高中数学中的导数实例分析

杨志刚

【摘要】导数在高中数学和高等数学之间起到了承上启下的作用，在高中数学的教学过程中常常是作为重点和难点来进行讲解的.关于导数的应用拓展在平时的模拟和历年高考题目中都有一定程度的体现.在本篇文章中，作者精心选取了几个典型的与导数相关的数学题目加以分析并对相关知识点进行了总结，希望这些心得和体会能够对广大高中生有所启示.

【关键词】高中数学、导数、例题解析

高中数学中关于导数涉及一些基础的知识，从初等数学的观点出发，导数是与函数紧密相连，并且可以完全被看作函数大的知识框架中的一部分.导数是判断函数单调性，求解函数极值和最值最关键的手段.而如果从高等数学的观点出发，导数是微分的逆运算，而微分和积分又是构成高等数学的基石.从这里可以看出，高中学习的导数知识，不仅是为解决高中数学现有的问题，而且也是为了学生将来接触到的高等数学打下一定的基础，因此，显得十分重要.关于导数的题目，一般可以从导数的意义、导数的运算法则和应用以及导数与其他知识点的综合三个方面出题，下面我们一一进行举例分析.

一、导数的意义

导数的意义来源于其本身的概念，又可以分为几何意义和物理意义.导数的几何意义表明导数是函数曲线上某一点切线的斜率；而物理意义就是某物理量对另一物理量的变化率，如距离对时间的导数是速度，而速度对时间的导数是加速度等.

例1 （2009年全国卷真题）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+α）相切，则α的值为（ ）.

A.1 B. 2 C. -1 D. -2

分析 这是一道关于导数基础概念和几何意义的高考真题，题干简单但是蕴含着较多的信息.题干中说直线和曲线相切，也就是只有一个交点并且在这个交点处二者的斜率相同，这也是相切与相交的区别之处.因此，做这道题，首先必须明白相切二字带来的信息，另外想到相切与导数的关系，也就是对导数几何意义的熟悉.

解答 已知直线与曲线相切，故它们只有一个切点且在这个切点直线和曲线的斜率相同.设切点为P（x0，y0），则y0=x0+1=ln（x0+α）.又由于直线的斜率为一个常数k0=1，所以在切点处曲线y=ln（x+α）的斜率k1=k0=1.对曲线求导数，可得k0=1/（x0+α）=1，所以x0+α=1，即y0=0，x0=-1，所以α=2.

点评 当遇到题干十分简练的题目时，一定要认真读题，从每一个字眼中挖掘题目蕴含的一些信息.通常情况下，在考察导数的概念时，不会涉及很复杂的计算，所以题目设计的数字往往都是十分凑巧的.

二、导数的运算法则和应用

导数的运算法则不是人为规定的，而是对计算中的一些结论进行的总结，而这些总结性的知识也都是从最基础的概念推理得出的.导数的求法以及运算法则在高中阶段基本是一些需要死记硬背的东西，这里不再赘述.关于导数的应用，基本还是围绕着函数的一些性质展开的，这里面包括函数的单调性、极值和最值等知识点.

例2 设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.

（1）求a，b的值.

（2）若对于任意的x∈ [0，3]，都有f（x）分析 在这道题中，题干中出现了极值，所以要求学生对函数极值的概念要十分熟悉，尤其是导数在极值点处取0的性质.这里涉及一个一元三次的函数，有3个系数a，b和c待定，通过两个极值和函数的导数列出方程，可以求出a，b两个系数，第一问就解决了.a，b两个系数求出来以后，对于第二问就是一个不等式的问题，应该不难解决.

解答 （1）对函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c求导可得到函数的导函数f′（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1和x=2取得极值，则有f′（1）=f′（2）=0，即6+6a+3b=0；24+12a+3b=0，解之，得：a=-3，b=4.

（2）由（1）可知，f（x）=2x3-9x2+12x+18c，求导得到导函数f′（x）=6x2-18x+12=

6（x-1）（x-2）.根据单调性，两个极值点将函数分为三段.当x∈ [0，1]时，f′（x）>0，函数递增，所以在区间 [0，1]上f（x）的极大值为f（1）=2-9+12+18c=5+18c，最小值为f（0）=18c；当x∈ [1，2]时，f′（x）<0，函数递减，所以在此区间上函数的极大值为f（1）=5+18c，极小值为f（2）=16-36+24+18c=4+18c；当x∈ [2，3]时，f′（x）>0.函数递增，所以在此区间上函數最大值f（3）=9+8c，极小值为f（2）=4+18c.综上，当x∈ [0，3]时，函数最大值为f（3）=9+8c