含SVC电力系统电压稳定性余维二分岔研究

迟 昆，高锋阳，董唯光，曹晓斌

(1．兰州交通大学自动化与电气工程学院，甘肃兰州730070; 2．西南交通大学电气工程学院，四川成都610031)

含SVC电力系统电压稳定性余维二分岔研究

迟 昆1，高锋阳1，董唯光1，曹晓斌2

(1．兰州交通大学自动化与电气工程学院，甘肃兰州730070; 2．西南交通大学电气工程学院，四川成都610031)

为揭示系统中多参数共同作用对电力系统电压稳定性的影响，需要克服单参数分岔局限性。使用静态无功补偿器(SVC)提高系统稳定性，同时以负荷有功功率、无功功率及SVC参数为分岔控制参数，运用分岔分析方法，验证了复杂电力系统中二维解流形存在Generalized Hopf分岔和Zero-Hopf分岔现象。分析结果表明Zero-Hopf分岔点为鞍结分岔(Saddle Node Bifurcation，SNB)曲线与Hopf曲线的交点，增大SVC电压增益Ksvc有利于二维分岔边界的拓展;同一Ksvc值可通过调节无功功率来消除二维分岔曲线上的Zero-Hopf分岔点。本文揭示了三个参数共同作用下影响电力系统电压稳定性的分岔机理。

电力系统电压稳定性;余维二分岔;静止无功补偿器;分岔理论

1 引言

在电力行业迅猛发展过程中，随着各类元件加入电力系统以提高电力系统电压稳定性的同时，元件自身对系统稳定性又产生了巨大影响。在系统参数多样性、复杂性的共同作用下造成系统稳定性分析困难，对系统电压失稳没有统一的机理认识。分岔理论的引入对系统稳定性探讨有着重要意义［1-4］。文献［5］成功地解释了电力系统分岔等众多复杂的动态行为;文献［6］重点研究了在直流典型控制方式下多个直流参考电压共同作用对系统行为的影响;文献［7，8］以风电系统为背景进行了多参数动分岔和多参数静分岔分析，研究结果表明多参数更有利于揭示电压稳定情况。

电力系统是一个高维含参非线性动力系统，在稳定边界会遭遇分岔［9-12］。目前以余维一分岔为主要研究对象，余维二以及更高维分岔边界和高维分岔点的确定研究甚少。文献［13］提出改进直接法求解电力系统 Bogdanov-Takens分岔(BT);文献［14］在简单电力系统中发现Zero-Hopf分岔(ZH)，广义Hopf分岔(GH)也称退化Hopf分岔(degenerate bifurcation)，上述余维二分岔点会使系统产生十分复杂的动态行为。

静止无功补偿器(SVC)作为现代电力系统无功就地补偿的重要元件，已经在交流柔性输电技术中得到了广泛的应用［15］。目前关于余维一分岔分析SVC特性的研究成果很多，而采用SVC参数与系统特定变量共同作用下高余维分岔分析较少。本文采用静态、动态负荷模型中有功功率P、无功功率Q及SVC电压增益Ksvc进行三参数余维二分岔点搜索，获取系统电压稳定边界，对国内研究很少的余维二分岔点受参数变化影响进行分析，提出以控制余维二分岔点来提高系统电压稳定性的措施。

2 分析方法与模型

2.1 分析方法

一般电力系统可用下列微分代数方程(DAE)进行描述:

式中，x∈Rn为系统状态变量，如发电机功角、发电机角速度等;y∈Rm为系统代数状态变量，如节点电压和相角;λ为系统控制变量，可选用负荷功率。满足上述方程式(1)的点(x0，y0，λ0)为系统平衡点，即:

于是平衡解流形可以表示为:

对式(1)在平衡点(x0，y0，λ0)进行微分变换可得:

如果Dyg(x0，y0)不可逆，系统将发生奇异诱导分岔。这里设Dyg(x0，y0)可逆，则动力学微分方程描述为:

式中，J为电力系统雅可比矩阵。当J4可逆时，系统的动态稳定性可由系统的状态雅可比矩阵特征值确定。

不同类型的分岔现象对应于不同的电压失稳模式。余维数是指确定某个分岔类型所需参数的最少个数。分岔分析可按余维数划分为余维一分岔分析以及高余维(余维二等)分岔分析。余维一分岔点包括SNB、HB、SIB和LIB等;余维二分岔点主要包括以下三种分岔:

(1)Bogdanov-Takens分岔［16］:在某个平衡点处，雅可比矩阵的特征值有一对零重根，它由Rifkat-Bogdanov和FlorisTakens两人同时发现，因而得名。

