拟凹生产函数的分区域估计

董进全，邱程程，马占新，刘俊华,郑治华

(1.内蒙古工业大学管理学院，内蒙古 呼和浩特 010051；2.内蒙古大学经济管理学院，内蒙古 呼和浩特 010021)



拟凹生产函数的分区域估计

董进全1，邱程程1，马占新2，刘俊华1,郑治华1

(1.内蒙古工业大学管理学院，内蒙古 呼和浩特 010051；2.内蒙古大学经济管理学院，内蒙古 呼和浩特 010021)

本文提出了规模报酬递增生产前沿面的概念并证明了以下两个结论：(1)基于样本数据的DEA生产投入集可划分为规模报酬递增、不变和递减区域；(2)C-D生产函数是拟凹函数，且在规模报酬递增区域非凹，在规模递减区域严格凹。基于上述结论及对生产函数曲面，BCC生产前沿面，规模报酬递增生产前沿面的相互关系的分析，提出了一种生产函数分区域估计方法：在对样本数据(决策单元)依据规模报酬增减性进行分类的基础上进行投入可能集的分划，进而在规模报酬递减(不变)和递增区域上分别通过决策单元的BCC弱有效投影和规模报酬递增弱有效投影估计生产函数。文末，通过实例验证了估计方法的有效性。

数据包络分析(DEA)；生产函数估计；规模报酬；DEA弱有效；生产前沿面

1 引言

生产函数是用来研究经济增长与测算技术效率和技术进步的一种重要的分析工具，它是描述在一定技术水平下，生产者对各种投入进行最有效生产所能达到的最大产出水平的函数[1-3]。因此估算生产函数时，应对所投入的生产要素和可能产生的最大产出量给予充分的重视。但在许多理论性及大多数经验型研究中，生产函数经常被理解或处理成一种投入与产出的统计依存关系，而关于产出达到最大的要求则通常被忽略。因而传统的用原始数据直接拟合生产函数的方法，往往不能反映“最大产出”的特征，由此产生的生产函数也就不是严格意义上的生产函数。

相对于回归方法得到的生产函数，基于数据包络分析(DEA)理论得出的前沿生产函数更多地利用了有效及“投影”后有效的样本点信息[4-5]。迄今为止，国内外学者在基于DEA理论估算生产函数方面成果颇多。Deprins[6]首次提出了无成本处置壳模型(the Free Disposal Hull, FDH),该方法放弃了生产可能集凸性假设，在此基础上改进DEA模型并应用于生产函数估算。吴文江等[7]通过经典DEA模型中的面向产出的BCC模型对样本数据进行相对有效性判别，运用回归模型对处于生产前沿面的样本数据进行拟合得到生产函数。程大友[8]运用DEA模型将非有效决策单元“投影”为有效决策单元，以投影后的数据作为样本点进行生产函数的拟合。马赞甫，刘妍珺[9]将DEA方法和参数方法相结合，用DEA生产前沿面从内部逼近生产函数曲面，进而进行凹性生产函数的估计。

然而，在DEA生产可能集的公理系统中，凸性公理以生产函数满足凹性为前提假设[10-11]。但由于边际报酬递减规律的存在，生产函数有时只满足拟凹(Quasi-Concave, QC)性而并不满足凹性[3,12]。可以证明，Cobb-Douglas (C-D)生产函数在规模报酬递增区域是拟凹函数[13]而非凹函数。所以，在规模报酬递增区域(多体现为生产函数不满足凹性)，仍在生产可能集满足凸性公理的假设下通过DEA生产前沿面拟合生产函数曲面的方法就缺乏理论支持。

鉴于此，Dekker和 Post[14]将关于DEA生产可能集的凸性公理假设改进为投入空间凸而产出空间为拟凹的公理假设(拟凹公理)，研究了决策单元面向投入的拟凹DEA弱有效性并应用于银行分支机构的绩效评估。Post[15]、王晓红等[16,17]针对传统DEA方法不适用于生产前沿面呈现边际报酬递增时的情况，提出了通过变换函数将不满足凸性公理的生产可能集转换为满足凸性公理的生产可能集的方法，从而使得转换后决策单元可以应用DEA模型进行有效性判别。邱兆祥等[18]基于无成本处置壳(FDH)方法对中国商业银行1999年至2003年间的经营效率进行了测算。

当一种生产技术的生产规模跨度较大时，可能同时包含规模报酬递增(有时简称IRS)和规模报酬递减(有时简称DRS)的情形。在规模报酬递增区域，生产可能集一般不满足凸性公理；在规模报酬递减(包括不变)区域，生产可能集满足凸性公理。所以在整个生产规模跨度范围内假定整个生产可能集满足或不满足凸性公理都是不合理的。

