金融资产收益非对称性的多标度分形测度及其在VaR计算中的应用

2015-04-25 10:35袁小丽
中国管理科学 2015年3期
关键词:偏度标度非对称

王 鹏,袁小丽

(1. 西南财经大学中国金融研究中心,四川 成都 610074;2. 金融安全协同创新中心,四川 成都 610074;3.西南财经大学金融学院,四川 成都 611130)



金融资产收益非对称性的多标度分形测度及其在VaR计算中的应用

王 鹏1,2,袁小丽3

(1. 西南财经大学中国金融研究中心,四川 成都 610074;2. 金融安全协同创新中心,四川 成都 610074;3.西南财经大学金融学院,四川 成都 611130)

通过提炼多标度分形分析过程中所产生的对描述金融资产收益非对称特征有益的统计信息,提出了一种新的资产收益非对称测度——多标度分形非对称测度(Multifractal asymmetry measurement)Δf,并以沪深300指数长达7年左右的5分钟高频数据为实证样本,通过两种不同的VaR后验分析(Backtesting analysis)方法,实证对比了Δf测度和传统的偏度系数(Coefficient of skewness)测度在市场风险计算准确性方面的差异。实证结果表明:基于Δf测度的市场风险计算模型的VaR计算精度优于基于偏度系数测度的对应模型,Δf测度具有较偏度系数测度更为优异的对金融资产收益非对称特征的刻画能力。

多标度分形理论;非对称测度;风险价值;后验分析

1 引言

20世纪90年代开始,对金融资产收益非对称特征进行检验和描述的相关研究开始逐渐兴起,并在最近几年得到了越来越多的重视。这不仅是由于金融资产收益分布的非对称性是投资组合选择过程中应该考虑的一个重要因子,而且还对金融风险识别与测度和衍生品定价的准确性等都有较大影响[1-4]。

在上世纪90 年代,“标度理论之父”Mandelbrot 先后两次指出多标度分形理论是一种刻画金融资产价格复杂波动特征的有力工具[5,6]。在Mandelbrot 开创性思想的指引下,金融复杂性领域的学者对来自不同发展阶段资本市场以及不同交易品种的金融时序开展了大量卓有成效的实证研究[7-11]。他们的研究表明,无论是成熟资本市场,还是新兴资本市场,无论是贵金属市场、原油市场,还是外汇市场和股票市场,尽管其交易标的、投资者构成、监管制度和交易制度等都有很大不同,但在价格变化(收益率)中都存在着明显的多标度分形特征。Faruk和Ramazan[12]明确指出,金融市场中多标度分形现象的普遍存在,表明了现有的金融资产价格波动特征主流研究中的众多统计推论也许并不具有广泛代表性。因此,上述这些已有的工作积累都为我们下一步运用多标度分形理论来进行金融市场的波动率测度以及风险管理研究提供了坚实的理论和实证依据。

目前,文献中用于测度金融资产收益非对称性的主流方法是基于定义为随机变量分布标准化三阶中心矩(The Standardized Third Central Moment)的偏度系数(Coefficient of Skewness,简记为CS)[13-15]。然而,CS测度往往不适用于对实际金融资产收益非对称性的检验,原因在于在运用偏度系数进行非对称性检验时,决定所得结论有效性的关键不仅在于资产价格变化之间的独立性,而且还取决于其对资产收益服从正态分布这一重要前提假定的满足[16]。换句话说,当资产价格变化(收益率)不服从正态分布或相互间不独立时,基于传统偏度系数的非对称性判断结论是非常值得怀疑的。然而,众多严谨的实证研究早已表明,尽管金融资产收益水平值的相关性并不明显,但收益率的平方(或绝对值)之间却往往呈现出较强的正相关,这说明不同时点上的资产价格变化(收益率)并不是独立的[17-20]。除此之外,在常用的抽样频率上(如日收益率或周收益率),正态分布假设更是会被强烈拒绝[21-25]。另外,偏度系数还有一个明显的缺陷在于:它是一种平均数意义上的非对称性测度,因此对样本数据中的极端值(Outliers)非常敏感。然而,实际金融市场中的投资者对新信息的反映是非线性的,他们往往是以累积的方式对利空和利好消息进行消化。当利空(利好)消息持续到来时,他们往往会在某个“临界值”或“阀值”(Threshold)附近对这一系列的冲击加以集中反应,从而导致市场波动极端值出现的频率要远远高于“有效市场假说”(Efficient Market Hypothesis,EMH)所认为的正态分布中的情况[24]。因此,我们认为,主流的金融资产收益非对称性检验方法在这里出现了明显的测度缺陷和研究不足。

