基于GM（1，1）和灰色马尔可夫模型的器材消耗预测＊

周 浩 黄善忠

（海军工程大学兵器工程系 武汉 430033）

0 引 言

装备维修保障是保持与恢复装备和遂行持续运行的有力保证，是影响工业、军事航空、交通等领域发展的一个关键因素，与工业生产率、产品质量、工业设备的可靠性水平、资源消耗、可持续发展等问题息息相关，因此重要装备维修器材配置策略的重要性就显得尤为突出，为了制定科学合理的维修器材配置策略，本文利用GM（1，1）模型和马尔可夫过程的综合模型对器材消耗量进行预测.

1 GM（1，1）预测模型

中国学者邓聚龙教授在1982年创立了灰色理论，而GM（1，1）又是灰色理论体系中最先发展的理论之一，能在“小样本”和“贫信息”条件下对数据进行有效预测［1］，建模过程如下

1）设x（i）（0）为原始序列，进行累加得x（1）（t）.（i） （t＝1，2，…，n）

2）建立GM（1，1）模型的微分方程：

式中：a 为 发 展 系 数；b 为 灰 作 用 量；z（1）（t）为x（1）（t）的紧邻均值生成序列［2］.

3）利用最小二乘法对a和b估计［3］得到：

2 基于GM（1，1）模型的器材消耗预测

表1是近年来某器材消耗数据的统计信息，下面利用灰色理论模型对消耗量进行预测.

表1 某器材消耗情况表

1）取前5组数据作为样本，对最后2组（即第15，16a）消耗数据进行预测，建立 GM（1，1）模型，通过 matlab编程［4］得到a＝－0.095 8，b＝18.486，得到时间响应函数＝213e0.0958t－193.从而得到原始数据的测算值为（t）＝（22，24，26，28，32，34，38，42，45，47，49，52，55，57，59）

2）取前13组数据作为样本，对最后2组消耗数据进行预测，基于同样的方法，得到时间函数：＾x（1）＝1528e0.0173t－1 508.从而得到原始数据的测算值为（t）＝ （27，27，27，28，29，29，30，30，30，31，32，32，33，34，34）

将上述计算结果绘制成图1.由图1可知，当样本数据呈规律性变化时（如前9组），2种数据样本的测算结果相差不大（都不是很精确），而后几组样本数据无规律变化造成13组样本数据的测算结果比5组样本数据的测算结果略好，但显然上述测算精度都无法满足现实需求，说明GM（1，1）模型对于具有指数变化规律的数据有较好的拟合效果，但对于随机变化的数据就无法获得满意的预测效果.因此需要对GM（1，1）模型进行改造，从而得到更具有普适性的数据预测方法.

图1 不同样本数据条件下GM（1，1）测算结果

3 灰色马尔可夫预测模型

灰色马尔可夫模型的基本思路是首先建立GM（1，1）模型，得到预测序列，然后用预测序列和实际序列的相对差序列，来进行状态空间的划分［5］，通过原始数据序列落入各状态的点计算出转移概率矩阵，根据状态转移概率矩阵对未来的变化趋势做出估计［6－7］.

1）状态划分 根据GM（1，1）模型求出预测序列，以预测曲线为基准，划分成与预测曲线平行的若干条形区域，每一个区域构成一个状态，这样就将一个随机序列划分成n个状态.任一状态⊗i（k）＋ Bi. 条 形 区 域 的 上 限 Ai为max ［x（0）（k）－＾x（0）（k）］，条 形 区 域 下 限Bi为max［x（0）（k）－＾x（0）（k）］.

式中：Mi为系统处于状态 ⊗i的原始数据样本数；Mij（k）为状态⊗i经k步转移到⊗j状态的原始数据样本数.

4 基于灰色马尔可夫模型的器材消耗预测

1）利用表1数据，建立GM（1，1）模型 取前14组数据，建立GM（1，1）模型，通过matlab编程解算得到a＝－0.017 3，b＝26.095 7，代入时间函数得到＝1 528e0.0173t－1 508

从而得到原始数列 的模拟 值为：＾x（0）（t）＝（27，27，27，28，29，29，30，30，30，31，32，32，33，34，34）

2）建立灰色马尔可夫模型

（1）状态划分 利用GM（1，1）模型得到的模拟值.用实际值除以模拟值，即可得到比值见表2.

表2 实际值与模拟值的比值表

依据表2中模拟值与实际值的差值关系，按表3将系统划分为3个状态，其各年份的状态也随之确定，见表4.实际的状态区间划分情况见图2.

表3 状态划分表

表4 各年份状态表

图2 状态区间划分

（2）构造转移概率矩阵

根据与预测年份（第15a）相接近的3a编制状态转移表见表5.

表5 状态转移表

从表5中的合计栏可以看出，状态3的概率最大，所以第15年的器材的消耗量最有可能是状态3，由GM（1，1）模型得到的第15年预测值为34，则得：＾y（t）＝×（1.09＋1.2）＋34＝35.15

因此，应用灰色马尔可夫模型获得的第15年器材的消耗量预测为35.15.而其他年份的预测值也可通过此法来测算.

将上述2种模型分别获得的测算结果绘制成图3，不难发现，当样本数据呈规律性变化时，2种模型的预测效果比较接近，当样本数据随机变化时，灰色马尔可夫模型的预测效果明显优于GM（1，1）模型的预测.

图3 2种模型测算结果对比

5 结束语

文中针对“小样本”“贫信息”条件下的预测展开分析，提出利用GM（1，1）模型对实际装备维修器材进行预测，通过对比分析不同数据信息条件下预测结果的准确性，发现当样本数据随机变化时，增加先验数据信息量对提高预测精度有一定效果，但其测算精度不高是该GM（1，1）模型预测所无法避免的.在上述情况下提出利用灰色马尔可夫综合模型对维修器材进行预测.仿真测算结果表明灰色马尔可夫综合模型能解决“小样本”，“贫信息”的数据预测难点，它不仅能对规律变化的数据进行有效预测，也能对随机变化数据进行合理科学推断，可以这样总结：灰色马尔可夫模型对于随机序列预测的科学性和可靠性明显优于GM（1，1）模型.

［1］伍雄斌.基于GM－BP神经网络的交通量预测［J］.武汉理工大学学报，2014，38（3）：616－617.

［2］陈 博.灰色线性回归组合模型算法研究［J］.自然科学报，2012，15（1）：83－84.

［3］任家君.可修复系统预防性维修策略的仿真与优化研究［D］.长春：吉林大学，2009.

［4］蒲 俊.MATLAB6.0数学手册［M］.上海：浦东电子出版社，2002.

［5］谢乃明.离散GM（1，1）模型与灰色预测模型建模机理［J］.系统工程理论与实践，2005，25（1）：96－97.

［6］潘宏侠.基于灰色线性回归组合模型的故障率预测［J］.振动、测试与诊断，2014，34（4）：665－666.

［7］ZOU R B，MOU Z X，YI W.The non－equidistant grey GRM（1，1）model and its application［J］.International Journal of Modern Nonliner Theory and Application，2012，1（2）：51－54.