基于聚焦预处理的累量域空间平滑算法

吴向东，马 仑，和 洁

（长安大学信息工程学院，陕西西安710064）

基于聚焦预处理的累量域空间平滑算法

吴向东，马 仑，和 洁

（长安大学信息工程学院，陕西西安710064）

针对传统累量域波达方向估计算法对各重复位置处虚拟阵元利用不充分的问题，提出了一种基于聚焦预处理的累量域相干信号波达方向估计算法。首先分析了直接平滑原物理阵列和四阶累积量产生的虚拟阵列不能解相干的原因；然后推导了基于累量域聚焦技术解相干的原理；最后提出了直接累量域聚焦、前后向累量域聚焦和二次前后向累量域聚焦算法，并对其进行了性能分析，指出聚焦预处理技术不但不损失阵列孔径，而且充分利用了累量域各虚拟阵列的数据，提高了角度估计精度。理论分析和仿真结果都表明了算法的有效性。

四阶累积量；聚焦技术；虚拟阵列；波达方向估计

0 引 言

相干环境下信源波达方向（direction of arrival，DOA）估计是阵列信号处理领域里的一个重要分支［1－3］。常规的基于子空间类的DOA估计算法都是基于二阶统计量的，而高阶累积量不但可以提供比二阶统计量更多的信息，还具有很多优良性能，其中最重要的两点就是可以产生虚拟阵元和盲高斯特性。很多学者研究了基于四阶累积量的相干信号DOA估计算法，文献［4］最早系统地提出了基于四阶累积量的相干信号处理算法，将阵列输出模型等效为独立信号源经过一个修正阵列的输出模型，利用扩展虚拟ESPRIT算法（extended virtual-ESPRIT algorithm，EVESPA）估计出修正阵列的广义阵列流形，然后对各相干信号组应用空间平滑算法实现组内解相干。后续的累量域相干信号处理算法基本上都是以该算法为核心思想的改进算法。如文献［5］在求广义阵列流形时引入了盲估计方法；文献［6］利用模式激励的方法把圆阵转化为均匀线阵，从而把该思想推广到了圆阵时的情况；文献［7］通过平滑双线性平行阵的四阶累积量来实现相干信号的DOA估计；文献［8］用时间平滑代替空间平滑来实现相干信号的DOA估计，但该算法运算量大，而且仅适用于观察时间内信号角度变化较小、复幅度变化较大的情况。为了突破以上算法的限制，利用聚焦技术把虚拟阵列和原物理阵列聚焦到参考阵列以实现相干信源解相干，然后应用常规的信号子空间类算法实现DOA估计，算法充分利用了四阶累积量产生的所有虚拟阵元，不损失阵列孔径，提高了最大可分辨的相干信源数目。

1 理论分析和算法的实现

1.1 信号模型和虚拟阵列的形成

考虑一N元均匀线阵，阵元间距为半波长，远场空间中存在M个窄带相干信源，入射角为θi（i＝1，2，…，M），阵列接收数据为

式中，A＝［a（θ1），a（θ2），…，a（θM）］为阵列流形，a（θi）＝［1，为导向矢量，λ为波长，d为阵元间距；S（t）＝［s1（t），s2（t），…，sM（t）］T，si（t）为第i个信源的复包络，（·）T表示转置；N（t）＝［n1（t），n2（t），…，nN（t）］T为独立同分布均值为零、方差为σ2的高斯白噪声，与信号不相关。

阵列输出数据的二阶协方差矩阵为

式中，Rs＝ES（t）·S（t）H为信源协方差矩阵；σ2N为噪声功率；IN为与X（t）同维数的单位矩阵。

定义阵列输出四阶累积量为

式中，1≤k，l，m，n≤N，如果X（t）中各序列充分对称分布，则上式最后一项为零。N个阵元共可产生N4个互累积量。把式（3）得到的累积量填充到N2×N2的四阶累积量矩阵Cx中，矩阵的第（k－1）N＋l行、（m－1）N＋n列元素为cum（xk（t）（t），x（t），xn（t）），则矩阵Cx可表示成

由四阶累积量性质可知，高斯噪声的四阶累积量为零，式（4）可重写为

式中

可以看出式（5）和式（2）具有相同的数学结构，因此Cx中A⊗A＊起的作用和Rx中的A相同，可以看作是累量域的阵列流形。设入射信号相互独立，由于独立信号的互累积量为零，重写N2×M维矩阵A⊗A＊为

