探析高中数学教学中的分类讨论思想

2015-04-27 06:36陈志鸿
都市家教·下半月 2015年2期
关键词:分类讨论原则分类

陈志鸿

【摘 要】分类讨论是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,教师了解、掌握分类讨论思想的一些相关内容,并且落实于平常的课堂教学中,能让学生能比较轻松地领会、掌握并能应用这种思想方法,对减轻学生学习的难度和负担具有重要意义。

【关键词】分类;原则;逐级性;步骤;分类讨论

分类讨论是自然界中事物的不同属性所要求的(比如,人可分为男人和女人),是分析问题、解决问题的需要,在数学中由于有些概念、性质、原理、公式受到不同条件的限制,图形位置与参数取值的变化,条件与结论不唯一确定等,都需要分类讨论。

分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想对于简化研究对象,发展人的思维有着重要帮助。分类讨论思想贯穿于整个高中数学,它能揭示数学对象之间的内在规律,有助于总结归纳数学知识,使所学知识条理化。对培养学生思维的条理性、缜密性及提高学生分面、周密地分析问题和解决问题能力都起到十分关键的作用。分类讨论是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法,有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置,是高考的必考内容。

一、分类的定义及原则

所谓分类,是把一个“属概念”分为若干个“种概念”的逻辑划分方法。用集合论的观点来讲,设研究的对象的全集为I,按照一定的标准将集合I划分成若干个子集Ai(i=1,2,…,n),使得Ai=I(其中Ai∩Aj=,i≠j)。进行分类时要遵循以下两个原则:

(1)合理性原则:划分后的各个概念的外延的总和,应当与被划分概念的外延相等(即Ai=I,简称完备性),划分后各个概念之间不能重叠,它们之间的关系应当是互不相容的(即Ai∩Aj=,i≠j,简称互斥性),通常把这个原则称为不重复也不遗漏原则。

(2)同一性原则:每次划分的根据必须同一,即每一次划分时,标准只能一个,不能交叉地使用几个不同的划分标准, 通常说成分类时用同一把尺子。

二、分类的逐级性

有些问题仅靠一次分类是不够的,需对I中AK再进行分类,则称之为A的二级分类,依次类推称为三级分类,四级分类等,比如:空间两直线的位置关系,首先以平面的基本性质进行一级分类(分为在同一平面内与不在同一平面内),然后抓住两直线公共点的个数进行二级分类,因而在同一平面内的直线又分为相交直线与平行直线(或重合直线),在同级分类中标准必须统一,但不要求各级都用同一把尺子。

三、分类的对象与标准及解题的一般步骤

对哪一个对象进行划分,有些问题很明显(如指数,对数函数中的底数a),有些则比较隐蔽,需要认真分析,对同一个问题,不同的出发点和不同的思维方式所选择的划分对象也不尽相同,划分对象选得好,解法就简单,否则就复杂了,划分的对象确定后,紧接着就要确定分类的标准,而确定分类的标准要根据题目的要求及已有的知识,具体情况具体分析,它虽然没有统一的模式,但必须遵循就简原则。用分类讨论思想解题的一般步骤如下:

①确定分类讨论的对象;

②进行合理的分类讨论;

③逐类逐级分类讨论;

④综合、归纳结论。

四、分类讨论的常见类型

①由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。

②由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列前n项和公式、函数的单调性。

③由数学运算要求引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数中真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个整数、负数,三角函数的定义域等。

④由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、位置需要分类,如角的终边所在的象限,点、线、面的位置关系等。

⑤由参数的变化引起的分类讨论:某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。

五、简化或避免分类讨论的几种方法

①避开讨论因素。

②慎选公式、定理、精简分类因素。

③着眼全局整体,减少讨论级数。

④变更主元位置,简化复杂讨论。

⑤进行变量代换,消除讨论因素。

⑥等价转化,避免分类讨论。

⑦利用补集思想,解脱烦琐讨论。

⑧数形结合,避免分类讨论。

⑨利用函数观点,函数性质,简化分类讨论。

中学数学有不少定理、法则、公式、习题,都需要分类讨论,在教授这些内容时,应不断强化学生分类讨论的意识,让学生认识到这些问题,只有通过分类讨论后,得到的结论才是完整的、正确的,如不分类讨论,就很容易出现错误。数学分类讨论思想,贯穿于整个高中数学的全部内容中,应用分类讨论,往往能使复杂的问题简单化,而分类的过程,可培养学生思考的周密性,条理性,而分类讨论,又促进学生提高研究问题、探索规律的能力。

参考文献:

[1]傅荣强.新课标.高中数学.高中数学思想方法[G].北京:龙门书局,2009。

[2]任永生.活用分类讨论思想解决方程问题[J].数学学习与研究,2011,(04)。

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