经过较长时间的前期研究,我们发现,多标度分形分析技术实际上为传统的收益率非对称性研究中存在的诸多问题提供了极具针对性的解决方案。例如,多标度分形分析技术在本质上仍属于非参数(Nonparametric)方法,对变量分布等并无太多先入为主的假定。相反,多标度分形理论中的分析方法都是从数据本身特征出发,本着“让数据为自己说话”的精神,着眼于实际数据变化背后的复杂波动机制,并通过若干含义明确的概念和工具去描述这些机制[26]。此外,多标度分形分析技术还具有良好的稳健性(Robustness),并不会因为样本数据中的极端值(Outliers)而改变分析结果的统计性质和定性结论,这一重要优势已被该领域中的诸多实证研究所证实[7,27-28]。

基于上述考虑,在前期相关研究的基础上,本文尝试从对金融资产价格波动的多标度分形分析出发,通过提炼分析过程中所产生的对描述金融资产收益非对称特征有益的统计信息,提出了一种具有更为优异的理论性质且更适用于金融数据实际特征的新的资产收益非对称性测度方法。同时,为了验证这种新的非对称测度方法的可靠性和实用性,本文以我国股票市场中的代表性指数——沪深300指数长达7年左右的高频股价数据为研究样本,通过运用两种规范的风险价值(Value at Risk,VaR)后验分析(Backtesting Analysis)方法,实证对比了分别基于多标度分形非对称测度及传统的偏度系数CS测度波动模型的VaR测度精度。实证结果表明,我国新兴股票市场的价格波动确实具有显著的多标度分形特征,且基于多标度分形非对称测度的VaR计算模型较基于传统偏度系数CS测度的对应模型具有更加优异的风险测度精度。

2 样本数据说明

本文研究所用的数据样本为沪深300指数从2005年4月8日到2012年1月4日的每5分钟高频股价数据(共N=1641个交易日),记为It,d,t=1,2,…,N,d=0,1,2,…,48,其中It,0表示第t天的开盘价,It,48表示第t天的收盘价。

沪深证券交易所每个交易日9:30分开盘,到11:30分中午休市,然后13:00开盘,到15:00全天收盘,每天共有4个小时(即240分钟)的连续竞价交易时间。因此,采用每5分钟记录一个数据的方法每天可以产生48个高频股价记录(不包括It,0),样本总体的高频数据量为78768个。文中的日收益率(Daily Return)rt利用相邻两个交易日的收盘价计算:

rt=100(lnIt,48-lnIt-1,48),t=2,3,…,N

(1)

日收益率rt的描述性统计结果如表1所示。

从表1的描述性统计结果可以看到:

(1)沪深300指数的非条件收益率并不服从正态分布(J-B检验在1%水平上显著),且呈现出一定的“尖峰厚尾”(Leptokurtic and Fat Tailed)和“有偏”(Skewed)形态(收益率的偏度系数显著小于0,超额峰度系数显著大于0);

(2)表1中ADF单位根检验结果表明,沪深300指数的非条件收益序列存在单位根的零假设被拒绝。因此,可以认为非条件收益率序列是平稳(Stationary)的,可以直接作下一步的分析和计量建模;

(3)从日收益率滞后20阶的Ljung-BoxQ统计量(Q1(20))可以看出,在较高的显著性水平上(1%),可以拒绝沪深300指数的非条件收益率在较长时间范围内(20期)都不具有自相关性的原假设,即指数波动具有较为明显的长记忆性(Long Memory);

表1 沪深300指数日收益率rt的描述性统计结果

注:表中,“*”表示在1%水平上显著;峰度系数为超额峰度;J-B为检验序列是否服从正态分布的Jarque-Bera统计量;Q(20)为检验序列是否具有自相关性的滞后20期Ljung-BoxQ统计量;ADF为检验序列是否具有单位根的Augmented Dickey-Fuller单位根检验统计量。

(4)表1中,平方收益率滞后20阶的Ljung-BoxQ统计量(Q2(20))具有较高的显著性,意味着沪深300指数的较大收益率和较小收益率都在某段特定时期内交替集中出现,即我国股票市场的非条件收益率表现出较为明显的波动聚集(Volatility Clustering)特征。

3 基于多标度分形理论的非对称性测度方法

3.1 多标度分形参数定义

本节首先探讨多标度分形理论的相关参数定义[29],以明确其在金融资产收益分布建模中应用的理论基础。

定义一:考虑n维欧式空间Rn,其一子集U的直径为:

|U|=sup{‖x-y‖|x,y∈U}

(2)

定义二:设F为Rn中任一子集,s为一非负实数,对∀δ>0,定义以下形式的公式:

(3)

(4)

∀F⊂Rn,Hs(F)存在,但可以为0或∞,则称Hs(F)为F的s维豪斯道夫测度。

(5)

令δ→0并设Hs(F)为有限值,则由式(5)得:

(6)

即Hs(F)关于不同的s,存在一个使Hs(F)从∞跳跃到0的唯一临界值s0,则该临界值s0称为F的豪斯道夫维数(HausdorffDimension),记为DH(F),其精确定义由下式表示:

