基本解法求解反问题的正则化方法

杨 振，张耀明, 周爱华，潘月君

(山东理工大学 理学院，山东 淄博 255049)

基本解法求解反问题的正则化方法

杨 振，张耀明, 周爱华，潘月君

(山东理工大学 理学院，山东 淄博 255049)

针对基本解法在求解反问题时的病态特性，将截断奇异值分解(TSVD)、Tikhonov正则化方法应用于所得病态系统方程的求解，采用L曲线法和GCV方法确定其正则参数，并比较了4种组合方法求解的精确性和稳定性.数值算例表明，TSVD方法、Tikhonov正则化方法结合L曲线法和GCV法可有效地处理反问题中的病态特性.

基本解法；反问题；截断奇异值法；Tikhonov法；L曲线；GCV

数学物理反问题的研究兴起于20世纪50年代前后，其研究的主要对象是与勘测、识别和设计等有关的应用问题.在实际工程应用中，有时由于条件所限，仅仅可以获得部分边界上的边界条件，其余边界的边界条件均不可测量.从数学的角度来看，这属于反问题的一种.这类问题由于具有不适定及病态特性，故其数值分析具有相当大的挑战性[1-3].边界元法(BEM)可有效地求解此类问题，但涉及奇异和几乎奇异积分的处理[4-6]，计算过程相当地繁琐和耗时.基本解法(MFS)无需对区域及其边界进行网格划分，因此无需计算单元积分，具有计算精度高、收敛速度快、程序实现简单等优良特性，如今已被广泛应用于各种问题的求解，但都不可避免地涉及到病态线性方程组的处理[6-11].

为了克服基本解法在求解反问题线性系统时的病态性，许多学者提出和发展了各种方法，其中最具影响的是正则化方法.Chen C S[8]分别用TSVD方法和高斯消去法来求解基本解法中的病态系统，认为TSVD法比高斯消去法优越.此后， Feng G R等[9]进一步考虑了一般的边界条件和边界几何形状的问题，得出TSVD法在处理病态问题时具有计算稳定、精度高的特点.而其他的正则化方法如Tikhonov正则化方法、Landweber迭代法和共轭梯度法等[1-2,11]也有一些应用.考虑到目前仍没有一种适合所有病态问题解算的最优正则化方法，因此对不同的正则化方法进行比较研究是一项具有重要意义的工作.

当我们选用一种直接正则化方法后，正则化参数的确定非常重要，它是改善病态问题解的精确性的关键.目前，正则化参数的选取准则有L曲线法、广义交叉检验(GCV)准则等[1-2,11].本文以二维位势反问题为例，将TSVD、Tikhonov两种直接正则化方法与L曲线和GCV两种正则参数选取方法组合而成的4种不同方法，应用于基本解法求解未知边界条件信息.通过数值算例，分析比较不同组合方法的计算效率和精度，以期为实际应用提供合理的选择依据.

1 二维位势反问题的基本解法

本文假定Ω是R2中的一个有界区域，Γ=∂Ω是其边界.n=(n1,n2)是区域Ω的边界Γ在x点处的单位外法向量.

1.1 二维位势边界条件识别反问题

二维位势问题的控制微分方程为

边界条件为

式中：u为势函数；n为边界外法向量；Γu, Γq分别是已知u和∂u/∂n的边界.

二维位势问题控制方程的基本解为

1.2 二维位势反问题的基本解法

基本解法(MFS)是一种无网格法.MFS的基本思想是在边界之外一定距离处放置一定数量的虚拟源点，并设想在每个源点处存在一个虚拟的密度函数值，其在研究区域上某点产生的影响能够表示成密度函数与原问题基本解的线性组合.由于源点分布在物理边界之外的虚拟边界上，从而避免了基本解的源点奇异性.目前该方法已被应用于各种领域，并取得了很好的效果.

假设在虚拟边界Γ′上分布n个源点yj,j=1,2,…,n，若在边界Γ1上选取m个配置点xi,i=(1,2,…,m).则边界配置点处的位势和法向梯度可表示为：

(1)

(2)

这里Φ=(Φ1,Φ2,…,Φn)表示源点的密度函数值向量，u*(xi,yj)为问题的基本解.

根据式(1)、式(2)以及已知的边界条件可得如下一个线性方程组

(3)

由方程(3)可以计算出Φ=(Φ1,Φ2,…,Φn)，则由此可通过以下方程计算出未知边界上的位势和通量.

