基于锯齿载波的SPWM及SAPWM的数学分析

陈国呈，蔡立清，周勤利，顾红兵，雷 电

(1．常州钜特工业科技有限公司，江苏常州200122;2．上海大学自动化学院，上海200072)

基于锯齿载波的SPWM及SAPWM的数学分析

陈国呈1，2，蔡立清1，周勤利1，顾红兵1，雷 电1，2

(1．常州钜特工业科技有限公司，江苏常州200122;2．上海大学自动化学院，上海200072)

电力电子变换多采用PWM方法实现功率传送，其载波通常都为等腰三角载波。但要实现软开关PWM调制，特别是对于三相电力变换器，如果用等腰三角波作为载波就无法实现软开关PWM，因为此时变换器往往需要三相开关器件同步开通或关断，取而代之的是采用锯齿波作为载波。然而载波方式改变之后，PWM的频谱有何变化，产生的影响将会如何，本文就此作了深入分析。研究结果指出等腰三角载波PWM与锯齿载波PWM的频谱有很大不同，后者的边频带更宽，谐波更丰富，必须采取有效措施才能将其滤除。

三角波;锯齿波;脉冲宽度调制;频谱;边频带

1 引言

随着电力电子器件及其控制技术的快速发展，人们对电力电子设备性能的要求也在不断提高，集中表现在对设备小型化、轻量化、损耗小、变换效率高、环境污染小、可靠性好、运行稳定和价格低廉等的要求上。然而传统的电力变换器多使用硬开关电压型拓扑结构，往往难以做到这些，电力电子器件工作时存在开关损耗，感性关断时诱发尖峰电压，容性开通时存储在开关器件结电容中的能量全部耗散在器件内部，二极管反向恢复时有很大的反向恢复电流，伴随着开关器件频繁动作可诱发噪声、电磁干扰和对电网的谐波污染等。为此，20世纪90年代开始有学者提出软开关技术，如 ZVS、ZCS、ZVT等［1-7］，取得了预期的良好效果。

然而，众所周知电力变换器一般都是使用PWM技术实现各种电力传输的，传统的PWM都是使用等腰三角波作为载波与正弦调制波或鞍形调制波进行比较来实现的。但对于三相电力变换器，如果还用等腰三角波作为载波就无法实现软开关PWM了，因为此时三相变换器往往需要三相开关器件同步开通或关断［8-13］，取而代之的是采用锯齿波作为载波。载波方式改变之后，PWM的频谱有何变化，产生的影响将会如何，本文将就此作深入分析。文章先分析基于锯齿载波的SPWM的频谱特性，然后进一步分析SAPWM的频谱特性。通过比较两者频谱的差异性，得出一些重要的理论指导。

2 单相SPWM的数学分析

2.1 单相半桥逆变器

图1为单相半桥逆变器的示意图，图2为正弦波锯齿波PWM的示意图，图中 es为锯齿载波，sinω1t为调制波。

图1 单相半桥逆变器主回路Fig．1 Single phase half-bridge inverter

设M为调制度，则有

图2 锯齿波调制Fig．2 Sawtooth wave modulation

下面分n为奇数和n为偶数来分析，n为载波频率的倍数。

(1)当n为奇数时，由式(14)有

联系式(11)，由式(15)的第一项可以看出，在nωs处谐波nωs的幅值为

式(15)的第二、三项为nωs的边频带 ±(2l－1)ω1和 ±2lω1，当 l= 1，2，3，… 时，分别有边频带。即在n倍载波nωs频域，含有 ±1ω1，±2ω1，±3ω1，± 4ω1，…等所有奇、偶数次边频带，联系到式(11)可知其幅值为

(2)当n为偶数时，由式(14)有

同理，联系式(11)，由式(18)的第一项可以看出，在nωs处谐波nωs的幅值为和

式(18)的第二、三项为nωs的边频带 ±(2l－1)ω1和±2lω1，当 l= 1，2，3，… 时，分别有和边频带，即在n倍载波nωs频域，含有±1ω1，±2ω1，±3ω1，±4ω1，…等所有奇、偶数次边频带，联系到式(11)可知其幅值为