DH(F)=inf{s|Hs(F)=0}=sup{s|Hs(F)=∞}

(7)

定义四:设F是n维欧式空间Rn上的一个n维子集,将F划分为测度尺度为δ的无重复分形子集合{Xa},且每一分形子集的概率测度μα与δ间存在幂律关系(Powerlaw):

μα~δα

(8)

由于这里的a控制着概率测度的奇异性,所以被称为奇异指数(Singular Exponent)或Hölder指数。同时,如果每一分形子集有不同的奇异指数,则称此集合F为多标度分形。

定义五:由定义一~三可以得到,当δ→0时,下式表示具有相同概率测度μαi的分形子集合{Xai}的q维豪斯道夫测度:

(9)

若存在临界指数f(a)使得:

f(α)=inf{q|Hq(Xαi)=0}=sup{q|Hq(Xαi)=∞}

(10)

则称f(a)为多标度分形的奇异谱,或简记为“多标度分形谱”(Multifractal Spectrum)。

3.2 多标度分形谱f(a)的计算

一般的,最常用的奇异指数a和多标度分形谱f(α)的计算方式是“数盒子”法(Box-Counting),其具体步骤如下[7-9]:

(1)假定整个交易日的时间长度为1,则无重复均匀覆盖这48个高频股价数据的“盒子长度”δ(δ<1)可以分别取为:1/48,1/24,1/16,1/12,1/8,1/6,1/4,1/3,1/2和1;

(2)当取盒子长度为δ时,假定覆盖每天48个高频股价数据需要m个盒子。这里为了公式表述的清晰,另记一天当中的高频股价数据为I(t)(t=1,2,…,48),且每个盒子内有n个数据记录,那么定义在第i个盒子上的指数概率测度为:

(11)

其中,I(ij)表示第i个盒子中的第j个指数。根据王鹏[7],Jiang Zhiqiang等[8],Calvet等[9]研究中的相关定义,有以下的幂律关系(Power-Law)存在:

Pi(δ)~δα

(12)

Nα(δ)~δ-f(α)

(13)

其中,Nα(δ)表示具有相同奇异指数(SingularExponent)a的长度为δ的盒子个数;

图1 沪深300指数两天中的价格走势、收益率经验分布与多标度分形谱

(3)多标度分形谱f(α)的计算可以通过配分函数(Partition Function)Sq(δ)来计算:

(14)

根据王鹏等[7],JiangZhiqiang等[8],Calvet等[9]研究中的相关结论,Sq(δ)同样满足以下形式的幂律关系:

Sq(δ)~δτ(q)

(15)

在实际计算时,q的取值范围大小以α和f(α)达到饱和值为准[7-9];

(4)τ(q)的值可以通过求取在双对数坐标轴lnSq(δ)-lnδ上的直线斜率得出,并通过勒让德变换(LegendreTransition)可以得出:

(16)

f(α)=αq-τ(q)

(17)

3.3 基于多标度分形谱f(a)的非对称性测度方法构建

经过多次试验,我们发现沪深300指数在2005年8月18日和2011年12月16日这两天中的走势呈现较为明显的相反状态,进而导致日内高频收益率经验分布的偏斜情况也截然相反。为了验证上文提出的基于多标度分形分析的偏度测度方法能否灵敏地捕捉并刻画这一差异,我们运用上节所介绍的具体方法,计算了这两天的奇异指数a和多标度分形谱f(a),并将其与两天中的价格走势和收益率经验分布状况一并汇报于图1中。

由图1可以清晰地看出:

(1)沪深300指数在2005年8月18日和2011年12月16日两天的价格走势迥异,但其价格变化都具有明显的非对称特征。其中,2011年12月16日的价格走势为开盘后区间震荡,临近收盘时大幅上涨。而2005年8月18日的价格走势恰好相反,为开盘后区间震荡,临近收盘时大幅下跌;

(2)收益率的经验分布情况良好地反映了沪深300指数两天中的上述走势。其中,在具有单边快速上行走势的2011年12月16日,其收益率的经验分布具有明显的右偏特征。而在2005年8月18日,单边快速下行的走势所导致的收益率分布具有明显的左偏特征;

(3)沪深300指数在两天中的价格走势尽管差异明显,但其多标度分形谱却都表现出了显著弓形,这是沪深300指数的价格波动确实具有明显多标度分形特征的有力佐证[7-9];

(4)若将某日奇异指数序列的最大值和最小值分别记为amax和amin,则其所分别对应的多标度分形谱值可以记为f(amax)和f(amin)(图1中已有标注)。接下来,非常能引起我们兴趣且更具意义的发现是,沪深300指数价格的不同波动状况对应着这两个多标度分形谱值(f(amax)和f(amin))的不同变化模式。具体来说,在2011年12月16日,指数收益率(价格波动)具有明显的右偏特征,而该日多标度分形谱的极差Δf=f(amax)-f(amin)>0;在2005年8月18日,指数收益率具有明显的左偏特征,该日有Δf<0。更为重要的是,我们通过对其它不同日期价格序列的考察同样发现了这一规律。为了对这一规律有更为直观的观察,图2报告了样本期间内的收益率序列rt、各天高频收益数据的偏度系数CS和Δf值。

图2 沪深300指数的收益率序列rt、偏度系数CS和Δf值

通过图2可以看出,Δf测度对收益非对称特征的反映较偏度系数CS更为真实和敏感。那么,为什么Δf会对收益率非对称特征具有如此敏感且真实的反映呢?

