高中数学思维严谨性的培养——以《曲线与方程》一节为例

李子谦

(福州第一中学，福建 福州 350001)

《曲线与方程》这节课的位置处于圆锥曲线章节的开始部分，在学习本节课之前，学生已经学习了直线与圆的方程，能够初步理解曲线上的点与方程的解之间存在的对应关系。本节课的目的就在于让学生更深刻地理解曲线方程的纯粹性和完备性，并能够利用曲线的方程与方程的曲线这两个重要概念学会求曲线的方程的方法。在本节课中培养学生严谨的数学思维的过程主要集中在以下两个方面:

一、正反例教学培养学生严谨的双向思维

在教学曲线与方程的完备性和纯粹性时，概念的教学为许多所教师忽视，而该部分的教学恰好是培养学生严谨数学思维过程中重要的一环。为了达成这一教学目标，笔者的设计如下:

首先利用集合中的一一映射概念讲解在曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系:如果把曲线上所有的点构成一个集合，方程所有的解也构成一个集合，这两个集合在构成一个一一映射时，这个方程称为曲线的方程，这条曲线称为方程的曲线。

有了这个分析，就可以得出以下两个条件，即曲线方程的完备性和纯粹性:

①曲线上点的坐标满足方程f(x，y)=0;

②以方程f(x，y)=0 的解为坐标的点在曲线上。

当这两个条件都满足时，这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。

之后即进入正例教学。曲线与方程的概念极为抽象，如果没有实际例子的支撑容易造成学生的理解困难。因此在定义给出之后，引导学生回忆之前求圆的标准方程过程，指出在这些过程中，实际仅仅验证了条件①而没有验证条件②。但是只有符合这两个条件，才能将曲线的研究转化为对方程的研究，即几何问题的研究转化为代数问题，从而实现“以数论形”这个解析几何的基本思想和基本方法。所以此时引导学生对照之前求标准方程的过程，以圆方程x2+y2=1 为例一起对条件②进行说明，从正面加深对定义的理解。

证:设x=x0，y=y0是方程x2+y2=1 的任意一组解。则，以方程的解为坐标的点是(x0，y0)，该点到原点的距离是。即以方程的任意一组解为坐标的点到原点的距离为1，在圆上。

接着引导学生思考，为什么一定要两个条件同时成立，如果这两个条件缺少一个的时候会发生什么情况?从这个角度对定义加以理解，进入反例教学。

让学生画出曲线C:y=x 的图像，然后讨论下列两个方程是否能表示这条直线。

在这个简单的反例中，学生较容易得出方程(1)、(2)都不能表示曲线C。然后让学生根据定义说明理由，锻炼学生严谨的表达能力，养成学生双向思维的习惯。

所以这两个方程都不能表示曲线C，从而说明，两个条件缺一不可，任意一个条件不符合，就不能把方程称为曲线的方程，把曲线称为方程的曲线。事实上，(1)、(2)的方程所表示的曲线应该是如图所示的两种情况。

正反例教学解释了曲线和方程关系的纯粹性与完备性，旨在帮助学生深刻理解曲线与方程的定义，培养学生从正反两个方面思考问题，以求思维的严谨。如果仅有正例教学，学生的思维被局限在“正确”的范围内，当需要他们自己思考的时候就不能进行迅速而严谨的反向思维;反之，如果仅有反例教学，容易让学生钻牛角尖，只关心错误的产生而不关心如何避免错误，这都对培养学生的严谨思维是不利的。本节课对于曲线与方程关系的纯粹性和完备性选取合适的正例与反例，既不牵着学生沿着既定路线走，又能引导学生不至于思维跑偏，这样才能让学生的思想之花在绽放的同时不失严谨。

二、针对性选取例题培养学生严谨的全面思维

在例题教学中，为了让学生能够养成严谨的数学思维习惯，笔者同样针对性地选取例题。在求轨迹方程时，如果不能进行严谨的全面思维，完备性就容易被遗漏检查，所以例题应选取求出轨迹方程后还需要检查完备性的题目，引导学生认识到完备性检查的重要性。基于这些考虑，笔者选取了如下例题并给出了一道扩展例题。

例:(示意图1)若动点M 与两定点A(-a，0)，B(a，0)，其中a ＞0，构成以M 点为直角顶点的直角三角形，求M 点的轨迹方程.

(示意图1)

解:∵AM ⊥BM

∴ 点M 在以AB 为直径的圆上运动.

∵ 该圆圆心为O，半径长为a.

∴点的轨迹方程为x2+y2=a2.

联系到圆的相关性质，大部分学生能够很快地给出以上解答，之后用几何画板做出轨迹，提示他们针对曲线与方程的完备性进行检查。在此过程中引导他们观察M 点运动到特殊位置即M 运动到A，B 两点时的情况，然后提问:动点的轨迹是不是就是这个圆，这个圆方程这是我们所求的曲线方程吗?因为当M 点与A，B 两点重合的时候，三角形不存在，所以，A，B 两点是不符合题意的。虽然A，B 两点的坐标是这个方程的解，但不在M 点的轨迹上，所以轨迹方程应是它的图形是以O 为圆心，a 为半径的圆，但不包括A，B 两点。

(示意图2)

扩展:(示意图2)过圆O:(x+1)2+y2=4 外一点A(4，3)做圆的割线，与圆相交得到的弦的中点设为C，试探究点C 的轨迹。与例1 类似，寻找等量关系。观察到∠ACO 始终为直角，而A，O 都是定点，所以本题的实质是和例1 一样的。

解:(以向量角度解答为例)

设C 点坐标(x，y)，因为∠ACO 始终为直角，

(x-4，y-3)·(x+1，y)=0.

解答到这里时，再用几何画板展示该曲线的形成过程。此时学生就会发现，明明自己求出了一个圆方程，但实际的曲线仅仅是圆的一部分——弧。这就是因为求出的方程的解并不都是曲线上的点，如果不验证完备性，就会发生错误，于此强调严谨思维的重要性。

数学课堂教学中，例题的重要性不言而喻，求曲线的轨迹方程是本节课的重点内容，而求解的最后一步，即完备性检查最能体现学生的思维是否全面。例题在检查的过程中只要注意到三角形条件即可去掉不符合题意的两点。后面的扩展例题的代表性更强，从解析几何求解的角度寻找等量关系求解轨迹方程是常规思维，但在解答后很容易遗漏完备性检查这一步，所以通过有针对性的例题，强调完备性检查的重要性，培养学生严谨的全面思维。

本节课是一节普通的曲线与方程的常态课，笔者在常态课中注重教学细节，有针对性地设计了正反例概念教学和例题教学，以期让学生切身体验整个问题研究的思维过程，了解在数学学习中严谨的数学思维的重要性，并逐步养成严谨思维的习惯。数学是自然科学之母，数学课堂是科学精神培养的重要阵地。笔者希望在数学课堂上不仅能够将数学知识传授给学生，更能让学科的严谨之美感染学生，进而融会贯通这一重要的科学精神，其必将对学生今后的学习大有裨益。

［1］梁海红.学生数学思维严谨性的培养策略［J］.教师，2010(25).

［2］沈海澜.从一案例谈数学思维严谨性的培养［J］.中学数学研究，2012(5).

［3］陈静.浅谈培养学生思维的严谨性［J］.数学学习与研究，2009(10).