函数及其图象常见题型

徐永杰

从近几年的高考试题来看，一次、二次函数图象的应用是高考的热点，重点考查数形结合与等价转化、分类讨论三种数学思想. 幂函数重点考查幂指数为1，2，3，[12]，-1时的情形.下面，笔者以近几年的高考题为例归纳此部分内容的常见题型.

图象的交点个数、范围问题

例1 函数[f（x）=2lnx]的图象与函数[g（x）=][x2-4x+5]的图象的交点个数为（ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

解析 作出函数[f（x）=2lnx]的图象与函数[g（x）=][x2-4x+5]的图象，结合[f（2）=2ln2=ln4>1=][g（2）]，如图所示.

答案 B

例2 设函数[f（x）=1x]，[g（x）=ax2+bx（a，b∈R，][a≠b）]，若[y=f（x）]的图象与[y=g（x）]的图象有且仅有两个不同的公共点[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，则下列判断正确的是（ ）

A. 当[a<0]时，[x1+x2<0]，[y1+y2>0]

B. 当[a<0]时，[x1+x2>0]，[y1+y2<0]

C. 当[a>0]时，[x1+x2<0]，[y1+y2<0]

D. 当[a>0]时，[x1+x2>0]，[y1+y2>0]

解析 若[y=f（x）]的图象与[y=g（x）]图象有且仅有两个不同的公共点，当[a<0]时，其图象如图.作出点[A]关于原点的对称点[C，C]点的坐标为[（-x1，-y1）]. 由图象知，[-x1y2]，故[x1+x2>0，y1+y2<0]，同理当[a>0]时，有[x1+x2<0，y1+y2<0].

答案 B

解读 解决图象交点问题时，首先是画出对应函数的图象（根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和对称性）.观察图象，结合零点的存在性定理和函数的单调性、对称性、函数值变化速度等具体特征分析交点的个数和范围.

函数零点、方程根的问题

例3 已知函数[fx=2-x， x≤2，x-22， x>2，] 函数[gx=b-f2-x]，其中[b∈R]，若函数[y=fx-gx]恰有4个零点，则[b]的取值范围是（ ）

A. [74，+∞] B. [-∞，74]

C. [0，74] D. [74，2]

解析 由[fx=2-x， x≤2，x-22， x>2]得，

[f（2-x）=2-2-x，x≥0，x2， x<0.]

[则y=f（x）+f（2-x）=2-x+x2， x<0，4-x-2-x， 0≤x≤2，2-2-x+（x-2）2， x>2.=x2+x+2， x<0，2， 0≤x≤2，x2-5x+8，x>2.]

[y=f（x）-g（x）=f（x）+f（2-x）-b]，[y=fx-gx]恰 有4个零点等价于方程[f（x）+f（2-x）-b=0]有4个不同的解，即函数[y=b]与函数[y=f（x）+f（2-x）]的图象的4个公共点，由图象可知，[74