(4)

(5)

一般地，在求解边界条件识别反问题时，方程组(3)往往是不适定的或者高度病态的，常规方法如高斯消去法很难求得准确解.因此在求解方程时，我们采用正则化方法求解线性方程组(3).

1.3 正则化方法

1.3.1 截断奇异值分解(TSVD)

假设所要求解的方程为

Ax=b

(6)

其中A∈RM×N(M>N),x∈RN,b∈RM，则矩阵A的奇异值分解形式为

(7)

这个解法用K阶矩阵Ak逼近N阶矩阵A.下面给出它的形式

(8)

其中K是TSVD方法的截断项数，Σk=diag(σ1,σ2,…,σK,0,…,0)，通过这种方式，方程(6)中的矩阵A被AK代替，得到下列方程：

AKx=b

(9)

方程(9)的TSVD解可表示为xK，且

(10)

这里的滤波因子为

1.3.2Tikhonov正则化方法(TR)

Tikhonov正则化方法是一种非常有效而且普遍使用的求解病态问题的方法，其求解过程是找到一组适定问题的解，使得这组解与原不适定问题比较接近，然后用这组适定问题的解去逼近原不适定问题的解.Tikhonov正则化方法是把正则化泛函

Jα(x)=‖Ax-b‖2+α2‖x‖2,α>0

(11)

的极小元xα作为方程(6)的正则化解.表示成如下形式：

(12)

1.4 正则化参数的确定

1.4.1L曲线准则

L曲线准则的主要思想是通过log-log尺度以反映‖x‖2与‖Ax-b‖2的曲线对比，然后根据对比得出的结果决定正则化参数.因为曲线形状和“L”的形状通常比较接近， 所以它被称为L曲线准则.

在使用L曲线准则确定正则化参数时，若运用Tikhonov正则化方法，则L曲线是由α>0的所有点(‖Axα-b‖,‖xα‖)构成的光滑曲线

(13)

若运用TSVD法，则L曲线是由一系列点(‖AxK-b‖,‖xK‖)组成的插值样条曲线.

(14)

对于确定的α>0(或者K=1,2,…,N)，我们解方程(10)(或者(12))就会得到解xα(或者xK)，以余量模‖Axα-b‖(或者‖AxK-b‖)为横坐标，解的模‖xα‖(或者‖xK‖)为纵坐标，可画出L曲线.找出拐点处的α或者K，即为要找的参数值.

1.4.2 广义交叉检验(GCV)准则

GCV准则是用正则化参数α(或者K)作为参变量，来求解GCV函数的最小值，只要得到GCV函数的极小值，那么对应α(或者K)就是我们要确定的最优正则化参数.其计算公式为

(15)

或者

(16)

2 数值算例

考虑两个二维位势反问题的数值算例，采用4种不同的正则化组合方法对算例进行求解.为了对比不同方法数值解的准确性，定义如下平均相对误差

(17)

例1 如图1所示方形闭域热流问题，边长为2.精确解为u=y2-x2，边界条件为：边AB、BC上的温度和热流已知，边CD、DA上所有边界条件未知.

如图1所示，在距离真实边界距离为d的地方取一虚拟边界Γ′，使其与热流区域边界相似.在虚拟边界四边各分布10个源点，共40个源点，如图2所示.为了考察正则化方法对于位势反问题求解的有效性，我们分别用4种组合方法对本例进行求解.我们取源点分布在虚拟边界Γ′上，选取不同的虚实边界距离d分别为5和10.图3～图 6给出了d取不同值时，未知边界上各点温度和热流的相对误差，可以看出，本文给出的4种组合方法在未知边界各点求得的数值解都获得了较高精度.

图1 方形闭域热流 图2 节点编号

图3 未知边界的温度误差(d=5)

图4 未知边界的热流误差(d=5)

图5 未知边界的温度误差(d=10)

图6 未知边界的热流误差(d=10)

例2 如图7所示圆形闭域热流问题，半径为1.精确解为u=x2-y2，我们考虑的边界条件为：1/4边界上的温度和热流已知，另外3/4边界上的边界条件未知.此时我们所得方程是不适定的，因此常规方法很难求解.

如图7所示，在距离真实边界距离为d的地方取一虚拟边界Γ′，使其与热流区域边界相似.并在虚拟边界上均匀地布置100个源点.同样我们分别用4种组合方法对本例进行求解.选取不同的虚实边界距离d分别为5和10.表1、表2给出了d取不同值时，未知边界上温度和热流的平均相对误差.表1和表2更准确地反映出本文给出的4种组合方法计算结果差异，也不难看出，MFS结合4种组合方法都能够有效地求解不同边界几何形状的位势边界条件反问题.

