归纳推理

归纳推理以其独有的技巧，在高考试题中具有特殊的地位和作用，考查考生阅读、理解、迁移新知识、归纳推理的能力，以及运算求解能力. 多以填空题的压轴题的形式呈现，难度为中偏高档或高档，总分值约为4～5分.

（1）以数列、不等式、函数等为背景的归纳推理题.

（2）以数学史料为背景的归纳推理题，如古希腊毕达哥拉斯学派研究的多边形数等.

破解归纳推理题的关键是：

（1）发现共性→通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）.

（2）归纳推理→把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）.

（3）检验，得结论→对所得的一般性命题进行检验. 一般地说，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧.

例 已知

12= ×1×2×3，

12+22= ×2×3×5，

12+22+32= ×3×4×7，

12+22+32+42= ×4×5×9，

则12+22+…+n2=________（其中n∈N ）.

破解思路 观察所列出的四个等式右边所具有的特点，归纳出其规律，推测12+22+…+n2的表达式.

答案详解 当n=1时，12= ×1×2×3= n（n+1）（2n+1），

当n=2时，12+22= ×2×3×5= n·（n+1）（2n+1），

当n=3时，12+22+32= ×3×4×7= n（n+1）（2n+1），

当n=4时，12+22+32+42= ×4×5×9= n（n+1）（2n+1），所以应填 n·（n+1）（2n+1）.

1. 如图1所示，一组数排成倒三角形，其中第一行各数依次为1，2，3，…，2014，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M=______.

1 2 3 … 2012 2013 2014

3 5 7 … 4025 4027

8 12 … 8025

… … …

… …

M

图1

2. 数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！

二位的回文数有11，22，33，44， 55，66，77，88，99，共9个；

三位的回文数有101，111，121， 131，…，969，979，989，999，共90个；

四位的回文数有1001，1111， 1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个.

由此推测：2014位的回文数总共有___________个.endprint