函数、导数

吴文尧

函数是整个高中数学教学内容的核心，也是贯穿中学数学教学的主线，而导数是研究函数性质最有利的武器，所以函数、导数是历年各地高考数学试卷中的最大热点. 在选择题、填空题、解答题三种题型中一般都有考查函数的试题，且理科试卷中的压轴题通常是有关函数与导数的综合问题. 因此，函数与导数是高中数学中最具有挑战性的教学内容.做好函数、导数的复习工作，提高函数与导数应用方面的应试能力是高考数学取得高分的必要条件.

函数的概念及性质

函数的概念及性质一直都是各地高考数学中的必考内容，尤其是函数的定义、值域的求法、函数的单调性、函数的奇偶性等更是考试的热点. 对函数的概念、性质的直接考查一般有一至两个小题，以容易题和中档题为主；间接考查则屡见不鲜，有时也有一定的难度.

在函数复习中，要“围绕一个中心，抓住两个基本点”，即紧紧围绕函数思想这个中心，学会运用函数的观点去分析问题和解决问题；抓住基本函数的图象与性质、与函数相关的基本题型这两个基本点.如何抓住这两个基本点呢？事实上，研究函数的程序可总结如下：

给出定义？圯求其定义域？圯求其值域？圯画出图象？圯研究性质（单调性、奇偶性、周期性等）？圯综合应用.

函数中的基本题型都可以看成是生长在这个程序上的. 总结函数中的基本题型主要有以下几类：①如何求函数的解析式；②如何求函数的定义域；③如何求函数的值域及最值，有哪些方法；④如何作出函数的图象，有哪些解题对策；⑤函数的单调性是如何定义的，如何证明函数的单调性，如何说明函数的单调性，函数的单调性有何重要的应用；⑥奇函数、偶函数是如何定义的，如何判断函数的奇偶性，奇函数、偶函数有何重要性质，为何要研究函数的奇偶性；⑦什么样的函数叫周期函数，周期函数有何重要性质，为何要研究函数的周期性.

（1）忽视相关函数的定义域是最容易犯的错误，因此，在解决有关函数问题时可优先考虑相关函数的定义域，这样可以有效地避免这方面的错误.

（2）当利用函数的思想解题时，最后往往可化归为求某一目标函数的值域（或最值）问题. 要解决这个问题，首先，要努力掌握求函数值域的一些重要方法，如利用基本函数的值域、函数的单调性（可借助导数）求解，利用二次函数的最值求解，利用基本不等式求解，利用其反函数的定义域求解，利用判别式法求解等；其次，在具体操作中能根据试题的特点合理地选择与之相匹配的解题对策.

（3）关于函数的奇偶性的判断问题，要注意判断的程序. 首先，检查其定义域是否关于原点对称；其次，利用奇、偶函数的性质判断其奇偶性. 由于奇、偶函数的图象具有对称性，所以研究函数的奇偶性通常能对一些函数问题的解决起到事半功倍的效果，因此，同学们在平时的解题练习中要提高“自觉”地利用函数的奇偶性的意识.

（4）函数的单调性是函数性质的重中之重，要努力做到会判定、会证明、会应用.

例1 设函数g（x）=x2-2（x∈R），若 f（x）=g（x）+x+4，x

A. -，0∪（1，+∞）

B. [0，+∞）

C. -，+∞

D. -，0∪（2，+∞）

破解思路 由于本题是一个有关分段函数的问题，而解决分段函数问题的对策通常是“以其人之道还其人之身”，即分段函数问题可用分段解决的方法应对之. 注意到分段函数的解析式没有给出，故先求出其解析式，然后再各个击破.

答案详解 法1：由题意，将g（x）的解析式代入得f（x）=x2+x+2，x

所以当x∈（-∞，-1）∪（2，+∞）时， f（x）的值域为（2，+∞）；当x∈[-1，2]时， f（x）的值域为-，0，故选D.

法2：注意到x≥g（x）时， f（x）=g（x）-x≤0，所以可否定B；注意到？坌x∈R有x2+x+2≥恒成立，所以可否定A和C. 故选D.

例2 定义在[-2，2]上的奇函数f（x），当x∈（0，2]时， f（x）=-x+1，则不等式f（x）-f（-x）≥2x的解集为_________.

破解思路 本题首先要解决的问题是利用所给函数的性质求出函数的解析式，并把目标不等式化简，把原问题化归为解基本不等式（组）的问题. 注意到本题是一道填空题，若利用数形结合的方法解决之，则可简化运算.

答案详解 法1：由题意知， f（x）=-x-1，-2≤x<0，0，x=0，-x+1，0

所以f（x）-f（-x）≥2x？圳f（x）≥x？圳-2≤x<0，-x-1≥x或x=0或0

法2：如图1，作出函数y=f（x）的图象，其中A-，-，B，，原不等式等价于f（x）≥x. 由图象可知，原不等式的解集为-2，-∪，2.

例3 对于区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={yy=g（x），x∈I}，定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f -1（x），且f -1（[0，1））=[1，2）， f -1（（2，4]）=[0，1）. 若方程f（x）-x=0有解x0，则x0=________.

破解思路 从题目的条件看：本题给出的条件是反函数的性质，因此先把它转化为原函数y=f（x）的性质. 从题目的结论看：方程f（x）-x=0的解即为函数y=f（x）的图象与直线y=x的图象的公共点的横坐标，所以求解时最好能画出函数y=f（x）的图象，但本题给出的函数是一个抽象函数，不可能画出其图象，所以可先作出函数图象所在的平面区域.

答案详解 由题意可知，函数y=g（x）（x∈I）的值域为g（I），又由f -1（[0，1））=[1，2）可知y=f（x）（1≤x<2）的值域为[0，1），由f -1（（2，4]）=[0，1）可知y=f（x）（0≤x<1）的值域为（2，4]. 由于函数y=f（x）有反函数，且定义域为[0，3]，所以y=f（x）的图象只可能落在图2中的阴影区域之内，直线y=x和阴影区域有唯一的公共点A（2，2），所以x0=2.

1. 定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x）， f（2015）=1，则f（1）=________.

2. 设偶函数f（x）满足f（x）=2x-4（x≥0），则{xf（x-2）>0}等于（ ）

A. {xx<-2或x>4}

B. {xx<0或x>4}

C. {xx<0或x>6}

D. {xx<-2或x>2}

3. 定义在R上的偶函数f（x）满足： f（2-x）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，有下列一些关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（5）=0；③f（x）在[1，2]上是减函数；④f（x）在[-2，-1]上是减函数. 其中正确的判断是__________（把你认为正确判断的番号都填上）.