由式(12)可知Pi(δ)~δα,而Pi(δ)定义为每个盒子内股价指数之和与每天所有股价指数之和的比值,因此,a就定量地反映出了某个盒子在当天所有价格中的概率测度值。比方说,由于δ<1,则amax和amin就分别指示了最小概率测度和最大概率测度盒子的测度值,即amax指示的是当天价格走势相对最低的位置,而amin则指示的是当天价格走势相对最高的位置。

理解了amax和amin的含义之后,再结合式(13) (Nα(δ)~δ-f(α)),我们就不难对f(amax)和f(amin)的经济学内涵有更为深刻的认识了。实际上,由于Nα(δ)表示的是具有相同概率测度Pi(δ)(即具有相同a指数)的盒子的个数,因此它就代表了一天当中具有相同价格水平或相同强弱趋势的盒子个数(时间段的个数)。很明显,如果一天当中具有某一相同价格水平或强弱指标的盒子个数(时间段)越多,那么当天的价格走势应该就越平稳、越均匀,则其价格波动(收益率)非对称特征越不明显。进一步,若将注意力放在当天价格的最高和最低两个极端位置上(amax和amin),那么f(amin)和f(amax)就分别指示了具有最大概率测度和最小概率测度的盒子个数的多少,即f(amin)指示的是当天价格走势最强的那些盒子的总数,而f(amax)指示的是当天价格走势最弱的那些盒子的总数,并且由于Nαmax(δ)/Nαmin(δ)=δ-Δf和δ<1,所以当Δf>0时,Nαmax(δ)/Nαmin(δ)>1,表示的是具有最大概率测度指数盒子的数量小于具有最小概率测度指数盒子的数量,即价格走势相对最高的盒子数量少于价格走势相对最低的盒子数量,亦即价格波动主要发生在较低的相对价格位置上,这一点在价格增量(收益率)分布上的表现就是均值右边数值所聚集的增量无论是从幅度还是数量上都超过均值左边的数值,从而收益分布呈现明显的右偏形状(如图1所示)。反之,当Δf<0时,Nαmin(δ)/Nαmax(δ)>1,表示的是具有最大概率测度指数盒子的数量大于具有最小概率测度指数盒子的数量,即价格走势相对最高的盒子数量多于价格走势相对最低的盒子数量,亦即价格波动主要发生在较高的相对价格位置上,这一点表现在价格增量(收益率)分布上就是均值左边数值所聚集的增量无论是从幅度还是数量上都超过均值右边的数值,从而收益分布呈现明显的左偏形状(如图1所示)。由此可见,Δf指标具有非常明确的经济含义,运用Δf来测度金融资产收益分布的非对称性,不仅经过了实证观察的检验,而且也具有合理且坚实的理论依据。

4 VaR计算及其后验分析方法

为了验证上文所提出的基于多标度分形语言的非对称测度——Δf的有效性和实用性,我们有必要检验其是否确实改进了传统非对称测度(偏度系数CS)在应用领域中的表现。Sydney and Serena[30]指出,无论是最优资产组合的选择还是衍生产品的避险策略设计,其实质都是要对金融资产的市场风险特征进行准确的描述和预测。因此,我们对于Δf非对称测度有效性的研究将通过考察其是否具有较CS测度更优的市场风险测度精度来实现。

具体来说,我们将选择在金融风险测度领域中应用广泛的经典VaR计算模型,并通过偏度系数CS测度和Δf测度分别对其进行扩展,然后运用Kupiec[31]提出的非条件覆盖检验(Unconditional Coverage Testing)以及Engle and Manganelli[32]提出的条件覆盖检验(Conditional Coverage Testing),实证对比基于两种不同非对称测度VaR计算模型的风险估计精度差异。

4.1 VaR计算模型

金融计量研究中,一般假定金融资产日收益率序列rt满足如下的离散形式:

rt=μt+εt=μt+σtzt

(18)

对于具有较强自相关特征的收益率序列来说,有学者[33]建议在实证研究中假设μt服从AR(m)、ARMA(m,n) 或其它更为复杂的模型形式以消除自相关性。由于有研究表明[34],AR(1)模型是一种简单但非常实用的刻画条件均值μt的模型,用它可以对价格变化的自相关特征进行良好描述,因此结合表1中沪深300指数收益所展现出的统计特征,我们假定其条件均值μt满足一个AR(1)过程,即指数收益率rt通过下式刻画:

rt=ρrt-1+σtzt

(19)