图3为图1的仿真结果，为使频谱显示更加清晰，特将载波频率设得较低，仅为1.5kHz，负载为R +L，其中R=10Ω，L=1mH。从图中可以看出，在基波频域只含有基波分量，不存在直流分量和基波的边频带，而在各载波频域(n=1，2，3，…)有nωs次谐波和±1ω1，±2ω1，±3ω1，±4ω1，…等所有奇、偶数次边频带。式(16)与式(19)的差异还在于J0(nπM)的符号相反，n为奇数时符号为正，幅值相加，n为偶数时符号为负，幅值相减。

图3 单相半桥SPWM逆变器输出电流频谱Fig．3 Output current spectrum of half-bridge SPWM inverter

图4 单相H桥逆变器主回路Fig．4 Single phase H-bridge inverter

2.2 单相H桥逆变器

图4为单相H桥逆变器的主回路，通常是V1和V4，或V2和V3同时导通，则V相的输出UV总是与UU相反，即UV=－UU，因此输出电压UUV=UUUV=2UU，可见其基波和谐波分量的幅值都将是图3的2倍。单相H桥逆变器的输出电流与图3完全一样，只是纵坐标的标定不同而已，图3中ω1的峰值为40A，而单相H桥逆变器输出电压中ω1的峰值为80A，不另展示。

由式(11)可知，此时基波成分 ω1的幅值 = MEd。由式(17)和式(20)可知，谐波成分(nωs± kω1)的幅值为EdJk(nπM)/(nπ)(n=1，2，3，…;k =1，2，3，…);在 nωs(k=0)处，有幅值为［1± J0(nπM)］Ed/(nπ)的谐波(n为奇数时取+，为偶数时取－)。

3 三相SPWM的数学分析

3.1 基波分量

图5为三相逆变器的基本主回路。由式(11)可知，U相电压的基波分量为

则U、V间线电压的基波分量为

图5 三相逆变器主回路Fig．5 Main circuit of three-phase inverter

3.2 谐波分量

(1)当n为奇数时，由式(15)可知，Uuv，h=Uu，h－Uv，h时，U、V相的第一项相抵，从而有

从式(23)看出，输出线电压在n次载波频率nωs两旁有±(2l－1)ω1次和±2lω1次谐波，即nωs的边频带，其幅值为和而在nωs处没有谐波，这是因为式(15)的第一项在线电压中相抵的缘故。

式(24)表明，nωs频域中不含3ω1的奇数倍次边频带。

再看式(23)中的第二项，该项含有sin2lπ/3因子，当2l=6，12，18，24，…时，恒有

式(25)表明，nωs的边频带中也不含3ω1的偶数倍次边频带。

综上，可以知道nωs的边频带中不含3ω1的倍数次边频带。

(2)当n为偶数时，由式(18)可知，由于Uuv，h=Uu，h－Uv，h，U、V相的第一项相抵，从而有

同理，式(26)输出线电压在n次载波频率nωs两旁有 ±(2l－1)ω1次和±2lω1次谐波，即nωs的边频带，其幅值为和而在nωs处没有谐波，这是因为式(18)的第一项在线电压中相抵的缘故。

另外，式(26)中第一项含有sin［(2l－1)π/3］因子，当2l－1=3，9，15，21，…时，恒有

式(27)表明，在nωs的边频带中不含3ω1的奇数倍次边频带。

再看式(26)中的第二项，该项含有sin(2lπ/3)因子，当2l=6，12，18，24，…时，恒有

式(28)表明，在nωs的边频带中也不含3ω1的偶数倍次边频带。

综上(1)、(2)分析，可以知道nωs的边频带中不含3ω1的倍数次边频带，三相SPWM逆变器输出电流频谱如图6所示。图中无论n为奇数还是偶数，在nωs处都没有谐波;在nωs两旁只有正负序谐波，且没有3的倍数次谐波。

4 单相SAPWM的数学分析

文献［14］指出，SAPWM是利用鞍形波与载波比较生成PWM脉冲的，其鞍形波可看成为由图7所示的正弦波f(t)和疑似三角波 Y(t)组成，则SAPWM的数学分析可以分解成分别对f(t)和Y(t)

