对一道高中物理题的思考与改进

杨兆兴

[摘 要]高中物理习题量大、面广，涉及的知识点多，且思维严密，逻辑性强，所以在选题、命题的过程中，要严密推演、仔细推敲，否则，容易出现这样或那样的失误。

[关键词]商榷 思考 改进

[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）230061

下面是一道关于机械能守恒定律的计算题，在很多参考资料里频繁出现，本人认为题目的答案并无不妥，但题目所涉及的物理过程值得商榷。

原题：如图1所示是一个横截面为半圆、半径为r的光滑圆柱面，一根不可伸长的细线两端分别系着小球A、B，A、B均可视为质点，其质量关系为mA=2mB。由图示位置从静止开始释放小球A，当小球B达到圆柱顶点时，求绳的张力对小球B所做的功。

图1

原解：本题要求绳的张力对小球B做的功，关键是求出小球B到达圆柱顶点时的动能。由于柱面是光滑的，故系统重力势能的减少量等于系统动能的增加量。

系统重力势能的减少量为ΔEp=mAgπr2-mBgr

系统动能的增加量为ΔEk=12（mA+mB）v2

由ΔEp=ΔEk得v2=πmA-2mBmA+mBgr

……①

将mA=2mB代入①式可得v2=23（π-1）gr

所以绳的张力对小球B做的功为

W=12mBv2+mBgr=π+23mgr

疑问：此题灵活地考查了连接体的机械能守恒定律，思路及解答也都无可厚非。但问题是：B球在沿柱面上运动的过程中，是否脱离柱面，脱离的位置在何处呢？有没有可能在还未滑至最高点就脱离了柱面呢？

图2

解析：如图2所示，设半圆的圆心为O，B球与圆心的连线为BO。假设当连线BO与桌面成θ弧度角时，小球脱离柱面，则此时柱面对小球的弹力为0，此时小球的速度为v，由向心力公式可得

mBgsinθ=mBv2r……②

系统重力势能的减少量为ΔEp=mAgrθ-mBgrsinθ

系统动能的增加量为ΔEk=12（mA+mB）v2

由ΔEp=ΔEk得

mAgπrθ2-mBgrsinθ=12（mA+mB）v2

……③

联立②、③两式并将mA=2mB代入可得5sinθ-4θ=0，解得θ≈1.13rad≈64.8°。

所以说，小球B在未到达顶点之前就因离心运动而脱离了柱面，题设的条件是不妥当的。

那么，我们要设定怎样的条件才能确保小球B不离开柱面而运动到顶点呢？

方案一：改变两球的质量关系

若要使小球B能够滑至顶点且不脱离柱面，这一过程中柱面对B的弹力应始终满足N≥0，设小球B沿柱面滑至顶点时的速度为v，由向心力公式mg-N=mv2r，可得，N=mg-mv2r≥0，

则v2≤gr……④

由①、④联立可得πmA-2mBmA+mB≤1，即

mA≤3π-1mB≈1.40mB。

所以，只有在满足mB方案二：固定小球的半圆轨道

图3

若不改变两球的质量关系而让小球能沿柱面到达顶点，我们也可以在柱面的外侧再固定一个与原柱面同轴的光滑柱面，如图3所示，使两个柱面之间的空隙刚好能够容纳下B小球；或者干脆把柱面撤掉，如图4所示，换成半圆形的光滑玻璃管。

图4

改后题：如图4所示，在竖直平面内固定一半圆形光滑玻璃管，两管口中心连线恰为一水平直径，一根不可伸长的细线穿管而过，两端分别系着小球A、B，其质量关系为mA=2mB，已知半圆半径为r，B球直径比玻璃管的内径略小，且可视为质点。由图示位置从静止开始释放小球A，当小球B到达半圆顶点时，求绳的张力对小球B所做的功。

所以说，我们在平时命题、审题的过程中，不但要把握教学大纲、课程标准的要求，关注知识与能力的考查，还要注重理论联系实际，尽量避免不切实际的物理过程出现。

（责任编辑 易志毅）