(20)

基于偏度系数CS测度的扩展GARCH(1,1)模型(记为GARCH-CS)形式为:

(21)

同理,基于Δf测度的扩展GARCH(1,1)模型(记为GARCH-Δf):

(22)

除了GARCH模型外,我们还考虑一种常用的能够描述资产价格杠杆效应(Leverage effect)的条件异方差模型:GJR模型。一阶GJR模型的条件方差方程形式为:

(23)

其中,I(·)为一指示函数(Indicator Function)。当()中的条件成立时,I(·)为1,反之为0。

基于偏度系数CS测度和Δf测度的扩展GJR(1,1)模型(分别记为GJR-CS和GJR-Δf)形式分别为:

(24)

(25)

考虑到沪深300指数价格波动展现出了较为明显的长记忆性(见图1的描述性统计结果),我们这里继续考虑一种常用的长记忆波动模型(FIGARCH模型),其一阶形式的条件方差方程为:

(26)

其中,L为滞后算子,d为长记忆参数,它刻画了波动的长短记忆性,当0

基于偏度系数CS测度和Δf测度的扩展FIGARCH(1,1)模型(分别记为FIGARCH-CS和FIGARCH-Δf)形式分别为:

(27)

(28)

总结起来,对于所考察的沪深300指数,除了其收益率的条件均值建模采用公式(19)所示的AR模型形式外,条件方差的建模(即本文所考察的风险测度模型)一共包括以下9种不同方式,分别记为GARCH、GARCH-CS、GARCH-Δf、GJR、GJR-CS、GJR-Δf、FIGARCH、FIGARCH-CS、FIGARCH-Δf。

4.2 VaR测度值的计算

根据对第4.1节中9种不同形式风险测度模型的估计,我们可以计算在不同模型假定下沪深300指数收益的VaR风险测度值,并通过严谨的后验分析(Backtesting Analysis)来对比检验各类模型的适用范围和精确程度。

另外,由于金融资产的收益分布普遍具有非对称波动特性[35],因此即使交易的是相同标的资产的衍生产品,投资者持有的多头头寸(Long Position)和空头头寸(Short Position)也会具有显著不同的VaR测度值。这也就是说,对非对称收益分布的左、右尾部分别加以考察将具有非常重要的现实意义,因此本文将在多头和空头两种不同头寸下分别检验各种风险度量模型在沪深300指数风险测度中的有效性和实用性。

t时刻q分位数下的VaR定义为:

(29)

其中,zq为所要考察的收益分布的q损失分位数。对于多头头寸,q应取左尾分位数;对于空头头寸,q应取右尾分位数。为保证研究结论的可靠性,本文将多头头寸分位数zq分别取为10%、5%、2.5%、1%、0.1%,对应的空头头寸分位数分别为90%、95%、97.5%、99%、99.9%。同时,条件均值μt和波动率(条件标准差)σt通过前述各类风险测度模型估计得出,由此我们可以计算不同模型假定下的VaR风险测度值并开展Backtesting分析。

4.3 非条件覆盖检验

在对VaR进行Backtesting分析时,最重要的出发点是对其失败率(Failure Rate)是否准确进行检测。举例来说,如果我们计算得到了在5%分位数水平上的1000个VaR值,那么我们将预期:在这段时间当中,实际损失超出所计算的VaR值的次数应该大约是在1000×5%=50次左右。如果实际损失超过VaR的次数远大于或者远小于50次的话,都说明用于计算该VaR的风险测度模型是不准确的。从金融实践的角度讲,如果失败率远大于50次,则运用该模型估计VaR将会使得金融机构遭受更多次超预期的损失冲击;如果失败率远小于50次,则基于该模型的风险管理活动就会因为过高计提损失准备而导致资源的极大浪费。

Kupiec[31]提出了基于上述思想的非条件覆盖检验(Unconditional Coverage Test)。在这一检验中,为了定量比较不同风险测度模型的VaR测度精度,在考虑拒绝还是接受“所采用的风险测度模型是准确的”的假设时,所采用的定量判断标准是对比相应非条件覆盖检验的显著性p值。也就是说,如果对由某一风险测度模型所计算的VaR值的非条件覆盖检验p值越大,则说明我们越不能拒绝上述假设,即表明该风险测度模型的VaR测度精度越高。

4.4 条件覆盖检验

Engle and Manganelli[32]进一步指出,由合适的风险测度模型所计算的VaR失败观测值之间还应该不具有明显的相关性。为了同时进行VaR失败率准确和不具有相关性的联合假设检验(Joint test),Engle and Manganelli[32]提出了条件覆盖检验方法(Conditional Coverage Test),即:

首先,对分位数水平q下的碰撞序列Hitt进行以下的人造回归:

Hitt=Xλ+εt

(30)