图6 三相SPWM逆变器输出电流频谱Fig．6 Output current spectrum of three-phase inverter

进行分析，然后结果相加就是SAPWM的分析结果。

图7 三相鞍形调制波的生成Fig．7 Generation of three-phase saddle modulation wave

由文献［14］可知，Y(t)是如下各谐波分量的一个集合:

式中，Ω1=3ω1为Y(t)的角频率。

对于Y(t)的任意某一次谐波，其表达式为

由式(11)的第一项可知，Ym(t)将在基波频域生成如式(31)所示的谐波:

可以看出，在基波频域含有所有3ω1的奇数倍次(如3ω1，9ω1，15ω1，…)谐波。此外，Ym(t)还将在各载波频域nωs产生边频带，参阅式(14)，下面分n为奇数和偶数来分析。

(1)当n为奇数时，由式(15)可以看出Ym(t)生成的边频带为

联系到式(11)，由式(32)的第一项可以看出，在nωs频域谐波nωs的幅值为

式(32)的第二、三项为nωs的边频带±(2l－1) (2m +1)3ω1和±2l(2m+1)3ω1(l=1，2，3，…)，即在nωs频域的两旁含有±(2m+1)3ω1，±(2m+1)6ω1，±(2m+1)9ω1，±(2m+1)12ω1，…等所有3ω1的倍数次边频带，其中m=0的影响最大，此时有3ω1，6ω1，9ω1，…;当m=1时，有9ω1，18ω1，27ω1，…。m越大，式(31)所示的谐波幅值越小，其影响可以忽略不计。联系到式(11)可知，各谐波的振幅为

(2)当n为偶数时，由式(18)可以看出Ym(t)生成的边频带为

联系到式(11)，由式(35)的第一项可以看出，在nωs频域谐波nωs的幅值为

与式(32)同理，式(35)的第二、三项为nωs的边频带±(2l－1)(2m+1)3ω1和±2l(2m+1)3ω1(l=1，2，3，…)，即在nωs频域的两旁含有±(2m+ 1)3ω1，±(2m+1)6ω1，±(2m+1)9ω1，±(2m+1) 12ω1，…等所有3ω1的倍数次边频带，其中m=0的影响最大，此时有3ω1，6ω1，9ω1，…;当m=1时，有9ω1，18ω1，27ω1，…。m越大，式(31)所示的谐波幅值越小，其影响可以忽略不计。联系到式(11)可知，各谐波的幅值为

图8为单相SAPWM逆变器输出电流的频谱。可以看出，在基波频域除了ω1外，还有如式(30)所示的3ω1，9ω1，…低次谐波;而在nωs频域除了式(33)和式(36)所示的谐波1ωs，2ωs，…外，还含有

图8 单相SAPWM逆变器输出电流频谱Fig．8 Output current spectrum of single phase SAPWM inverter

(1)当n=1，3，5，…时，可得谐波成分如下:式(17)和式(20)所示的由f(t)的SPWM生成的kω1(k=1，2，3，…)边频带及式(32)和式(35)所示的Y(t)所生成的3的倍数次边频带，特别是后者3的倍数次边频带。显然，含有如此丰富谐波的PWM模式不适于单相逆变器的应用。

5 三相SAPWM的数学分析

5.1 基波分量

对于图5所示的三相逆变器，SAPWM的输出线电压应该由f(t)和Y(t)共同作用产生，即基波频域的频谱应该是式(21)和式(31)共同作用的结果，其幅值为

可见，Y(t)的作用并不出现在基波频域，即基波频域只有f(t)基波分量，或者说Y(t)产生的零序分量在三相逆变器中相互抵消了，这也是必然的(参阅图9)。

5.2 谐波分量

下面再来考察SAPWM的谐波成分Uuv，h，将式(30)分别代入式(15)和式(18)，并注意到后者ω1与前者(2m+1)Ω1及其系数的对应关系，则有:

(2)当n=2，4，6，…时，可得谐波成分如下:

由式(39)和式(40)可知，在线电压里，差频为nωs±(2l－1)(2m+1)3ω1及nωs±2l(2m+1)3ω1的谐波幅值恒为0，这是因为式(30)所示的Y(t)实际上是3ω1的奇数倍次谐波的集合，即因其是零序分量，所以在三相对称负载中相互抵消了。图9为三相SAPWM逆变器的输出电流频谱，对比图8的单相SAPWM逆变器频谱，显然其零序分量(3ω1，6ω1，9ω1，…)及1ωs，2ωs，…等都没有了。而在nωs频域，也不存在1ωs、2ωs、…等谐波，这是因为式(33)、式(36)在线电压中相抵的缘故，对比图6的SPWM频谱可以看出，在谐波次数上SAPWM与SPWM完全一样，但幅值却有差异。

