抓准教学时机 渗透数学思想——“一个数除以分数”教学片断及思考

重庆北碚区实验小学（400700） 郭 勇

《数学课程标准》（2011版）指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如分类、归纳、演绎、模型等。”那么，在数学教学中，如何结合具体的教学内容渗透基本的数学思想呢？下面，我以“一个数除以分数”（西南师大版）一课的教学片断，谈谈自己的思考。

教学片断一：利用化归，解决新知问题。

师（出示下图）：请看屏幕，你们从中发现哪些数学信息和问题呢？

生1：一辆小轿车穿过长900m的隧道用了分钟，问它平均每分钟行驶多少米。

师：要求平均每分钟行驶多少米，该怎样列式解决呢？

生2：900÷，根据“速度＝路程÷时间”来列式的。

师：你真会思考。这个算式和前面学习的分数除法有什么不一样？

生3：这是整数除以分数的算式。

师：下面，就请大家试着借助以前的知识计算出结果。（学生独立完成后同桌讨论，再全班交流反馈）

生4：900÷＝900÷0.75＝1200（m）。

师：你们听明白他是怎样做的吗？还有其他做法吗？

生5：900÷＝（900×4）÷（×4）＝3600÷3＝1200（m）。

师：介绍得真仔细，大家赞同吗？看来，大家能像以前一样，把新问题转化成已学过的知识来解决，了不起！

……

思考：通过设置让学生借助已有知识来计算整数除以分数的问题，使学生自然产生转化为小数除法或运用商不变性质转化成整数除法来解决问题的需要。这样不仅有利于学生借助已有的知识和经验探索新知，进一步理清分数除法、小数除法、整数除法之间的内在联系，而且提高了学生解决问题的能力，促进学生数学思维的发展。在这个过程中，学生有更多探索的空间，获得的不仅仅是数学知识，更为重要的是掌握终身受用的数学思想，增强了学生学习数学的信心。

教学片断二：巧用数形结合，突破新知难点。

师：以后我们计算整数除以分数，都按照刚才的方法进行计算就行了？你们认为这两种方法怎么样？

生1：第一种方法有局限性，第二种方法太麻烦了。

师：看来，我们还需要找到一种既简单又适用的方法。刚才有同学提出转化成分数乘法来计算，这倒是一个好想法。那么，又该怎么算900÷呢？

生2：900÷＝900×＝1200（m）。

师：结果也是1200米，这样做会不会只是巧合呢？想想看，我们可以用什么方式来说明这样做是正确的呢？

生3：画线段图。

师：这是一个好方法。下面，就请同桌一起边画图边说说自己是怎么想的。（学生同桌合作后交流汇报）

师：用900÷3求到什么呢？

生4：分钟可以行驶多少米。

师：再乘4呢？

生5：求出的是1分钟能行驶多少米。

师：如果把这个计算过程的前两步圈起来看，你发现了什么？

生6：将 900÷转化成用900乘的倒数来计算。

师：你们看，通过画线段图，帮助我们探索出把整数除以分数转化成整数乘这个分数的倒数来计算的方法。

……

思考：在教学整数除以分数的计算方法时，教师需要引导学生理解算理，正所谓“知其然，而知其所以然”。学生在独立思考、同桌合作、反馈交流、集体回顾等活动中，正因为有了线段图的支撑，才能直观地理解900除以3是求出分钟可以行驶多少米，再乘4求出的是1分钟能行驶多少米。然后教师通过转换算式的呈现形式，使学生有效地理解整数除以分数等于整数乘这个分数的倒数的算理。整个过程，学生既学得轻松，又理解透彻。

教学片断三：运用类比推理，轻松探究新知。

生1：分数除以分数。

师：通过刚才的学习，我们知道整数除以分数就是转化成整数乘这个分数的倒数来计算，那分数除以分数又该怎样计算呢？

生2：我想是用第一个分数乘第二个分数的倒数。

师：你是个善于学习的孩子。下面，就请大家打开书完成第51页的例4，并想一想怎样去验证计算结果是正确的。（学生独立完成后反馈做法）

师：现在谁能说说怎样计算分数除以分数？

生3：分数除以分数等于分数乘分数的倒数。

师：同学们，这里有两个分数，为了不混淆，我们可以说成分数除以分数等于分数乘除数的倒数。

……

思考：学生对知识的同化过程，决定了对数学知识掌握的程度。通过前面的学习，学生自然会把整数除以分数的方法迁移到分数除以分数的学习中来。因此，课堂教学中，教师应放手让学生去猜想、去尝试、去验证，这样既有利于学生拓展分数除法的知识，又培养了学生的创造力，达到举一反三、触类旁通的教学目的。

教学片断四：适时归纳小结，建构整体认知。

师：同学们，刚才我们学习了整数除以分数、分数除以分数、小数除以分数的知识，那你能用一句话总结出今天学习的分数除法的计算方法吗？

生1：一个数除以分数等于这个数乘分数的倒数。

师：看来，今天学习的整数除以分数和前面学习的分数除以整数一样，都是转化成分数乘法来计算的。如果a表示被除数，b表示除数，就可以说a÷b等于a×（b不等于0）。

……

反思：鲁宾斯坦曾说过“：思维是在概括中完成的。”学生通过对整数除以分数、分数除以分数、小数除以分数以及分数除以整数的方法进行观察和比较，概括出它们的共同属性，并归纳出 a÷b＝a×（b不等于0）的计算法则。这样教学，能有效引导学生建构起知识的网络，培养学生的独立思考能力、观察能力、比较辨别能力、抽象概括能力，从而提高课堂教学的有效性。

总之，教师要不断提高自身的数学修养，找准数学知识与数学思想的有效结合点，明确每个数学知识应渗透哪些数学思想，并以学生现有的思维发展水平为依据，引导学生积极参与整个教学过程，这样才能激发学生对数学的兴趣，提高他们解决问题的能力，使学生更好地掌握数学思想。