图7 圆形闭域热流

表1 四种方法参数选取及平均相对误差比较结果(d=5)

正则化方法参数(α/K)平均相对误差/%温度热流TSVD-LC173．400991×10-61．709062×10-6TSVD-GCV122．492231×10-53．790088×10-5TR-LC2．44×10-113．268636×10-61．602206×10-6TR-GCV2．01×10-68．815173×10-51．121432×10-4

表2 四种方法参数选取及平均相对误差比较结果(d=10)

正则化方法参数(α/K)平均相对误差/%温度热流TSVD-LC131．946931×10-79．724293×10-8TSVD-GCV122．417499×10-73．138218×10-7TR-LC3．37×10-111．577152×10-76．523213×10-8TR-GCV3．91×10-111．866861×10-79．110862×10-8

3 结束语

本文针对基本解法求解反问题时的病态特性，应用TSVD方法和Tikhonov正则化方法处理所得病态系统方程，L曲线法和GCV法确定其正则化参数，并比较了不同正则化方法的计算精度.数值算例表明，针对不同边界条件以及边界几何形状，MFS结合TSVD方法和Tikhonov正则化方法都能够有效求解二维位势反问题，即使已知边界信息非常有限，依然能够获得稳定、高精度的数值解.

[1]肖庭延. 反问题的数值解法[M]. 北京：科学出版社, 2003.

[2]刘继军. 不适定问题的正则化方法及应用[M]. 北京：科学出版社, 2005.

[3]HansenPC.Rank-deficientanddiscreteill-poseedproblems:numericalaspectsoflinearinversion[M].Philadelphia:SIAM,1998.

[4]张耀明,谷岩,陈正宗. 位势边界元法中的边界层效应与薄体结构[J]. 力学学报，2010，42(2):219-227.

[5]ZhangYM,SunCL.Ageneralalgorithmforthenumericalevaluationofnearlysingularboundaryintegralsintheequivalentnon-singularBIEswithindirectunknowns[J].JournaloftheChineseInstituteofEngineers, 2008, 31(3):437-447.

[6]孙焕纯. 无奇异边界元法[M]. 大连：大连理工大学出版社, 1999.

[7]KupradzeVD，AleksidzeMA.Themethodoffunctionalequationsfortheapproximatesolutionofcertainboundaryvalueproblems[J].USSRComput.MathPhy，1964,4:82-126.

[8]ChenCS,HokwonA.Somecommentsontheill-conditioningofthemethodoffundamentalsolutions[J].EngineeringAnalysiswithBoundaryElements,2006,30:405-410

[9]FengGR,LiM,ChenCS.Ontheill-conditioningoftheMFSforirregularboundarydatawithsufficientregularity[J].EngineeringAnalysiswithBoundaryElements,2014,41:98-102.

[10]TikhonovAN,ArseninVY.SolutionsofILL-posedproblem[M].NewYork:JohnWileyandSons，1977.

[11]WeiT,HonYC,LingLV.MethodoffundamentalsolutionswithregularizationtechniquesforCauchyproblemsofellipticoperators[J].EngineeringAnalysiswithBoundaryElements,2007,31:373-385.

(编辑：郝秀清)

The regularization method of the MFS for the inverse problem

YANG Zhen, ZHANG Yao-ming， ZHOU Ai-hua， PAN Yue-jun

(School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

In order to resolve ill-conditioned problems existing in the regularization MFS for the 2D boundary conditions identification potential problems, suitable regularization methods are needed. The truncated singular value decomposition(TSVD)method and Tikhonov regularization method are used to solve linear systems with a large number of conditions respectively. The L-curve and generalized cross validation (GCV) methods are employed to determine the optimal regularization parameters. Furthermore, the accuracy and robustness of regularization solution for four combined methods are investigated． Numerical results show that TSVD method and Tikhonov method can effectively solve the ill posed system caused by inverse problems. Through applying to L-curve method and GCV method, continuous regularization parameter for Tikhonov method can be confirmed reasonably.

MFS; inverse problems; truncated singular value decomposition; Tikhonov method;L-curve; GCV

2015-01-11

山东省自然科学基金重点项目(ZR2010AZ003)

杨振, 男, librayz@126.com; 通信作者：张耀明，男，zymfc@163.com

1672-6197(2015)06-0020-05

O342

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