本文提出了规模报酬递增生产前沿面的概念并证明了如下两个结论：(1)基于样本数据的DEA生产投入集可分划为规模报酬递增、不变和递减区域；(2)C-D生产函数是拟凹函数，且在规模报酬递增区域非凹，在规模递减区域严格凹。在此基础上，以C-D生产函数为研究对象，考虑生产函数凹性与规模报酬之间的关系，提出了一种生产函数分区域估计方法：在规模报酬不变和递减区域运用BCC生产前沿面拟合生产函数曲面；在规模报酬递增区域，针对生产函数仅为拟凹的特性，通过规模报酬递增生产前沿面拟合生产函数曲面。该方法一方面解决了生产规模跨度较大时生产函数的估计问题，另一方面给出了非凹型生产函数(或生产函数非凹阶段)更为合理的估计。

2 生产函数的拟凹性

所谓“拟凹”，可理解为“有限个决策单元的投入凸组合所产生的产出不小于原决策单元产出的最小者”。下面给出函数凹与拟凹的准确定义，进而证明结论：C-D生产函数在规模报酬不变和递减区域是凹的，在规模报酬递增区域是拟凹但却不是凹的。

定义2.1[12]设函数f在凸集D上有定义。如果对任意u,v∈D及任何θ∈[0,1]，总有f(θu+(1-θ)v)≥θf(u)+(1-θ)f(v)，则称f是凹函数；如果对任意u,v∈D(u≠v)及任何θ∈(0,1)，f(θu+(1-θ)v)>θf(u)+(1-θ)f(v)，则称f(x)是严格凹函数。如果对任意u,v∈D及θ∈[0,1]，有f[θu+(1-θ)v]≥min{f(u),f(v)}，则称f为拟凹函数；如果对任意u,v∈D(u≠v)及任何θ∈(0,1)，有f[θu+(1-θ)v]>min{f(u),f(v)}，则称f为严格拟凹函数。

定理2.1[12]对一个二次连续可微函数f，当且仅当f的Hesse矩阵D2f为半负定时，f是凹函数；当D2f负定时，f为严格凹函数。

定理2.2[12]设函数f(x1,x2,…,xn)在Rn的第一卦限上二次连续可微，记：

则f为严格拟凹的充分条件为：|B|的顺序主子式：

一般地，当k为奇数时|Bk|<0，当k为偶数时|Bk|>0，k=1,2,…,n。

证明：由f(x)的定义，有：

所以：

一般地，

因此，由定理2.2可知f(x)是严格拟凹函数。

其k阶顺序主子式：

Pk=

3 规模报酬递增DEA弱有效

前已述及，一种生产技术的生产函数在不同的规模报酬区域的凹性不同，因而在不同的规模报酬区域上DEA生产可能集满足的公理体系也应该不同。所以我们将整个DEA生产可能集依照规模报酬增减性划分为若干不相交的子集(仍旧称之为DEA生产可能集)，在不同的子集上引入不同的公理体系。特别地，在规模报酬递增区域，对应的DEA生产可能集的公理体系中应该不包含凸性公理。

在规模报酬递增区域，BCC模型可能将实际有效的决策单元判断为非有效，而FDH模型则可能将实际非有效的决策单元判断为有效。为减少以上两种误判情况的发生和减小误判的程度，我们在这一区域的生产可能集T上引入以下三个公理。

有限规模报酬递增公理：记T(X)为T的投入集，若(Xj,Yj)∈T,k>1,，kXj∈T(X)则(kXj,kYj)∈T。

显然，较之BCC模型对应的生产可能集[10]和FDH模型对应的生产可能集[6,15]，拟凹公理和有限规模报酬递增公理的引入使得TIRS可以更合理地描述规模报酬递增区域的生产状况。

下述线性规划模型实现了上述思路并给出了(Xj0,yj0)的规模报酬递增弱有效投影。

maxy

(11)

式中，M为充分大的正数。我们称(Xj0,ymax)为决策单元(Xj0,yj0)的规模递增弱有效投影。定义(Xj0,yj0)的产出效率为yj0与ymax的比值，当该比值为1时，称(Xj0,yj0)为规模报酬递增弱有效(简称IRS弱有效，下同)；否则称其为非规模报酬递增弱有效。在规模报酬递增区域，由所有IRS弱有效决策单元构成的曲面称为规模报酬递增生产前沿面(简称IRS生产前沿面，下同)。