(2)Zero-Hopf分岔［17］:在某个平衡点处，雅可比矩阵的特征值同时具有一对共轭纯虚根和一个零根。

(3)Generalized Hopf分岔［16］:在某个平衡点处，雅可比矩阵的特征值具有一对纯虚根，且当参数变化时，这对纯虚根不穿越虚轴。

采用上述方法，以有功功率P与无功功率Q为分岔控制参数来获取单参数分岔点SNB与HB分岔点，然后分别以SNB点和HB点为初值，利用拓延法继续追踪二维参数下的SNB曲线和HB曲线，即可得到余维二分岔点。描述SNB曲线的求解模型为:

描述HB曲线的求解模型为:

式中，υ和ω分别为雅可比矩阵零特征值对应的左、右特征向量;In为n阶单位矩阵;I0为n维参考向量;k=β2，β为纯虚特征值虚部;μ∈R2。

2.2 系统模型

负荷模型采取描述感应电机大扰动模型Walve，负荷模型的静态部分采用多项式负荷模型(ZIP)。简化电路如图1所示。

图1 简化负荷模型等效电路Fig．1 Simplified load model equivalent circuit

模型数学描述如下:

式中，P10和Q10分别代表初始有功和无功;ap，bp，cp和aq，bq，cq表示不同静态负荷类型所占百分比，有ap+bp+cp=1，aq+bq+cq=1;V和δ分别为负荷母线电压幅值和相角;P0+jQ0为感应电机的恒功率部分;Kpw、T、Kqw、Kqv和Kqv2为负荷系数;P1+ jQ1为与感应电机并联的静态恒功率负荷。

静止无功补偿器(SVC)可以根据补偿点电压的变化来调节输出的无功功率，从而维持电压在给定值附近。模型为:

式中，Vref为参考电压;V为补偿点电压;TSVC和KSVC为时间常数与电压增益。

3 仿真分析

3.1 余维一分岔分析

取静态ZIP负荷模型有功功率P与无功功率Q为分岔控制参数分别进行单参数分岔分析。令静态负荷模型 ap，aq=0.4与cp，cq=0.6，静态部分40%恒阻抗加60%恒功率，单参数分岔曲线如图2所示，本文计算均采用标幺值。其中，曲线1是以有功功率P为分岔控制参数的余维一分岔曲线，曲线2是加入 SVC后的分岔曲线，Hopf点分别由7.9471pu和 9.3027pu 增 加 至 8.4453pu 和10.5576pu，SNB由9.3933pu至10.5623pu。以无功功率Q为分岔控制参数，曲线3和4为加入SVC前、后的余维一分岔曲线，比较可得 Hopf点由13.2364pu增加至14.1858pu，SNB点由12.8791pu提升至13.19pu。可见SVC确能增大分岔边界，提高电压稳定性。由于负荷有功功率与无功功率不可完全解耦，加之SVC本身固有参数KSVC对系统分岔点及分岔曲线影响难以在余维一条件下进行分析，所以在3.1节基础上进行余维二分岔点搜索，探讨稳定性，将会对电压稳定性机理有更清晰的理解。

图2 单参数分岔曲线Fig．2 Single parameter bifurcation curve

3.2 余维二分岔分析

以3.1节已经获得的Hopf分岔点和SNB分岔点为初始值，采用P和Q为分岔控制参数获取二维分岔边界曲线及分岔超曲面。将二维分岔曲线投影到P-Q平面上，如图3所示。

图3 余维二分岔边界Fig．3 Codimension two bifurcation boundary

表1 Hopf分岔曲线余二维分岔点数值Tab．1 Codimension two bifurcation numeral at point on Hopf bifurcation curve

SNB分岔曲线在正常范围内(P＞0)出现ZH分岔，其数值见表2。

表2 SNB分岔曲线余二维分岔点数值Tab．2 Codimension two bifurcation at point on SNB bifurcation curve

由图3、表1和表2可知，在余维二分岔曲线中ZH分岔点是SNB分岔曲线与Hopf分岔曲线的交点。由于ZH分岔点雅可比矩阵具有一个零特征值和一对共轭纯虚特征值，GH可能发生系统参数能够在较大范围内变化(比如负荷功率)，GH与Hopf分岔点相比会产生多重极限环、同宿轨道，这是一种极为复杂的周期现象。

SVC作为常用无功补偿装置，其参数较小的变化会引起分岔边界的改变。采用上述方法以SNB点为初值，KSVC取5，12，19，26和33时得在P-Q平面投影SNB二维分岔边界，如图4所示。随着KSVC的增加二维分岔边界在P-Q平面向上移动。图4左侧ZH1点数据见表3，右侧ZH2点数据见表4。

图4 P和Q的余维二分岔曲线Fig．4 Codimension two bifurcation curve of P and Q

表3 余二维ZH1分岔点数值Tab．3 Codimension two bifurcation numeral at ZH1 bifurcation point

表4 余二维ZH2分岔点数值Tab．4 Codimension two bifurcation numeral at ZH2 bifurcation point

由表3和表4可知，在KSVC取值变化过程中，二维分岔边界得到拓展，同时发生两次ZH分岔。由于ZH是Hopf分岔边界与SNB分岔边界交点，在ZH1和ZH2处有功功率P随KSVC的增大微降，相反无功功率Q随KSVC的增加呈现大幅度提高。SVC电压增益KSVC对于SNB二维分岔边界具有拓展作用，并且使ZH分岔点参数(无功功率)有大幅提升，这也与SVC提供无功支撑的固有特性相符。

