对数学探究过程中学习“增值”的思考

☉江苏省常熟市教育局教学研究室 张建良

对数学探究过程中学习“增值”的思考

☉江苏省常熟市教育局教学研究室 张建良

一、问题提出

数学教学中通过结合具体的学习内容，设计有效的学习探究活动，可使学生经历数学知识的发生发展过程，积累更多有效的数学活动经验，但是有的课上虽然有活动、有探究，但从学习的过程来看，并没有见到学习的有效“增值”.那么，如何在探究学习中获得更大增值呢？这是一个值得关注的问题.下面以苏科版八年级下册“9.3平行四边形”中“平行四边形的性质”的教学为例予以说明.文中所的说“增值”指的是学习前与学习后的知识、能力、思维、经验、态度等的提高部分.

二、案例呈现

苏科版《数学》八年级下册第三章“9.3平行四边形”教学片断简述：

1.找一找

学习了中心对称的有关知识，图1、图2是用两个全等的三角形通过运动变换得到的.哪个图形是中心对称图形？为什么？你能说说中心对称图形的定义吗？

图1

图2

图3

2.画一画

如图3，BO是△ABC边AC上的中线，画出△ABC关于点O的对称图形.

3.说一说

你所画出的四边形是一个平行四边形吗？为什么？

4.转一转

请同桌的两个同学把学案上所画的平行四边形图形重叠，并选叠在上面的图形绕对角线的交点旋转180°，你能发现什么？

5.写一写

用几何语言表达平行四边形ABCD的性质.

已知：平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O.

结论：（边）AB=CD，AD=BC；

（角）∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠CDA；

（对角线）OA=OC，OB=OD.

6.证一证

以上结论是通过操作、观察、归纳，经合情推理所得，那么你能推证吗？……

三、案例分析

以上教学片断共设置了6个环节，下表是对本阶段中各教学环节的统计：

通过对该课探究环节中的实际教学状况分析，将其中三个环节的学习增值描述为“一般”，其“一般”是指学生的学习能力和思维能力提升不大.

当学生在“找一找”中找出图1中的中心对称图形，则说明学生已经掌握其概念和判断的方法，另外，教师所提问题“哪个图形是中心对称图形？为什么？”指向也特别明确，暗示图1、2中存在着中心对称图形，可能演化为学生去猜测答案.问题可改为“有中心对称图形吗？”另在后面“画一画”中画出的一个四边形刚好与“找一找”中出现的四边形“长相”一样，接着用新画出的四边形再让学生“转一转”验证是不是中心对称图形，这样的教学中，学生容易将上一步中获取的经验和结论直接迁移到新画出的四边形中，也就造成学生用“转一转”验证该图形是不是中心对称图形时思维变得无挑战性（在实际教学中可以看到不少学生的操作没做到位）.这里面不难看出前面的找一找经历着“看看—想想”，用大脑思维操作多；后面转一转经历着“做做—看看”，动手直观操作多，这样一前一后两个环节中出现了先抽象再具象的教学，学生的学习思维经历了由高到低的过程，由此可以认为“转一转”在这里出现是不恰当的，原因是这一环节是将学生的学习倒回“找一找”的阶段，再一次去确认四边形是否为中心对称图形.整个活动过程看似让学生通过直观操作去探究数学新知，但由于探究学习过程中信息流动过长，信息量呈现过多，造成在这样一个教学过程中学生发现问题、合情推理的能力并没有实现大的增值.

四、反思与改进

1.反思

教师为什么会有这样的教学设计呢？其原因之一就是上课教师想通过学生动手操作展示过程性教学目标和自主探究学习，但大家知道动手操作只是学习的一种外在表现，有效的探究学习应该是通过活动促进学生捕捉有用信息和对信息进行有序检索加工能力的提升，让学生的知识水平、思维能力和活动经验等都有较大的增值.

回顾以上教学环节，看到在探究过程中学生既要识别中心对称图形，又要回答中心对称图形概念，还要根据条件画出中心对称图形，然后动手转动中心对称图形比较，由此造成信息流动环节多，分散了学生对核心内容的关注和思考.同样，当探究环节过多时，课堂上析出的无关信息就会增多，从而也降低了对主干问题的思考.那么，本案例中如何设计让探究过程更具有学习增值的效果呢？

首先，从课标中看“平行四边形”的学习轨迹和要求：1~3学段能辨认平行四边形.说明学生已经储存了平行四边形的图像，可识图.4~6学段通过观察、操作，认识平行四边形；探索并测量掌握平行四边形的面积公式.说明学生知道平行四边形的概念，且会画平行四边形，也积累了转化及等积变换解决问题的经验.7~9学段探索并证明平行四边形的性质定理及判定定理.在第3学段学习中要用符号语言去进行演绎推理平行四边形的性质和判断.明确了课标中对学习平行四边形的路径和要求，也就奠定了“增值”的基点.

其次，从教材内容安排来看，先学习图形的旋转和中心对称、中心对称图形，再学习平行四边形，理解教材内容的编排也就找到了学习增值的起点.

2.改进

做好以上两个方面的分析后，再对平行四变形性质的教学设计进行改进.