本文第6节的拟凹生产函数估计实例中，有11个决策单元处于规模报酬递增区域。表1给出了由这些决策单元生成的投入区域上各决策单元的BCC弱有效值、FDH弱有效值、IRS弱有效值及相应的弱有效投影。表中数据说明在规模报酬递增区域，用IRS弱有效性描述决策单元的产出更合理一些。

4 生产函数规模报酬递增与非增区域的划分

4.1 技术有效点的规模增减性的判定

由于边际报酬递减规律的存在，在不同的投入水平上，产量的增加可能会多于、等于或者少于同样倍数的投入的增加。因此一种生产技术可能同时包括规模报酬递增，不变和递减区域。对于规模报酬的研究，传统方法是针对生产函数参数间的不同表达形式确定规模报酬[19-21]。1984年Banker[22]首先提出运用DEA模型评估决策单元的规模报酬状况，而后Fare 和 Grosskopf[23]在使用非参数费用法研究规模效益时，提出了FG模型。魏权龄等[10,24,25]以决策单元面向产出技术有效为前提，进行了关于规模报酬状况的进一步研究。下文中所有DEA概念均指面向产出的情形。

定理4.1[10]设(Xj,Yj)为BCC弱有效，则：(Xj,Yj)为规模报酬递增的充分必要条件是：(Xj,Yj)为ST模型下弱有效，但不为FG模型下弱有效；(Xj,Yj)为规模报酬不变的充分必要条件是：(Xj,Yj)为ST模型下弱有效，且为FG模型下弱有效；(Xj,Yj)为规模报酬递减的充分必要条件是：(Xj,Yj)为FG模型下弱有效，但不为ST模型下弱有效。

关于定理4.1我们给出两点补充说明：

(1)研究规模报酬时，参考的生产函数曲面实际为由面向产出的BCC模型确定的生产前沿面，而非经济学中一般意义下的生产函数曲面。以下文中涉及到的“规模报酬”概念除特别说明外，均依此理解；

表1 规模递增区域决策单元不同种类的弱有效值及相应投影

(2)“规模报酬不变”的实际含义是“规模报酬有效”，即(X,Y)称为规模不变，如果存在δ>0使得对一切k∈(1-δ,1+δ)都有f(kX)≤kf(X)。

4.2 生产函数规模报酬递增、不变与递减区域的划分

经济学中的规模报酬概念是对那些在生产函数曲面上生产状态的投入规模而言的[10]。由于DEA中的规模报酬概念是对生产前沿面上的生产状态而言，所以在DEA中讨论决策单元的规模报酬应以该决策单元技术有效为前提条件。但由于规模报酬状况的评估是关于投入规模的评估，我们也可以对非技术有效的决策单元的规模报酬状况进行评估，方法就是将一个决策单元的规模报酬状况定义为其BCC弱有效投影后的决策单元的规模报酬状况[10]。如此，对给定的一组决策单元(样本数据)，我们可以根据定理4.1判定每个决策单元的规模报酬情况(递增、递减或不变)。

记由决策单元(X1,Y1),(X2,Y2),…,(Xn,Yn)生成的BCC生产可能集为TBCC，对应的投入集为TBCC(X)。依据下述定理，我们可以将TBCC(X)划分为规模报酬递增、不变(有效)和递减区域。为表述方便，对任意X∈TBCC(X)，记(X,F(X))为TBCC的BCC生产前沿面上投入为X的点。

定理4.2 设(Xi,Yi),(Xj,Yj)∈TBCC，(Xi,Yi)，(Xj,Yj)为BCC弱有效且(Xi,Yi)规模报酬递增，(Xj,Yj)规模报酬递减，则一定存在α∈(0,1)，使得(αXi+(1-α)Xj,F(αXi+(1-α)Xj))规模报酬有效。

由于经济学上已经证明了规模报酬递减规律的存在，因此由定理4.2，生产函数的投入区域总可划分为规模报酬递增、不变(有效)与递减区域。

根据生产函数曲面与BCC生产前沿面的关系，我们可以认为决策单元在经济学意义下的规模报酬增减性和基于BCC生产前沿面的规模报酬增减性是相同的。

5 生产函数曲面的分区域估计

根据经济学理论，边际产出具有先升后降的规律，即边际报酬递减规律。所以，生产函数规模报酬就呈现“递增-不变-递减”规律。一般而言，在规模报酬递增区域，生产函数仅呈现拟凹性；在规模报酬递减区域，生产函数呈现凹性。特别地，对C-D生产函数，上述结论恒成立。

