高等数学结合Matlab软件的教学方法实践

张明俊 郭艳凤 周红卫

（广西科技大学理学院，广西 柳州545006）

高等数学作为一门高等学校中所有理工科所需要的非常基础学科，在高等学校的教育中起到了很重要的作用。高等数学中的数学思想、逻辑和方法为高校学生在本专业方向的发展提供很好的前提[1]。它是提高学生在自己的专业方向上寻找问题、分析问题、解决问题的能力的基石，是在这些基础上延伸问题深度的思想源泉。

随着高等学校教育改革的不断发展，高等数学的改革在高等学校中的改革是一个很重要的环节。为了进一步加强高等数学的教育改革，我们不仅需要加强课程的内容的改革，更重要的是在教学过程中提高学生的数学思维方式和逻辑能力及其在各专业中的应用。于是，在高等数学的教学过程中不仅要让学生了解解决问题的不同思想方法及其应用，而且还要结合Matlab软件对所用的不同思想和方法进行直观实现来图形并用，从而提高学生学习高等数学的兴趣和积极性。在教学过程中让学生真正的掌握所学的高等数学的思维方式和逻辑应用，这在理工科专业发展方向上是必不可少的基本知识，为学生在本专业上的发展及深入研究打下坚实的基础。

为了更好的理解高等数学教学改革的中的不同思想方法及应用和Matlab软件相结合的教学方法。这里主要考虑在高等数学中用定积分求旋转体的体积为例，来说明不同思想方法及其应用和Matlab软件的画图的直观实现的相结合[2]，让学生更好地理解高等数学的不同思想方法及应用，从而提高学生学习高等数学的兴趣和积极性，并掌握相关数学思想。

1 利用定积分求旋转体的体积的思想方法

在高等数学定积分的应用有很多方面，其中求旋转体的的体积是一个重要的应用，在现实中也经常会用到这方面的内容。为了应用定积分来解决问题，首先确定所求的量（这里我们所求的量都是体积），其次是确定积分变量，得到所求的量的微元元素（即体积元素），最后以所求的量的微元元素为被积函数，在积分变量的范围内求定积分，得到所求的量（体积）。

通常情况下，对于旋转体的体积，当旋转的区域给定以后，一般都是选取旋转轴为相应的积分变量。具体的方法步骤，参考文献[3].

但是，在很多情况下，选取旋转轴为相应的积分变量并不是很容易计算。于是，我们也可以选取另一个坐标轴作为积分变量，这样在求体积元素的时候就要转变通常的思想来求体积元素，即通过求旋转体的微小的外壳的体积元素来作为被积函数，然后再进行积分。具体的思想方法我们可以从下面的简单的例子中看到。

例1：求由矩形区域x=1，x=3和y=0，y=5绕着y轴旋转得到的旋转体的体积。

方法一：首先，要求的量就是旋转体的体积。

其次，选取y为积分变量，积分区间为[0，5]，在y轴上选取小区间，得到所求体积的体积元素，参考图1，

最后，以体积元素为被积函数，在积分区间[0，5]上进行积分，得到所求的体积

因此，所求体积为40π。

方法二：首先，要求的量是旋转体的体积。

其次，选取x为积分变量，积分区间为[1，3]，在x轴上选取小区间[x，x+dx]，得到所 求体积的体积元素，即得到一个很小的环形外壳的体积，参考图2，

最后，以体积元素为被积函数，在积分区间[0，5]上进行积分，得到所求的体积：

因此，所求体积为40π。

通过Matlab软件画立体图形，在电脑上展示两种不同思想方法的体积元素的立体图形，从而使得学生更清晰的了解两种方法的思想和差别。从不同的角度理解定积分求体积的微元法的应用。

2 利用定积分求旋转体的体积的思想方法的应用

从下面的应用中我们可以看到，通常所用的方法，即以旋转轴所在的变量为积分变量的时候，相对比较困难。于是我们就可以选取不是旋转轴的变量为积分变量，从而按照相应步骤得到所求的量（体积）。

例2：求由曲线x=sin y2，y轴和所围成的区域绕轴旋转所得到的旋转体的体积。

方法一：选取x为积分变量，积分区间为[0，1]，在x轴上选取小区间[x，x+dx]，得到所求体积的体积元素，参考图3，

以体积元素为被积函数，在积分区间上进行积分，得到所求的体积：

3 两种方法的应用的比较和差别

在很多求旋转体的体积的时候，一般情况下我们选取旋转轴对应的变量为积分变量是很容易想到的。然而，当旋转体所给的已知条件中的很多时候应用柱状外壳的体积作为体积元素的时候会更简便或更便于计算，这是可以选取非对称轴所对应的变量为积分变量来应用定积分求旋转体的体积。比如例二就是一个很典型的例子，其中所围成区域中的边界曲线有一条用y=f（x）的函数形式来表达，并不是很容易。这是我们就要思考是否可以选取另外一个变量为积分变量，就要应用所求旋转体的体积的另外一种方法，即体积元素选用柱状外壳的体积。从中我们可以看出两种方法应用的差别和优劣。具体用哪种方法，需要根据具体的问题中的条件进行分析。

总之，在高等数学的教学改革中，需要在教学过程中传授解决问题的各种不同的思想方法及应用，并且为了更好的让学生理解相应的思想方法及应用，可以结合Matlab软件的画图功能，在课堂上进行多媒体演示。这样，让理论和具体的图形相结合，更能够让学生感受到高等数学的思想方法解决问题的本质，并从教学的过程中让学生感受到学习高等数学的乐趣，提高学生学习的兴趣和积极性。

［1］郭艳凤，张明俊，黄李韦.工科线性代数教学改革之探讨[J].经济研究导刊，2013,185(3)：301-302.

［2］同济大学数学系.高等数学(上册)[M].高等教育出版社,2007.

［3］James Stewart,Calculus[M].Belmont,CA：Brooks/Cole,Cengage Learning,2012.