

解析 本题考查学生的空间想象能力，由于三视图中的投影是平行投影，解题时可以想象在几何体的正前方、右方和下方各放一面墙，所以本题可在图3的右边放一面墙，又因为是正棱柱，且AE在平面DEHG中，所以在侧视图中，AE应为竖直的，便可得答案为A.

归纳：要想得到准确的三视图就要搞清几何体中的点、线、面在投影面中的投影是什么形状，根据投影的概念，直线在投影面内的投影有可能是直线也可能是点，平面在投影面内的投影可能是平面也可能是直线，几何体中的线面投影有如下规律：线段平行于投影面时投影长不变，平面（图形）平行于投影面，它的投影形状不变；线段垂直于投影面，它的投影成一个点；平面（图形）垂直于投影面，它的投影为线段；线段倾斜于投影面，它的投影长变短；平面（图形）倾斜于投影面.它的投影根据倾斜程度而改变.

2.品三视图的生成，在转化中培养并发展空间想象能力

空间几何体的三视图是用物体的三个正投影来描述空间几何体结构的平面图形，在由几何体向三视图的转化中，要用想象去“透视”物体，要能“看见”几何体内部看得见和看不见的部分（虚线表示），看得见的轮廓线或棱用实线表示，看不见的轮廓或棱用虚线表示，通过比较概括动手画出三视图，其规律是：“长对正，高平齐，宽相等”.

例3 （2012年陕西高考理科）将正方体（如图4）截去两个三棱锥，得到图5所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）.

图 4

图 5

解析 如图7的几何体可还原成如图6的正方体，其左视图就是向正方体的右侧面BCC1B1作投影，过D1，D，A三点向平面BCC1B1作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线，又平面ABB1的投影为BB1，平面DCD1的投影为CC1，所以选B.

图 6

例4 （2010年北京高考理科）

一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体

的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，

则该几何体的俯视图为（ ）.

解析 本题是由三视图的正视图、左视图得到几何体，再由几何体画出几何体的左视图，解题的关键是要搞清观察的方位与图形的相对位置，通过正视图、左视图可知该长方体挖去了一个小长方体，

挖掉的小长方体从前方看是在观测者的左上方，

从左向右看是在观测者的右上方，所以该几何体的直观如图8，因此，从上向下方看应该在

观测者的左下方，所以选C.

图 6

归纳：新课标要求学生能根据基本几何体或实物模型进行三视图描述，此类问题考查学生的空间想象能力和判断推理能力，画三视图时要注重实物模型的作用，充分认清几何体的本质属性，要注意选择适当的角度，运用好投影的知识和规律得到投影，要观察好几何体的特征，把握好投影是实线还是虚线，只有这样才能由几何体得到准确的三视图.

3.品如何从三视图回归几何体，在反思中形成对空间图形的逻辑推理

一个几何体的位置确定之后，它的三视图是唯一的，但反过来，相同的三视图可以对应不同的几何体，由于不是一一对应，这就要求我们需要更深入地观察和思考，避免思维的僵化和定式；在由几何体的三视图还原直观图时，应根据“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征得到几何体的长、宽、高，并由此对还原后的几何体进行相关几何量的计算，完成对空间图形的逻辑推理.

图 7例5 若某几何体的三视图（单位：cm）

如图所示，则此几何体的体积等于cm3.

解析 由正视图可知该几何体的正面为梯形，上底长为4，下底长为2+4+2=8，由俯视图可知该几何体的底面为矩形，宽为4，结合正视图可知矩形的长为11，由侧视图可知该几何体的侧面为三角形，结合正视图与俯视图可知三角形的底边长为4，由此，我们可还原三视图得到如图7所示的几何体ABCDEF，

将它分割成一个直三棱柱EGI-FHJ和两个完全相等的四棱锥E-AIGD与F-JBCH，由正视图可知该四棱锥的高为3，由此可得该几何体的体积

V=VEGI-FHJ+VE-AIGD+VF-JBCH

=12×4×3×4+2×13×2×4×3

=40（cm3）

另解 也可将几何体分割成三棱住DAE-MNF和四棱锥F-BCMN，如图8，

图 8∴V=VDAE-MNF+VF-BCMN

=12×4×3×4+13×4×4×3=40（cm3）

归纳：研究几何体的空间结构，包括研究几何体的表面积、体积以及几何体中线面平行关系和垂直关系，解决这类问题的关键是由三视图正确还原几何体，在由三视图还原几何体时：第一，要分析几何体是不是组合体，如果是，由几部分组成，每部分是什么几何体，最终得到几何体的结构特征；第二，要熟悉常见几何体，如棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的三视图，特别是某些侧面垂直于底面的棱锥的三视图，只有熟悉了这些常见的几何体的三视图，才能在复杂的几何题中发现它们并加以运用；第三，三视图中的虚线是几何体中存在的边线，但在三视图中并没有投影出来，准确理解虚线与实线的区别，充分挖掘虚线所提供的信息，并准确运用“长对正、高平齐、宽相等”，实现对空间图形的逻辑推理.

【参考文献】

[1]方厚良，罗灿.立体几何三图教学分析与建议.中学数学教学参考[J].2011年7月.

[2]郑灿基.2010高考三視图的新视角.数学教学通讯[J].2011，2.

[3]李连芳.例谈高考中的热点——三视图.中学数学教学[J].2009，5.