图1 生产函数曲面，BCC生产前沿面，IRS生产前沿面之间的位置关系

基于生产函数曲面，BCC生产前沿面和IRS生产前沿面之间的关系，我们给出如下的生产函数曲面分区域估计方法。

在对所有决策单元(样本数据)依据规模报酬增减性(由定理4.1确定)分类后，对处于规模报酬递增阶段的决策单元，我们首先求出其IRS弱有效投影(本身已经是IRS弱有效的决策单元的投影为其自身)，以确保产出尽可能的接近生产函数要求的最大产量，然后再通过这些投影拟合生产函数曲面。

(13)

对模型参数进行估计的传统方法是统计回归[7,8,26,27]。但生产函数曲面与IRS生产前沿面的位置关系(参考图1)会导致回归结果的系统性误差。所以，我们用下述线性规划模型对生产函数参数进行估计。

(14)

同理，对于处于规模报酬非增阶段的所有决策单元，我们可以将其BCC弱有效投影数据运用于模型(14)对生产函数的参数进行估计。

6 实例验证

为说明本文所述方法的有效性，我们通过一个实例加以验证。实例数据取自沪深两市 “新材料概念”板块49家上市公司2012年年报(“新材料概念”板块共包含55家上市公司，为消除业绩变动的偶然因素，本文去除了营业收入变动超过30%的6家公司)。每个决策单元有两个投入项和一个产出项，分别为K(总资产)、L(职工人数)、Y(营业收入)。对实例中的决策单元，先根据定理4.1确定各决策单元的规模报酬增减性并进行分类，再对规模报酬递增的决策单元求出IRS弱有效投影，对规模报酬非增的决策单元求出BCC弱有效投影(见表2)。然后对不同类型决策单元分别运用对应的投影数据和模型(14)进行生产函数参数的估计。

图2给出了决策单元(样本数据)在投入空间的分布状况(横轴为资金投入，纵轴为人员投入,“*”表示规模报酬递减决策单元，“○”表示规模报酬不变决策单元，“×”表示规模报酬递增决策单元)，可以印证定理4.2的结论。事实上，可以根据定理4.2的证明思路，找出更多规模报酬不变的决策单元，使得规模报酬增减区域的划分更加精细，例如利用规模报酬递减决策单元DMU5的BCC投影(17.28, 1.61, 38.52)和DMU6的BCC投影(46.89, 4.279, 62.82)可以找出规模报酬不变决策单元(22.3, 2.82，49.51)。

表2 决策单元的DEA投影值及生产函数曲面拟合值

数据来源：金融界，www.jrj.com.cn

图2 样本数据在投入空间的分布

应用线性规划模型(14)及表3的数据进行生产函数方程拟合得出的生产函数表达式为：

(15)

图3为根据规模报酬递增区域的样本数据拟合得到的生产函数曲面，图4为根据规模报酬递减区域的样本数据拟合得到的生产函数曲面。

从表2中各决策单元弱有效投影(BCC或IRS)与拟合生产函数曲面上相同投入点产出的相对误差可以看出，在规模报酬递减和规模不变区域拟合效果是比较好的；在规模报酬递增区域，拟合效果不大理想，这可能由以下几个方面原因所致：(1)样本数据较少，产出规律反映的不充分；(2)规模报酬递增弱有效对实际生产状况中决策单元产出有效性的解释还不充分；(3)C-D生产函数不适合描述样本对应的实际生产状况。

图3 规模报酬递增区域生产函数曲面

图4 规模报酬递减区域生产函数曲面

7 结语

本文提出了规模报酬递增生产前沿面的概念并证明了如下两个结论：(1)基于样本数据的DEA生产投入集可划分为规模报酬递增、不变和递减区域；(2)C-D生产函数是拟凹函数，且在规模报酬递增区域非凹，在规模递减区域严格凹。在分析生产函数曲面，BCC生产前沿面和规模报酬递增生产前沿面的相互关系的基础上，提出了一种生产函数分区域估计方法：针对生产函数存在规模报酬变动及样本数据普遍未能实现最大产出的现象，分别在规模报酬递增和递减阶段利用新建立的规模报酬递增弱有效投影模型和BCC弱有效投影模型对样本决策单元进行弱有效性投影，再通过这些投影对生产函数进行估计。这种估计方法主要有三个特点：(1)考虑了生产函数的规模报酬变动；(2)在规模报酬递增区域，根据生产函数曲面呈现拟凹性的特点，提出了规模报酬递增生产前沿面的概念并通过规模报酬递增前沿面从下方逼近生产函数曲面；(3)基于生产函数曲面与DEA生产前沿面的位置关系，在进行生产函数参数估计时假设生产函数曲面相对于DEA生产前沿面只存在正误差。此外，本文提出的规模报酬递增弱有效概念及相应判别及投影模型提供了成长期产业中决策单元相对有效性评价的一种新途径。

