Hall s－半嵌入子群与有限群的p－幂零性

郭艳慧，黎先华

（1.苏州科技学院数理学院，江苏 苏州 215009；2.苏州大学数学科学学院，江苏 苏州 215006）

Halls－半嵌入子群与有限群的p－幂零性

郭艳慧1，2，黎先华2＊

（1.苏州科技学院数理学院，江苏 苏州 215009；2.苏州大学数学科学学院，江苏 苏州 215006）

设群G为有限群，称群G的子群H为Halls－半嵌入子群，若对任意的素数p满足p｜｜G｜，只要（p，｜H｜）＝1，就有H为〈H，P〉的Hall子群，其中P∈Sylp（G）.利用Halls－半嵌入子群和极小子群得到有限群为p－幂零群的若干新判定方法.

Halls－半嵌入子群；p－幂零群；幂零群

本文涉及的群均为有限群，所用术语及符号均是标准的，未交待的概念和符号参见文献［1］.这里列出本文中几个常用的符号：｜G｜表示群G的阶；｜G∶H｜表示子群H在群G中的指数；Sylp（G）表示群G的所有Sylowp－子群之集.

关于Hall子群的存在性及利用Hall子群来探讨群的结构是群论研究的热点.群G的子群H称为G的Hall子群，若（｜G∶H｜，｜H｜）＝1；群G的子群H称为G的p′－Hall子群，若｜H｜·｜P｜＝｜G｜，其中P∈Sylp（G）.作为Sylow子群的推广，Hall子群是一类重要的子群.著名的Hall定理［1］258指出，群G为可解群当且仅当对｜G｜的任意素因子p，都存在G的p′－Hall子群.Moretó［2］利用Sylow数讨论了幂零Hall子群的存在性；Revin等［3］给出了Hall子群的Frattini论断定理；Arad等［4］推广了Hall定理，证得群G为可解群当且仅当存在G的2′－Hall子群与3′－Hall子群.最近，Li等［5－6］先后引入了Hall正规嵌入子群和Hall次正规嵌入子群的概念；张勤海等［7］提出了s－半置换子群的概念：群G的子群H称为G的s－半置换子群，若对任意的素数p满足p｜｜G｜，只要（p，｜H｜）＝1，就有HP＝PH，其中P∈Sylp（G）.关于s－半置换子群的概念有许多推广形式，如弱¯s－可补子群［8］和几乎τ－嵌入子群［9］.作为Hall子群和s－半置换子群的推广，本文引入Halls－半嵌入子群这一新概念，并利用它给出有限群为p－幂零群的若干新判定方法.

1 预备知识

定义1 设群G为有限群，称群G的子群H为Halls－半嵌入子群，若对任意的素数p满足p｜｜G｜，只要（p，｜H｜）＝1，就有H为〈H，P〉的 Hall子群，其中P∈Sylp（G）.

显然，G的每个Hall子群和每个s－半置换子群都是G的Halls－半嵌入子群，但G的Halls－半嵌入子群不一定是G的s－半置换子群.反例如下：

例 设G＝A5，则G的Sylow 2－子群显然为Halls－半嵌入子群，但由文献［10］中推论B知G的Sylow 2－子群不是s－半置换子群.

引理1 设A为G的Halls－半嵌入子群且A≤H≤G，则A为H的Halls－半嵌入子群.

证明 设素数p满足p｜｜H｜，（p，｜A｜）＝1且H p∈Sylp（H），则必存在Gp∈Sylp（G）使得H p≤Gp.由A为G的 Halls－半嵌入子群知A为〈A，Gp〉的 Hall子群.又因〈A，H p〉≤〈A，Gp〉，故A为〈A，H p〉的Hall子群，从而A为H的Halls－半嵌入子群.

引理2 设A为G的Halls－半嵌入子群，且A为p－群，N G，则AN／N为G／N的Halls－半嵌入子群.

引理3［11］设G为一个有限群，A≤G，F是一个非空饱和群系且Z＝（G）.

1）若A在G中正规，则AZ／A≤（G／A）；

2）若F是S－闭的，则Z∩A≤（A）.

2 主要结果

定理1 设素数p满足p｜｜G｜且（｜G｜，p－1）＝1.若G的每个p阶及4阶（当p＝2时）循环子群为G的Halls－半嵌入子群，则G为p－幂零群.

证明 假设定理不成立，设G为极小阶反例.任取H＜G，由假设及引理1，知H的p阶及4阶（当p＝2时）循环子群为H的Halls－半嵌入子群.又因G为极小阶反例，所以H必为p－幂零群，从而G的每个真子群为p－幂零群，即G为极小非p－幂零群.由极小非p－幂零群的结构定理［12］可得G＝PQ，其中P∈Sylp（G），Q∈Sylq（G），且P，Q还满足：P G；当p＞2时，P的指数expP＝p；当p＝2时，expP≤4；Q为循环群.

