关注数学本质 聚焦数学思想──以“用数对确定位置”教学为例

江苏常州市实验小学（213000） 张祖润

“数学是什么，数学可以留下些什么，数学可以形成怎样的影响力？答案并不唯一。但我以为，数学可以在人的内心深处培植理性的种子，她可以让儿童拥有一颗数学的大脑，学会数学地思考，学会理性、审慎地看待问题、关注周遭、理解世界。”这句话道出了数学教学的本质，数学学习不就是让儿童经历一种有意义、有价值的探索活动，从而形成合理的数学思维方式吗？正如郑毓信教授所说的那样，我们应该通过数学课堂培养学生的数学思维，让学生最终达到会用数学进行数学思维。

当然，课程改革推进过程中，也曾出现过许多美丽的景象，过于追求教学的情境和人文化，绚丽的多媒体动画展示，漫无边际的生活现象，万紫千红的数学文化，这些现象在一定程度上表现出对课程基本理念内涵的误解，这一种错觉其实是一种课堂教学的失真和学习的失效。为什么会出现这些现象呢？在我们精心创设的情境背后，知识和能力的根源在哪里？在煞费苦心的知识授予背后，文化与精神的支点在哪里？在环环紧扣的逻辑背后，直觉与猜想的孕育在哪里？在层次多样的应用背后，原理与模型的建构在哪里？在方法提炼的技巧背后，思想与方法的引领又在哪里？一些专家指出，现在的数学课堂生活气息浓了，数学文化有了，数学味却丢失了，让数学思想和精神失去了可能生长的土壤。

因此，数学课堂除了有知识的丰厚、技能的纯熟外，更应关注数学的本质，聚焦数学思想的启迪，渐而上升为理性精神的引领，留给学生多元而立体的影响，应该留给学生深刻而难忘的痕迹，这才是数学课堂的本质。下面以我执教的一节“用数对确定位置”为例，谈谈如何做到关注数学本质，聚焦数学思想。（本课获2013年江苏省小学数学优质课评比一等奖，有删节）

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1.用自己的方法确定位置

师：同学们，确定位置在我们身边随处可见。仔细观察这一张座位图（出示教材情境图），小红的位置在哪？你能用自己的方法说一说吗？

生1：小红在第2排第4个。

生2：从左往右数的第4列，从上往下数第2个。

生3：小红在从左往右数第4排，从后往前数第4个。

师：那同学们想一想，为什么同一个位置说法却不一样？

生1：因为我们每个人看的方法不一样。

生2：因为我们每个人看的角度不同。

师：是啊，角度不同，说法自然也不同。不过，你的说法你明白，他的说法他理解。这样交流起来，就会——

生1：交流起来有些麻烦。

生2：说起来不够统一，不容易理解。

师：是啊，怎样才能统一、正确、简明地描述小红的位置呢？今天这节课我们继续来研究“确定位置”。

2.用列与行的方法确定位置（略）

3.用数对的方法确定位置

师：数学是一种国际语言，追求简洁明了，这些文字写起来多麻烦啊，能不能把这些方法写得再简单些呢？想一想，再把表示第4列第2行的简明写法写在小纸片上。（生自主探究简明写法）

师：一起来看同学们的写法。（依次呈现学生的不同写法）

师：比较一下，在这些不同的方法中有哪些相同的地方？

……

师：同学们，你们真是一群善于观察、乐于思考的孩子。你们的想法跟数学上的规定非常接近，数学上是这样写的（板书写法）。在数学上我们把它称为数对，今天研究的就是用数对来确定位置。