图9 三相SAPWM逆变器输出电流频谱Fig．9 Output current spectrum of three-phase SAPWM inverter

文献［14］指出，虽然SAPWM可以分解成f(t) 和Y(t)来分析其输出电压幅值，但其PWM调制却是依靠f(t)和Y(t)合成后的波形来实施的。图10和图11分别为SAPWM和SPWM的脉冲序列。可以明显看出，由于鞍形波波形的固有特性，从其过零点到波顶，脉冲宽度的变化范围为(参阅图2)，而SPWM的变化范围为(0.5～1)Ts。特别是SAPWM，在π/6～5π/6和7π/6～11π/6区间(参阅图10)，调制波幅值只在0.75～0.866)pu之间变化，而SPWM却是在0.5～1pu之间变化，显然，SAPWM生成的脉冲宽度的变化范围小于SPWM。这就引发了各载波频域差频波幅值的微妙变化，SAPWM正负序谐波的幅值差距趋小［14］，而SPWM却增大，使得SAPWM的总谐波损耗、转矩脉动小于SPWM，且直流母线电压利用率还有15.47%的提升空间。

图10 SAPWM的脉冲序列Fig．10 Pulse sequence of SAPWM

6 结论

20世纪90年代开始，软开关电力电子变换技术受到国际同行的普遍关注。三相变换器要实现软开关动作往往需要三相开关器件同步开通或关断，此时不能使用等腰三角波作为载波，而是使用锯齿波作为载波。载波方式改变之后，PWM的频谱也发生了很大变化。本文以SPWM和SAPWM为例对此作了深入的数学分析，两者的研究结果都指出，使用锯齿波进行PWM调制时，各载波频域的边频带更宽，差频谐波更丰富，在各载波频域含有1ω1，2ω1，3ω1，4ω1，…等所有基波次数的差频波。采用三角载波进行PWM调制时，在奇数倍次载波频域只含有2ω1，4ω1，…等偶数次差频波，而在偶数倍次载波频域只含有1ω1，3ω1，…等奇数次差频波。所以，锯齿载波不适合用于单相逆变器，但在一些特殊场合，如需要软开关运作的三相逆变器，锯齿载波不乏是一种很有用的载波。

图11 SPWM的脉冲序列Fig．11 Pulse sequence of SPWM

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(，cont．on p.16)(，cont．from p.9)

Mathematical analysis on SPWM and SAPWM based on sawtooth carrier wave

CHEN Guo-cheng1，2，CAI Li-qing1，ZHOU Qin-li1，GU Hong-bing1，LEI Dian1，2
(1．Giant Industrial Technology Co．Ltd．，Changzhou 200122，China; 2．Department of Automation，Shanghai University，Shanghai 200072，China)

Power electronic conversions are mostly using the PWM method to transfer electrical power，and the carrier wave is usually an isosceles triangle type．With the use of isosceles triangle wave as the carrier wave，soft switching PWM mode is hard to be applied，especially for three-phase power converter，because the three-phase inverter switching devices often need to synchronize the on or off states，and an alternative method is the use of a sawtooth wave as the carrier wave．However，after replacing the isosceles triangle carrier wave with sawtooth carrier wave，how the PWM spectrum changes and what the impacts will be?This paper has made an in-depth analysis on these issues．The study concluded that the frequency spectrums of the isosceles triangle and the sawtooth carrier PWM mode are quite different，while the latter has wider sideband and more harmonics，so effective measures must be taken to filter out the harmonics．

triangle wave;sawtooth wave;PWM;frequency spectrum;sideband

TM464

A

1003-3076(2015)10-0001-09

2015-04-03

陈国呈(1944-)，男，福建籍，教授，博士生导师，主要研究方向为电机驱动及新能源发电;蔡立清(1970-)，男，安徽籍，工程师，主要研究方向为新能源发电逆变器、通信系统。