1）当｜P｜＝p时，由NG（P）／CG（P）同构于 Aut（P）的一个子群，｜Aut（P）｜＝p－1以及假设（｜G｜，p－1）＝1，可得NG（P）＝CG（P），从而由Burnside定理知G为p－幂零群，这与G为极小阶反例矛盾.

2）当｜P｜＝p2时，若p＞2，任取a∈P，则｜a｜＝p.由假设〈a〉为G的 Halls－半嵌入子群，知〈a〉为〈a，Q〉的 Hall子群.再由〈a，Q〉＝〈a〉Q＜G及G为极小阶反例，可得〈a，Q〉＝〈a〉Q为p－幂零群，从而〈a〉≤N G（Q）.由a的任意性知P≤N G（Q），从而QG，这与G为极小阶反例矛盾.

若p＝2，则当P为循环群时G为p－幂零群；当P不循环时，任取a∈P，有｜a｜＝2.由假设〈a〉为G的 Halls－半嵌入子群，可得〈a〉为〈a，Q〉的 Hall子群.又因〈a，Q〉＝〈a〉Q＜G，故由G为极小阶反例，〈a，Q〉＝〈a〉Q为2－幂零群，得〈a〉≤N G（Q）.再由a的任意性知P≤N G（Q），从而QG，这与G为极小阶反例矛盾.

3）当｜P｜＞p2时，任取a∈P，则｜a｜＝p或4（当p＝2时）.由假设〈a〉为G的 Halls－半嵌入子群，得〈a〉为〈a，Q〉的 Hall子群.再由〈a，Q〉＝〈a〉Q≤G及G为极小阶反例，知〈a，Q〉＝〈a〉Q为p－幂零群，从而〈a〉≤N G（Q）.由a的任意性知P≤N G（Q），从而QG，这与G为极小阶反例矛盾.

综上，极小阶反例不存在，从而G为p－幂零群.

推论1 1）若群G的所有2阶及4阶循环子群为G的Halls－半嵌入子群，则G为2－幂零群.

2）设p为｜G｜的最小素因子，且p＞2.若G的所有p阶子群为G的Halls－半嵌入子群，则G为p－幂零群.

3）若群G的所有极小子群及4阶循环子群为G的Halls－半嵌入子群，则G有超可解性Sylow－塔.

定理2 若群G的每个p阶子群包含在Z∞（G）中，且4阶循环子群为G的Halls－半嵌入子群，则G为p－幂零群.

证明 假设定理不成立，设G为极小阶反例.任取H＜G以及H的p阶子群A.在引理3中取F为幂零饱和群系，则F为S－闭的且此时（G）＝Z∞（G）.由引理3中2），得A≤Z∞（G）∩H≤Z∞（H）.又由引理1可得H的4阶循环子群为H的Halls－半嵌入子群，从而由G为极小阶反例知H为p－幂零群，故G为极小非p－幂零群.由极小非p－幂零群的结构定理，可得G＝PQ，其中P∈Sylp（G），Q∈Sylq（G），且P，Q满足：P G；当p＞2时，expP＝p；当p＝2时，expP≤4；Q为循环群.若p＞2，则由假设知P≤Z∞（G），从而G＝PQ＝Z∞（G）Q为幂零群，这与G为极小阶反例矛盾，故p＝2.任取a∈P，若｜a｜＝2，则〈a，Q〉≤Z∞（G）Q.由Z∞（G）Q为幂零群，可得〈a〉≤NG（Q）；若｜a｜＝4，则由假设〈a〉为G的 Halls－半嵌入子群，知〈a〉为〈a，Q〉＝〈a〉Q的 Hall子群.由〈a，Q〉＝〈a〉Q为2－幂零群，可得〈a〉≤NG（Q）.进一步地，由a的任意性可得P≤NG（Q），从而QG，这与G为极小阶反例矛盾；因此，极小阶反例不存在，从而G为p－幂零群.

推论2 1）若群G的每个p阶子群包含在Z（G）中，且4阶循环子群为G的Halls－半嵌入子群，则G为p－幂零群.

2）若群G的每个极小子群包含在Z∞（G）中，且4阶循环子群为G的Halls－半嵌入子群，则G为幂零群.

3）若群G的每个极小子群包含在Z（G）中，且4阶循环子群为G的Halls－半嵌入子群，则G为幂零群.