采用3.2节方法仍以P为参数获取余维一SNB点与Hopf点，用该两点为初始点、负荷有功功率P与电压增益KSVC为分岔控制参数，计算余维二分岔边界，如图5所示。SNB分岔曲线与Hopf分岔曲线在ZH点相交。如果不考虑Hopf分岔曲线非实际运行情况(KSVC初值为5)，图中取KSVC＞5的部分，Hopf分岔曲线分为两支，一支与SNB分岔曲线相交并走势一致，另一支随KSVC的增加，有功传输极限提高。

图5 P和KSVC的余维二分岔边界Fig．5 Codimension two bifurcation boundary of P and KSVC

以电压增益KSVC和有功功率P为分岔控制参数，进行SNB分岔边界搜索，取Q分别为0、5pu、10pu 和 13pu，相应有功 P 为 17.6913pu、16.2282pu、14.6541pu和5.5871pu，结果如图6所示。可以看出无功功率降低时，在P与KSVC的共同作用下，二维SNB分岔边界向右移动。在SVC电压增益KSVC相同的条件下，调节系统的无功功率，可以得到更高的有功传输极限。在无功功率降低后SNB二维分岔边界上的ZH点沿着分岔边界向下滑动至非实际运行工况下(KSVC＜0)，分岔边界上无ZH出现。因此增加KSVC后，降低无功功率既可以拓展边界，又可以消除ZH分岔现象，这是对系统非常有利的现象。

将二维分岔曲线构成分岔超曲面放入空间坐标下，图7展示了三参数(P、Q、KSVC)共同作用下的SNB分岔超曲面，在该情况下SNB点必定落在该超曲面上且随Q、KSVC的变化P在曲面上移动。Q增大P呈非线性减小，KSVC增大P呈近似的线性增加，有功传输极限是无功功率与SVC电压增益共同作用的结果。SVC拓展了二维边界，提高了电压稳定性，所以应综合考虑多参数情形。

图6 P、Q和KSVC共同作用下的分岔边界Fig．6 Bifurcation boundary under combined effect of P，Q and KSVC

图7 P、Q、KSVC共同作用下分岔超曲面Fig．7 Bifurcation hypersurfaces under combined effect of P，Q and KSVC

4 结论

本文通过含SVC系统在余维一分岔点基础上采取拓延方法搜索余维二分岔边界，验证了BT、ZH 和GH分岔现象的存在。ZH分岔点在二维分岔边界上是SNB分岔曲线与Hopf分岔曲线的交点，负荷静态ZIP模型对系统分岔曲线结构影响不大，增大SVC的电压增益KSVC可使系统稳定性增强。以P 和KSVC为分岔控制参数，得出在电压增益KSVC不变时可以通过调节无功功率拓展分岔边界，消除ZH分岔点。在P、Q、KSVC共同作用下的SNB分岔超曲面中，SNB点必定落在该超曲面上，且随着Q、KSVC的变化，P在曲面上移动。Q增大P呈非线性减小，KSVC增大P呈近似的线性增加。高余维分岔可更好地揭示系统稳定性情况，所以应进一步研究高余维分岔点搜索及控制。

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Codimension two bifurcation studies of power system containing SVC

CHI Kun1，GAO Feng-yang1，DONG Wei-guang1，CAO Xiao-bin2
(1．School of Automations and Electrical Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China; 2．School of Electrical Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China)

As the effects of revealing system parameters on the voltage stability of power system，it is necessary to overcome the limitation of the single parameter bifurcation．Using bifurcation analysis method of the active，reactive power and SVC parameters，that the complex power system solutions of two-dimensional manifolds have Generalized Hopf bifurcation and Zero-Hopf bifurcation phenomenon can be verified．The analysis result shows that the Zero-Hopf bifurcation point is the intersection of the SNB and Hopf curves，and increasing the KSVCis helpful to expand two-dimensional bifurcation boundary．The same KSVCvalue can adjust the reactive power to eliminate the Zero-Hopf bifurcation point．There parameters can reveal bifurcation mechanism in power system．

voltage stability of power system;codimension two bifurcation;SVC;bifurcation theory

TM712

A

1003-3076(2015)10-0017-06

2014-02-25

迟 昆(1988-)，男，甘肃籍，硕士研究生，主要研究领域为电力系统自动化电压稳定性研究;高锋阳(1970-)，男，甘肃籍，副教授，硕士研究生导师，博士，主要从事大功率电源与电力系统自动化控制。