其中X是一个T×K矩阵,其第1列是一个所有元素为1的列向量,随后的k列分别是取值为Hitt-1,Hitt-2,…,Hitt-k的列向量,最后的K-k-1列是附加的解释变量(包括所预测的VaR序列本身)。

Engle and Manganelli[32]证明了,要进行“碰撞序列”Hitt同时符合失败率准确和不具有相关性的零假设联合检验的话,所考察的统计量应该满足:

(31)

即该统计量服从自由度为K的χ2分布。也就是说,在分位数水平q下,如果所计算的上述统计量检验值大于该水平下自由度为K的χ2分布的临界值的话,我们就应该拒绝Hitt同时符合失败率准确和不具有相关性的零假设;反之,则应该接受零假设,即认为所采用的风险测度模型是足够准确的。同样,在条件覆盖检验中,我们所采用的风险测度模型定量判断标准仍是相应检验的显著性p值大小。

5 实证结果

5.1 VaR计算结果

通过对文中9种不同风险测度模型的估计,可以得到日收益率的条件波动率σt,进而得到未来1天的条件波动率预测,然后通过式(29)计算未来1天沪深300指数的VaR值。

图3报告了不同模型对沪深300指数1%分位数下多头头寸VaR的估计结果,图2是对应空头头寸在99%分位数下的情况。为了图形清晰起见,同时考虑到对相关结论的代表性,我们选择了GARCH、GARCH-CS、GARCH-Δf等3种模型和全样本中一段期间内(t=800, 801, …, 1000)的结果进行展示。同时,为了对风险测度模型VaR估计值的准确性进行初步判断,图1和图2中用针头图标识收益率rt。

由图3和图4的直观表象来看,总体来讲,在1%分位数下,无论是多头头寸,还是空头头寸,GARCH模型和基于CS测度扩展的GARCH模型似乎都有高估VaR值的倾向,而基于Δf测度扩展的GARCH模型的VaR度量精度似乎更高。当然,要得到更为精确的结论,必须对基于各个风险测度模型的VaR序列进行Backtesting检验。

图3 沪深300指数收益1%分位数下多头头寸的部分VaR估计结果(t=800,801,…, 1000)

图4 沪深300指数收益99%分位数下空头头寸的部分VaR估计结果(t=800,801,…, 1000)

表2 不同风险测度模型VaR估计的非条件覆盖检验结果

注:表中数字为非条件覆盖检验的p值。p值越大,说明由该模型所计算的VaR精确度越高。表中用下划线表示的是某一类特定模型下的最优非条件覆盖检验p值。

表3 不同风险测度模型VaR估计的条件覆盖检验结果

注:表中数字为条件覆盖检验的p值。p值越大,说明由该模型所计算的VaR精确度越高。表中用下划线表示的是某一类特定模型下的最优条件覆盖检验p值。

5.2 Backtesting检验结果

按照4.3节和4.4节中所介绍的条件覆盖检验和非条件覆盖检验方法,我们对各个波动模型的VaR估计效果都开展了后验分析。表2和表3分别报告了不同风险测度模型对沪深300指数VaR测度精度的Backtesting检验结果。表中数字为检验的显著性p值,p值越大,表明由该模型计算的VaR准确度越高。表中用下划线标识的是某一特定种类风险测度模型在某一特定分位数水平下的最优Backtesting检验p值

由表2和表3可以看出:

(1)观察各组检验中3种经典波动模型(GARCH、GJR、FIGARCH)的Backtesting检验结果可以发现,在条件覆盖检验和非条件覆盖检验下总共可以进行的40次比较中,GJR模型和FIGARCH模型所取得的检验p值共有9次大于普通GARCH模型的检验p值。因此,GJR模型和FIGARCH模型所取得的检验p值未能出现系统性大于普通GARCH模型检验p值的情况,这说明包含杠杆效应的GJR模型和能够刻画波动长记忆性的FIGARCH模型并未取得明显优于普通GARCH模型的VaR测度精度;

(2)经偏度系数CS测度扩展的波动模型具有比其所对应的普通波动模型(GARCH vs. GARCH-CS、GJR vs. GJR-CS、FIGARCH vs. FIGARCH-CS)更优的VaR计算精度。这表现为:总体来讲,GARCH-CS模型取得大于GARCH模型检验p值的次数远远超过GARCH模型取得大于GARCH-CS模型检验p值的次数,同样在GJR vs. GJR-CS和FIGARCH vs. FIGARCH-CS的对比中也普遍存在这一现象;