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《第十七届中国管理科学学术年会》征文通知

会议主题：“管理创新推动企业转型升级”

主办单位：中国优选法统筹法与经济数学研究会 内蒙古工业大学

中国科学院科技政策与管理科学研究所《中国管理科学》编辑部

支持单位：内蒙古社会科学界联合会

承办单位：内蒙古工业大学管理学院

协办单位：内蒙古管理学会 内蒙古管理现代化研究中心

会议时间：2015年7月31日—8月3日

会议地点：内蒙古·呼和浩特市

征文范围：

优选法与优化管理 统筹法与项目管理 经济数学与低碳经济

金融工程与风险管理工业工程与运作管理信息系统与商务智能

物流与供应链管理营销工程与服务科学战略管理与认知决策

数据挖掘与知识管理人力资源与组织绩效管理创业与小微企业管理

安全与应急管理资源型产业发展模式能源与环境管理

公共管理与复杂系统管理战略型新兴产业与产业金融企业管理创新理论与实践

截稿日期：2015年5月31日

录用通知：2015年6月30日

征稿要求：

▲ 未在其它学术会议、论文集和刊物上公开发表过。

▲ 文章具体格式可参照《中国管理科学》近期期刊。

▲ 来稿篇幅要求5-8页(5页以内版面费600元，超过5页每增加一页加收版面费150元)。

▲ 来稿注明：征文类别(从征文范围中选择一个接近的类别填写)、作者简介、单位、通讯地址、邮编、联系电话、E-mail地址，并在邮件标题上注明“征文”字样。

论文出版：

▲ 出版《中国管理科学》专辑(已被CNKI数字图书馆全文收录(www.cnki.net))，以国家正式出版物的方式出版发行，专辑中将收录通过评审录用的论文。并在会前将所有录用论文的长摘要编辑成册《第十七届中国管理科学学术年会论文摘要》。

▲ 大会设《优秀论文报告奖》：会议论文通过评审录用可参加本届年会专题会议的交流评议，获《优秀论文报告奖》的论文将颁发获奖证书并安排在《中国管理科学》正刊发表，直接列入2016年刊登计划。

▲ 会议具体情况请登陆中国优选法统筹法与经济数学研究会网站:www.scope.org.cn;中国管理科学网站:www.zgglkx.com及中国学术会议网站：www.zgglkxnh.conf.cnki.net 。

大会秘书处：

联系人：傅继良、张玲

E-mail：shuangfa@casipm.ac.cn 联系电话：010-62542629

变更：“第十七届中国管理科学学术年会”会议时间变更为2015年7月31日-8月3日。

Estimation of Quasi-concave Production Function Based on the Division of Input Possibility Set

DONG Jin-quan1, QIU Cheng-cheng1, MA Zhan-xin2,LIU Jun-hua1,ZHENG Zhi-hua1

(1.School of Management, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot 010051，China；2. School of Management, Inner Mongolia University, Hohhot 010021，China)

It is proved that,firstly, the input possibility set spanned by samples (DMUs in terms of DEA) can be divided into areas of increasing return to scale (IRS), constant return to scale (CRS) and decreasing return to scale (DRS); secondly, C-D production function is quasi-concave, and non-concave on the area of IRS. The concept of IRS frontier of a production possibility set is proposed. Based on the division of input possibility set and the position of the production function surface, BCC frontier and the IRS frontier, a method to estimate production function is proposed. According to the method, production function is divided into a non-concave segments on area of IRS and a concave segment on area of non-IRS, and the estimation is processed in following steps. First, dividing the input possibility set into IRS area and non-IRS area; second, forming IRS frontier on IRS area and BCC frontier on non-IRS area, respectively; third, estimating parameters of each segment with corresponding frontier by a linear programming model, respectively. The validity of the estimation method is verified through an instance.

data envelopment analysis (DEA); production function; return to scale; weak efficiency; production frontier

2013-03-23；

2013-07-27

国家自然科学基金资助项目(71261017, 70961005,71262020)

董进全(1963-)，男(汉族)，内蒙古人，内蒙古工业大学管理学院，教授，博士，研究方向：最优化及其应用.

1003-207(2015)03-0032-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.03.004

F224.31

A