问题1：用两个全等三角形纸片拼成一个四边形，问：拼成的四边形是中心对称图形吗？如果是，找出对称中心，并说明理由.

教学中，首先，让学生拿出从学案纸上剪下的两个全等三角形纸片进行拼图——拼成一个四边形，如图4~图9所示（拼成后用胶带粘住，便于在下一步的操作中使用）.其次，请同桌的两个同学一起操作验证中心对称图形，并让学生代表在实物投影展台上汇报演示，最后由教师利用几何画板操作验证.其中图4~图6不是中心对称图形；图7~图9是中心对称图形.

通过课件完美演示180°旋转，将有“误差”的学生操作实验过渡到“准确”的多媒体直观示范，进一步验证学生猜想的结论和操作的结果是否正确.让学生在对比学习中校正中心对称图形这一概念表征，然后进行说理.（说理时选用图9，并标注字母）

图4

图5

图6

图7

图8

图9

连接AC交BD于点O.因为△ABD≌△CDB，可推得△AOD≌△COB，得OA=OC，OB=OD.所以点O即为对称中心，得四边形ABCD是一个中心对称图形.通过“拼—猜—验—证”这四个步骤进行本环节的探究学习.

问题2：四边形ABCD是一个平行四边形吗？为什么？

因为△ABD≌△CDB，所以∠ABD=∠BDC，∠ADB=∠CBD，所以AB∥DC，AD∥CB.得四边形ABCD是平行四边形，实现从看出到证出的提升.

问题3：探究平行四边形ABCD还能获得哪些结论？

至此，学生可以用问题1中“绕点O旋转180°的操作方法或用问题2中的推理方法继续研究，引导学生分别从边、角、对角线三个方面去探究平行四边形的相关性质及结论.

通过重新设计，学习从两个全等三角形过渡到一个平行四边形的探究，是对已知信息的再加工，用三个问题进行递进式探究学习增加了探究学习的思维含量，让探究学习的信息更具条理性，信息传输路径精准，减少了学生的认知搜索，在有序有限的学习时间内实现学习增值.

五、教学启示

1.探究学习过程中要控制好信息传输流量

在教学中不能片面地从过去“重结果轻过程”滑向现在的“重过程轻结果”，过程与结果应保持一个平衡关系.过程教学设计要精细化，前后知识的逻辑关系要理顺，操作活动的层次要清晰，特别要关注课堂教学过程中信息传输、流量的监控.特别地，当传输途径增多时，无关或相关的信息量就会出现，当出现多余信息时，就会对学习和理解数学造成消极的效应，学生认知负荷就会加大.因为信息要进入长时记忆都必须要在工作记忆中加工后才能得以实现，而工作记忆所接收的容量是有限的，这时如果学习者所要加工的信息容量超过学习者所具备的工作记忆所能加工的信息容量，那么就会加重认知负荷.所以信息不要过多在“弯道”上传输，应该是按照邻近原则呈现教学材料，减少注意分散和表征保存.在上面案例中只是将探究“动作”进行了简单累加，造成信息传输中流量偏大，“探”得长，“究”得少.

建议多一点对教材内容的研究，思考设计这个学生探究活动的目的是什么？如果实施探究，那么其探究有几步？每一步探究过程中观察到什么样的信息？通过问题串指引每一步的操作和思维，控制好信息传输途径和流量，实现信息内化到学生已有的认知结构中.

2.探究学习过程中要选择好信息转化方式

探究学习过程是让学生思维成长的过程，其探究心理过程是内化、理解、推理与反省的过程.内化是个体将外部信息转化为内部信息的过程，主要包括对信息的选择和编码、语言互译.其中信息转化方式在目前的初中数学探究学习过程中一般表现为以下方式：（1）通过折（转、剪）纸转化出直观信息后再探究背后的原由；（2）用电子表格处理数据转化出有规律信息后再去推理论证；（3）用几何画板转化出“跳动”的数据或点的不同位置信息再探究变化中所含事实；（4）利用思维导图转化出问题中的有效信息后确定探究方向.在案例中虽然采用了三种操作方式“找一找”、“画一画”、“转一转”，但是最后转化和获取的信息都指向一个概念——中心对称图形.这样三个探究环节处在同一层面上，知识、思维等并没有实质性的提升.那么，如何提高探究学习的质量？就要清楚探究的学习起点和目标、转化方式、推进速度、思维层次等，更要明确探究过程中有哪些方面会出现低效？这样思考以后可以更有效地控制探究过程，让学习探究的行为都要围绕数学思维这一核心任务，避免重形式轻思考.

建议多一点关注外在操作和内在思维这两条主线，对架设这两条线的高度、长度给予充分预设，让转化出的有效信息在这两条主线上出现.通过选择适当的探究方式实现学习增值.

总之，知识的掌握需要有探究学习的过程，在探究过程中完成信息的输入、加工、提炼、直到最后结论的输出.输入和输出之间必须是一次有效的“增值”过程.当实现学习增值以后，那么学生在整个学习过程中都会享受到它带来的“利息”.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.喻平.数学教学心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，2010.

3.R.M.加涅.学习的条件和教学论［M］.上海：华东师范大学出版社，2007.

4.钱德春.探究内隐于题：一种本真的命题指向［J］.中学数学（下），2014（12）.