(3)单独比较基于本文所提出的基于Δf测度的扩展模型(GARCH-Δf、GJR-Δf、FIGARCH-Δf)和基于CS测度扩展模型(GARCH-CS、GJR-CS、FIGARCH-CS)的检验p值可以发现,在非条件覆盖检验(表2)和条件覆盖检验(表3)各自可以进行的两类模型的30次对照中,基于Δf测度的扩展模型在表2中取得较大检验p值的次数为19次,在表3中取得较大检验p值的次数为16次。另外,表中用下划线标出了某一类特定模型下的最优VaR测度模型及其条件覆盖检验的p值。从这些最优p值所对应的风险测度模型来看,基于本文所提出的Δf测度的扩展模型(GARCH-Δf、GJR-Δf、FIGARCH-Δf)在表2和表3中取得最优检验p值的次数分别为17次、16次,而基于CS测度扩展模型(GARCH-CS、GJR-CS、FIGARCH-CS)取得最优检验p值的次数仅为10次、10次。从这两个角度观察,基于Δf测度扩展的风险测度模型都表现出了较基于CS测度扩展模型更优的VaR计算精度。由于对市场风险测度的精准与否依赖于所使用的测度模型和方法对资产价格波动特征刻画的准确程度,因此基于这里的实证结果,我们认为,本文提出Δf测度展现出了较传统非对称测度(偏度系数CS)更为优异的对金融资产收益非对称特征的刻画能力。

6 结语

本文以沪深300指数长达7年左右的5分钟高频数据为实证样本,通过提炼多标度分形分析过程中所产生的对描述金融资产收益非对称特征有益的统计信息,提出了一种新的资产收益非对称性测度——多标度分形非对称测度(Multifractal Asymmetry Measurement)Δf。与偏度系数CS这一传统的非对称性测度方法相比,本文提出的Δf测度具有更为优异的理论性质,也更适于金融数据的实际特征。为了验证这种新的非对称测度方法在风险管理领域中可靠性和实用性,论文进一步构建了分别基于Δf测度和CS测度的VaR计算模型,并通过非条件覆盖检验和条件覆盖检验等两种不同的VaR后验分析方法,实证对比分析了Δf测度和传统CS测度在金融市场风险测度准确性方面的差异。实证结果表明:我国新兴股票市场的价格波动确实具有显著的多标度分形特征;基于Δf测度扩展的风险测度模型具有较基于CS测度扩展模型更优的VaR计算精度,Δf测度展现出了较偏度系数CS测度更为优异的对金融资产收益非对称特征的刻画能力。

当然,本文研究还存在着一些不足之处。例如,我们的研究还仅仅局限于Δf测度和CS测度在VaR框架下的对比,没有将其它一些成熟的风险测度,如预期损失ES(Excepted Shortfall)等纳入考察的范围。另外,本文的研究结论还需要在更广泛的领域(如资产定价、投资组合选择等等)中进一步加以验证。另外,本文的研究结果表明Δf测度适用于对具有非独立、非正态特征数据(如大多数现实金融市场中的收益数据)的非对称性检验,但对具有其它特征数据的适用性如何仍有待于进一步的拓展考察。当然,这也是我们下一步研究工作的重点所在。

[1] Christofferson P F. Elements of financial risk management[M]. San Diego: Academic Press, 2003.

[2] Korkie B, Sivakumar R, Turtle H J. Variance spillover and skewness in financial asset returns[J]. The Financial Review, 2006, 41(1): 139-156.

[3] Kendall M, Stuart A. The advanced theory of statistics[M]. London: McGraw-Hill Press, 1969.

[4] Engle R F. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation[J]. Econometrica, 1982, 50(4): 987-1007.

[5] Mandelbrot B B. Fractals and scaling in finance[M]. New York: Springer Press, 1997.

[6] Mandelbrot B B. A multifractal walk down Wall Street[J]. Scientific American, 1999, 298(1): 70-73.

[7] 王鹏, 王建琼. 中国股票市场的多分形波动率测度及其有效性研究[J]. 中国管理科学, 2008, 16(6): 9-15.

[8] Jiang Zhiqiang, Zhou Weixing. Multifractal analysis of Chinese stock volatilities based on the partition function approach[J]. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2008, 387(19): 4881-4888.

[9] Calvet L, Fisher A. Multifractal volatility: Theory, forecasting, and pricing[M]. London: Academic Press, 2008.

[10] Ramirez J, Alvarez J, Solis R. Crude oil market efficiency and modeling: Insights from the multi-scaling autocorrelation pattern[J]. Energy Economics, 2010, 32(5): 993-1000.

[11] Schmitt F G, Ma Li, Angounou T. Multifractal analysis of the dollar-yuan and euro-yuan exchange rate before and after the reform of the peg[J]. Quantitative Finance, 2011, 11(4): 505-513.

[12] Faruk S, Ramazan G.Intraday dynamics of stock market returns and volatility [J]. Physica A, 2006, 367: 375-387.

[13] Lau H S, Wingender J R, Lau H L. On estimating skewness in stock returns[J]. Management Science, 1989, 35(9): 1139-1142.

[14] Christofferson P F. Elements of financial risk management[M]. San Diego: Academic Press, 2003.

[15] Korkie B, Sivakumar R, Turtle H J. Variance spillover and skewness in financial asset returns[J]. The Financial Review, 2006, 41(1): 139-156.