定理3 设NG且满足G／N为p－幂零群.若N的每个p阶子群包含在Z∞（G）中，4阶循环子群为G的Halls－半嵌入子群，则G为p－幂零群.

证明 假设定理不成立，设G为极小阶反例.

1）G为极小非p－幂零群.任取H＜G，则H∩NH.在引理3中取F为幂零饱和群系，则F为S－闭的且此时（G）＝Z∞（G）.由引理3中2）可得Z∞（G）∩H≤Z∞（H），从而H∩N的p阶子群包含在Z∞（H）中.再由引理1，知H∩N的4阶循环子群也是H的Halls－半嵌入子群.又由H／（H∩N）≅H N／N及G／N为p－幂零群，可得H／H∩N为p－幂零群，故H及H∩N满足假设条件.又因G为极小阶反例，故H为p－幂零群，从而G为极小非p－幂零群.由极小非p－幂零群的结构定理，可得G＝PQ，其中P∈Sylp（G），Q∈Sylq（G），且P，Q满足：P G；当p＞2时，expP＝p；当p＝2时，expP≤4；Q为循环群.

2）p＝2.若p＞2，则由假设知P∩N≤Z∞（G）.因为G／（P∩N）≤（G／P）×（G／N），G／P≅Q以及G／N均为p－幂零群，所以G／（P∩N）为p－幂零群，从而Q（P∩N）／（P∩N）G／N.若Q（P∩N）＝G，则由定理2知G为p－幂零群，这与G为极小非p－幂零群矛盾，所以Q（P∩N）＜G，从而Q（P∩N）为p－幂零群.又因QcharQ（P∩N），故Q G，G为幂零群，这与G为极小非p－幂零群矛盾，从而必有p＝2.

3）N为幂零群，且其Sylowq－子群N q满足1＜N q＜Q.若N＝G，则由定理2知G为p－幂零群，矛盾，从而1＜N＜G.由上述1）得N为p－幂零群，从而N p≤P，Nq≤Q.若N q＝1，则N≤P；若N＝P，则由定理2知G为p－幂零群，矛盾，故N＜P；从而，G／N＝（P／N）·（QN／N）.由G／N为p－幂零群得QNG，又因QN＜G，故QN为p－幂零群.由QcharQN，必有Q G，这与G为极小阶反例矛盾，从而N q满足1＜Nq＜Q.

4）由前述1）～3）的讨论可知N q≤Z（G），现考虑商群G／Nq.在引理3中取F为幂零饱和群系，则由引理3中1），得到N／Nq的p阶子群包含在Z∞（G）Nq／Nq＝Z∞（G）／Nq≤Z∞（G／N q）中.又由引理3中2）知N／Nq的4阶子群为G／N q的Halls－半嵌入子群，从而G／Nq及N／N q满足假设条件，再由G为极小阶反例可知G／N q为p－幂零群.于是Q／N qG／N，故QG，G为p－幂零群，矛盾.

综上，极小阶反例不存在，G为p－幂零群.

推论3 1）设NG且满足G／N为p－幂零群.若N的每个p阶子群包含在Z（G）中且4阶循环子群为G的Halls－半嵌入子群，则G为p－幂零群.

2）设NG且满足G／N为幂零群.若N的每个极小子群包含在Z（G）中且4阶循环子群为G的Halls－半嵌入子群，则G为幂零群.

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Halls－semiembedded subgroups andp－nilpotency of the finite groups

GUO Yanhui1，2，LI Xianhua2＊

（1.Sch of Math ＆Phys，Suzhou Univ of Sci and Tech，Suzhou 215009，China；2.Sch of Math Sci，Soochow Univ，Suzhou 215006，China）

LetGbe a finite group.A subgroupHofGis called a Halls－semiembedded subgroup ofG，if for any primepwithp｜｜G｜，His a Hall subgroup of〈H，P〉，wherePis a Sylowp－subgroup ofGwith（p，｜H｜）＝1.In this paper，it is obtained that some new results about thep－nilpotency ofGunder the assumptions that some minimal subgroups ofGare Halls－semiembedded inG.

Halls－semiembedded subgroup；p－nilpotent group；nilpotent group

O 152.1

A

1007－824X（2015）04－0001－04

2015－04－09.＊ 联系人，E－mail：xhli＠suda.edu.cn.

国家自然科学基金资助项目（11171243）；江苏省普通高校研究生科研创新计划资助项目（KYLX－1212）.

郭艳慧，黎先华.Halls－半嵌入子群与有限群的p－幂零性 ［J］.扬州大学学报（自然科学版），2015，18（4）：1－4.

（责任编辑 青 禾）