非线性多时滞脉冲差分方程的振动性

葛礼霞，季丹丹，刘海明

(牡丹江师范学院 理学院, 黑龙江 牡丹江 157012)

非线性多时滞脉冲差分方程的振动性

葛礼霞，季丹丹，刘海明

(牡丹江师范学院 理学院, 黑龙江 牡丹江 157012)

对一类具有脉冲的多时滞差分方程进行了研究.通过构造辅助函数，借助于反证法、单调有界原理、求和及确界运算等得到了方程振动的两个充分条件，将已有的某些结果在脉冲和多时滞等条件下进行了推广和改进，使其应用更加广泛.

脉冲；差分方程；时滞；振动性

由于差分方程所表示的离散系统在现实世界中是大量存在的，且通常的离散系统与相应的连续系统具有不同的性质，因而许多学者对差分方程的定性理论进行了研究[1-3]，文[4-5]研究了一类变系数差分方程

所有解的振动性.文[6-11]研究了带有脉冲的微分及差分方程的振动性，而这一类方程在许多实际问题中是普遍存在的.例如，在经济系统中就会经常遇到带有脉冲系统的差分方程模型.因此，研究脉冲对系统的影响是很非常有必要的.

考虑具有脉冲的非线性变系数多时滞差分方程

(1)

定义2 方程(1)的解称为非振动的，如果这个解最终为正或者最终为负，否则称该解为振动的.如果(1)的所有解为振动的，则称方程(1)振动.

(2)

1 几个引理

引理1[4]若存在自然数K,当k>K时，有bk>-1成立，则方程(1)的所有解振动，当且仅当方程(2)的所有解振动.

2 主要结果

(3)

(4)

则方程(1)的所有解振动.

证明 由引理1可知，只需证方程(2)的所有解振动即可.

fi(y(n-ki))≥y(n-ki)>0

(5)

由式(2)，当n≥n1时

从而可知，y(n)是单调非增的，特别有y(n-ki)≥y(n-k*)≥y(n)>0,i=1,2,…,m.

由式(2)，(5)和上式得

(6)

(7)

对式(7)的j从n-k*乘到n-1求积得

n≥n1+2k*.

n≥n1+2k*.

即

n≥n1+2k*

(8)

由式(3)和上式可得

这与定理中的条件(Ⅱ)矛盾，故方程(1)无最终正解.同理可证得方程(1)无最终负解，综上可知，方程(1)的所有解振动，证毕.

(9)

成立，则方程(1)的所有解振动.

证明 由引理1可知，只需证方程(2)的所有解振动即可.

用反证法，不失一般性，不妨设yn是方程(2)的一个最终正解，则存在正整数n1≥N0，使得当n≥n1时，有y(n)>0,y(n-ki)>0，从而有

fi(y(n-ki))≥y(n-ki)>0.

(10)

(11)

由引理2可知

由式(11)和上式可得

由引理3可知

这与已知条件式(9)矛盾，同理可证方程(1)也无最终负解，综上可知，方程(1)的所有解振动，证毕.

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[10]葛礼霞,刘海明,姬春秋.一类具有正负系数的脉冲时滞差分方程的振动性[J].数学的实践与认识,2011,41(22):242-246.

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(编辑：姚佳良)

Oscillation of nonlinear several delays difference equations with impulses

GE Li-xia, JI Dan-dan, LIU Hai-ming

(College of Sciences， Mudanjiang University, Mudanjiang 157012,China)

We studied the impulsive multi-delay difference equation by constructing auxiliary function, and with the help of the absurdity，monotone of function，sum，supremum and infimum.Two sufficient conditions were obtained for ocillation of all solutions，and some results under the condition of impulse and multify delays in the literatures were improved and promoted.The results can be more widely available.

impulse;difference equation;delay;oscillation

2015-02-08

黑龙江省教育厅科技项目(12541837)； 牡丹江师范学院省级重点预研项目(SY201323)

葛礼霞，女，gelixia99@sina.com

1672-6197(2015)06-0036-03

O175.7

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