[16] Kendall M, Stuart A. The advanced theory of statistics[M]. London: McGraw-Hill Press, 1969.

[17] 陈雄兵, 张宗成. 基于修正GARCH模型的中国股市收益率与波动周内效应实证研究[J]. 中国管理科学, 2008, 16(4): 44-49.

[18] Mcmillan D G, Speight A E. Volatility dynamics and heterogeneous markets[J]. International Journal of Finance and Economics, 2006, 11(1): 115-121.

[19] Poshakwale S, Aquino K. The dynamics of volatility transmission and informationflow between ADRs and their underlying stocks[J]. Global Finance Journal, 2008, 19(1): 187-201.

[20] Linden M. A model for return distribution[J]. International Journal of Finance & Economics, 2001, 6(2): 159-170.

[21] 王鹏, 王建琼. 中国股票市场的收益分布及其SPA检验[J]. 系统管理学报, 2008, 17(5): 542-547.

[22] 黄德龙, 杨晓光. 中国股票市场股指收益分布的实证分析[J]. 管理科学学报, 2008, 11(1): 68-77.

[23] Peters E E. Fractal market analysis: Applying chaos theory to investment and economics[M]. New York: Jone Wiley & Sons Press, 1994.

[24] Tolikas K, Gettinby G. Modelling the distribution of the extreme share returns in Singapore[J]. Journal of Empirical Finance, 2009, 16(2): 254-263.

[25] Matto T D. Multi-scaling in finance[J]. Quantitative Finance, 2007, 7(1): 21-36.

[26] Calvet L, Fisher A. Multifractal volatility: Theory, forecasting, and pricing[M]. London: Academic Press, 2008.

[27] Bai Manying, Zhu Haibo. Power law and multi-scaling properties of the Chinese stock market[J]. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2010, 389(9): 1883-1890.

[28] 汪富泉, 李后强. 分形几何与动力系统[M]. 哈尔滨: 黑龙江教育出版社, 1993.

[29] Sydney C L, Serena N. The empirical risk-return relation: A factor analysis approach[J]. Journal of Financial Economics, 2007, 83(1): 171-222.

[30] Kupiec P.Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models[J]. Journal of Derivatives, 1995, 3(2): 173-184

[31] Engle R F, Manganelli S. CAViaR: Conditional autoregressive value at risk by regression quantiles[J]. Journal of Business and Economic Statistics, 2004, 22(3): 367-381.

[32] Engle R F, Patton A. What good is volatility model?[J] . Quantitative Finance, 2001, 1(2): 237-245.

[33] Mcneil A J, Frey R. Estimation of tail related risk measures forheteroscedastic financial time series: An extreme value approach[J]. Journal of Empirical Finance, 2000, 7(3): 271-300.

[34] Talpsepp T, Rieger M O. Explaining asymmetric volatility around the world[J]. Journal of Empirical Finance, 2010, 17(8): 938-956.

A VaR Moldel Based on Multifractal Asymmetry Measurement

WANG Peng1,2,YUAN Xiao-li3

(1.Institute of Chinese Financial Studies, Southwest University of Finance and Economics, Chengdu 610074, China;2.Collaborative Innovation Center of Financial Security, Chengdu 610074, China;3.School of Finance, Southwest University of Finance and Economics, Chengdu 611130, China)

For describing asymmetry of financial returns, the validity of traditional measurement, i.e., skewness coefficient, is heavily dependent on the assumption that the data is independently and normally distributed. However, actual data in financial markets often has non-independent and non-normal distribution. So a new measurement should be explored to fit stylized facts of actual financial data. After a preliminary exploration for a long time, fractal analysis are found to provide highly targeted solutions for many problems in traditional research about asymmetry of financial returns. By refining useful statistical information to describe the asymmetric features of financial assets’ yields during the process of multifractal analysis, a new asymmetry measurement (Δf) is constructed in this paper,whose theoretical properties is more excellent and are more suitable for typical statistical characteristics of actual financial data. Unconditional coverage test and conditional coverage test are used to compare the VaR computation accuracy differences for CSI 300 index between risk models augmented by the skewness coefficients and the Δfmeasurement. Empirical results show that the latter has higher VaR estimation accuracy. The new measurement which we present in this paper provides a more suitable tool for asymmetry testing to financial returns. Furthermore, this is a typical result of making use of statistical information embedded in the process of fractal analysis.

multifractal theory; asymmetry measurement; value at risk; backtesting analysis

2013-01-26;

2013-08-07

国家自然科学基金资助项目(71101119);西南财经大学和四川省教育厅创新团队建设项目(JBK130401)

王鹏(1981-),男(汉族),山东宁阳人,西南财经大学中国金融研究中心,博士,副教授,研究方向:金融工程与风险管理.

1003-207(2015)03-0013-11

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.03.002

F224;F830

A

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