其第i列矢量a（θi）⊗a＊（θi）为第i信号源所对应的扩展导向矢量：

可以看出，式（6）有N2个分量，其中N分量与原阵列阵元位置相同，在新位置产生了N－1虚拟阵元，即实现了阵列孔径扩展，这就是累量域虚拟阵列的概念，如图1所示。

图1 虚拟阵列结构示意图

由式（5）知，N元阵列的四阶累积量Cx为N2×N2维矩阵，按分块矩阵的形成重写Cx，每个块的大小为N×N，且互不重叠，则第k行第l列的矩阵块记为Rkl，k，l∈（1，2，…，N），结合阵列信号处理的概念知，Rkl为第k个阵列输出数据和第l个阵列输出数据的协方差矩阵，则

1.2 聚焦预处理算法

1.2.1 聚焦预处理的概念

经典的MUSIC-LIKE、虚拟ESPRIT等算法，利用了高阶累积量的阵列孔径扩展和盲高斯噪声的特性，在DOA估计时，去掉重复位置处的“冗余”阵元，按等间距方式重新排列虚拟阵元和原物理阵元，但只适用于非相干源的场合。

信源相干时，由式（5）知：

式中，an是A的第n行；acum＿n＝an⊗A＊为一N×M2维矩阵，可以看作是第n个虚拟阵列的导向矢量。如果把各虚拟阵列看作是空间平滑算法的各子阵，只要各虚拟阵列间的导向矢量满足旋转不变性，即可利用空间平滑的思想实现解相干，不用对原阵列进行子阵划分，避免了阵列孔径的损失。

重新考察式（7），这里是Kronecker积，各虚拟阵列和原物理阵列间不满足“线性平移”关系，即各虚拟阵列和原物理阵列的导向矢量不满足旋转不变性，所以无法直接应用空间平滑算法实现解相干。宽带信号处理中的相干信号子空间法（coherent signal-subspace method，CSM）采用聚焦技术将各频率点的数据变成同一参考频率点的数据，聚焦后形成相关矩阵，这种聚焦操作有效地综合了宽带信息，使得聚焦后的信号协方差矩阵保持满秩，从而有效地解决了宽带相干信号的DOA估计问题。高阶累积量可以在不同位置产生虚拟阵元，考察旋转因子，即位置的变化可以等效为频率的变化，结合图1，引入聚焦处理的思想，设想存在一个算子，将各虚拟阵列和原物理阵列的导向矢量映射到参考导向矢量，使映射后的各阵列间满足旋转不变性，即可应用空间平滑的思想解相干，继而在累量域实现相干信源的DOA估计。

1.2.2 聚焦预处理实现DOA估计

由宽带聚焦变换知，对于一定角度范围内的任意角度，存在一个不随角度变化的共同聚焦变换。这里在感兴趣方向上选取任一个角度集合Φ＝［θ1，θ2，…，θL］，L为集合中的元素个数，且大于信源数，Δθ＝（θL－θ1）／（L－1）为集合中的角度间隔，所以存在以下性质［9－10］。

性质1 对累量域的第k个阵列（包括虚拟阵列和原物理阵列）及选定的参考阵列，存在一个共同的聚焦变换Tk（Φ），使得对于任意角度集Φ。即

式中，k，k0＝1，2，…，N；Φ＝（θ1，θ2，…，θL）为一致角度集；为累量域第k个阵列的阵列流形，dk＝d·［1－k，2－k，…，N－k］T为第k个阵列的阵元位置矢量，显然k＝1对应原物理阵列；ak0（Φ）为累量域参考阵列的阵列流形，理论上可选累量域的任一个阵列为参考阵列，一般情况下，如果N为奇数，可选取，N为偶数，可选取第称为累量域一致聚焦变换。

累量域一致聚焦变换实际上就是同时满足式（8）的L个互不相关方程组的线性变换，为了保证没有聚焦损失，Tk（Φ）可为酉矩阵约束下的最小二乘解：

求解上式得

重新考察式（7）可知，沿着主对角线方向的Rkk即为第k个子阵的自相关矩阵，利用聚焦变换Tk（Φ）对各Rkk做聚焦预处理实现解相干：

为了提高算法性能，结合前、后向空间平滑的概念构造Rcum＿focus2：

式中，J为与R同维数的置换矩阵。

如前所述，高阶累积量的优良特性之一是可以产生虚拟阵元，如果能更充分地利用各虚拟阵列间的信息，则会进一步提高DOA算法的性能。文献［11－12］提出了二次前后向空间平滑方法，并证明了对各子阵的自相关矩阵进行平方求和具有更好的解相干性能，因为要在累量域将各子阵聚焦到参考阵列，所以结合聚焦预处理技术构造R＝

对式（11）～式（13）应用MUSIC等常规的超分辨算法即可实现DOA估计。为了方便描述，简称式（11）算法为累量域聚焦算法（focusing algorithm in cumulant domain，FACD），式（12）算法为前后向累量域聚焦算法（forward／backward focusing algorithm in cumulant domain，FBFACD），式（13）算法为二次前后向累量域聚焦算法（quadratic forward／backward focusing algorithm in cumulant domain，QFBFACD）。综上所述，总结算法步骤如下：

步骤1 在感兴趣的方向构造一致角度集Φ；

步骤2 利用式（4）求解四阶累积量矩阵；

步骤3 利用式（10）求解各个聚焦变换矩阵；

步骤4 利用式（11）～式（13）对各虚拟阵列和原物理阵列做解相干处理，再运用MUSIC算法实现DOA估计。

下面对算法的最大可分辨相干信源数做简单分析。可知，前向空间平滑可分辨最大信源数为N／2，前、后向空间平滑算法可分辨最大信源数为2 N／3，而累量域的广义阵列流形算法解相干的实质为空间平滑算法，所以在对每一组相干信源解相干时，可分辨最大信源数并未提高。文中算法经聚焦预处理后，不损失阵列孔径，参与解相干的子阵数为N，所以可分辨最大信源数提高为N－1，这一点从仿真结果也可以得到验证。

2 仿真实验及分析

设阵列为5元等距线阵，阵元间距为半波长，快拍数为128，信噪比为10dB，各接收阵元上的噪声为高斯白噪声，设空间有4个远场、窄带信号，分别从－35°，－18°，10°，30°入射到阵列上。为了分析和说明算法的性能，分别对式（11）的FACD、式（12）的IFACD、式（13）的QFBFACD和文献［4］中经典的累积量域相干信号处理算法EVESPA 4种算法在不同环境、条件下进行了仿真。

实验1 信源全相干情况

设这4个信号全相干，其多普勒频率均为100Hz，仿真结果如图2所示。可以看出，文中3种方法均可有效地分

图6 不同信噪比下算法DOA估计性能比较

3 结束语

传统累量域算法都是从虚拟阵元的角度出发，利用其可以增加阵列孔径的优点来提高角度估计性能。本文从虚拟阵列的整体概念出发，充分利用各虚拟阵列的数据协方差矩阵，结合聚焦思想，提出了基于聚焦预处理的累量域空间平滑算法实现相干信号DOA估计，和常规空间平滑算法相比，不损失阵列孔径；和累量域同类算法相比，降低了运算量。对文中算法在信源全相干、部分相干、全不相干环境以及不同信噪比下的DOA估计性能进行了分析，并用仿真结果证明了理论分析的正确性。算法具有较强的实用性，可以适用于存在相干源的环境。

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Spatial smoothing algorithm in cumulant domain based on focusing preprocessing

WU Xiang-dong，MA Lun，HE Jie
（School of Information Engineering，Chang’an University，Xi’an 710064，China）

Considering that the traditional direction of arrival（DOA）algorithms in the cumulant domain discard the repeated virtual array elements，a new algorithm for estimating the DOA of coherent signals based on focusing preprocessing in the fourth-order cumulant domain is proposed.First，the reasons for the failure of decorrelation are analyzed from the lost of shift-invariant characteristics in the virtual arrays.Then，the principle of decorrelation and DOA estimation of coherent sources is deduced by using the focusing technology.Finally，algorithms of direct focusing，forward／backward focusing and quadratic forward／backward focusing in the cumulant domain are proposed and their performances are analyzed.The analysis shows that，the new algorithms not only avoid the reduction of the array effective aperture but also make full use of the data of the virtual array，they have higher resolution of DOA estimation than similar algorithms.Theoretical analysis and simulation results demonstrate the merits of the new algorithm.

fourth-order cumulant；focusing technology；virtual array；direction of arrival estimation（DOA）

TN 957

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.08.03

吴向东（1976－），男，讲师，博士，主要研究方向为阵列信号处理、探地雷达、无线传感器网络技术。

E-mail：xdwu＠chd.edu.cn

马 仑（1981－），男，副教授，博士，主要研究方向为阵列信号处理以及雷达信号处理。

E-mail：lunma＠126.com

和 洁（1985－），女，讲师，博士，主要研究方向为网络雷达信号处理、空时自适应信号处理，阵列信号处理以及其在公路交通控制信息领域的应用。

E-mail：hejie＠chd.edu.cn

1001－506X201508－1729－05

网址：www.sys－ele.com

2014－09－15；

2015－03－04；网络优先出版日期：2015－04－29。

网络优先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150429.1035.001.html

国家自然科学基金（61401045）资助课题