……

师：学会了用数对表示点的位置，那根据数对，你能找到对应的点吗？这有两个数对（4，1），（6，3），请你找到对应的点，描点并标上数对。

师：谁来介绍一下你是怎样找到这两个点的？（生介绍找到两个点的过程）

师：老师刚才发现有位同学把（4，1）的点描在这里，难道（4，1）这个数对有两个对应的点吗？（出示错误的学生资源）

生4：不对不对，他画错了。

生5：他把第4列第1行看成了第4行第1列了。

生6：他把列与行看反了。

师：也就是说，这个点对应的数对是多少？

生7：（1，4）。

师：看来，一个数对只能对应着一个——（一个点）

师：一个点也只能对应着一个——（一个数对）

师：原来这点和数对是一一对应的。（板书：“一一对应”）一不小心，咱们从错误中还发现了数对的特点，真会学习。

4.用数对的方法在方格图上确定位置

师：这是什么？（方格纸）方格纸上也有一些交叉点，一起来看，能用数对表示这张方格纸上这一个点的位置吗？先想一想，再把思考过程写下来。

师（展示）：一起来看。有同学写的数对是（4，5），也有同学写的数对是（3，4）。

师：不对啊，明明点和数对一个对着一个，为什么同一个点会写出两个不同的数对呢？

生8：我认为左边那张是从1开始数起的，右边那张是从0开始数起的。

生9：我认为它们的起点的数不同，造成写的数对不同。一个是以1为起点，一个是以0为起点。

师：其实这两种写法都是合理的，只不过他们的起点不同，一个是以1为起点，一个是以0为起点。我们知道，数学上一般用以谁为起点？

生10：以0为起点。

师：那这张方格图，想象一下，它的“0起点”会在哪呢？一起来看。（电脑演示“0起点”）

师：对比一下，方格图上0起点的位置不同，同一个点写出的数对自然也不同。一般情况下，方格图都会从0起点开始。

师：如果把咱们学校的体育园地作为方格图的0起点，咱们校园里的其他景点，你会用数对表示吗？

……

5.用数对的思想确定位置

师：同学们，回顾一下学习过程，今天我们研究了用数对确定位置，其实类似这样的现象生活中也有许多。像我们下棋时确定棋子的位置，用的就是类似数对的方法。（出示情境图）在国际象棋中，这个黑马的位置该怎样表示呢？

师：同学们，就连地理学家确定地球上的位置时，用的还是类似数对的思想。他们就给地球蒙上一层网格线，用经度和纬度来确定每一个地方的位置，像北京大约在什么位置？（北纬 40°,东经 116°）

师：咱们城市大约在什么位置？

生：北纬 33°,东经 120°。

师：同学们，这数对真是简单而又神奇。相信此刻，你心中一定会有一个疑问，这数对究竟是谁发明的呢？想知道吗？一起来看。（播放视频）

师：笛卡儿非常厉害，从蜘蛛网中受到启发发明了数对和直角坐标系，难怪他说“我思考，所以我存在”。愿每位同学都能做一个爱思考、有想法的人。

【深度思考】

本课的教学设计初看也很平常，教学过程的整体设计与教材安排完全同步，并无多少出新之处。但细细品味，平实的背后却有许多思考的空间，让听课者留下许多值得回味的东西。整节课并没有设计绚丽多彩的情境活动，也没有安排太多的合作探究活动，但学生的思维力度在不断积蓄，思考力量在版块递进中循环上升，从而散发出让人回味的力量，引发许多人的共鸣。缘何如此，数学思想的深度感悟是根本所在。

一、从知识的根源去理解数学的本质

一节数学课首先应该搞清楚教什么。有了对知识的整体构建才会产生一种大数学的思考，学生才能真正理解教材的本质内容。教师应该主动学习初等数学体系，主动学习数学发展史，了解知识发展的来龙去脉，才能在教学中主动地从知识的起源出发去理解数学的本来面目，进而有意识地将知识的发生、发展过程经过精妙的加工，巧妙地呈现在学生数学探索的世界里。

本课的教学，若从数学史的角度看，笛卡儿发现解析几何是数学上一个巨大的进步，也是人类历史上一个重大的进步，笛卡儿的重要贡献，就是一个几何的对象，他可以用数来描写，而数所满足的关系就是方程。因此，“我们小学里面先学第一步，就是把坐标建立起来，并用数对（x，y）来表示点。把坐标几何放到小学的学习内容中，体现了随着时代的进步，我们小学数学也在发展。”（张奠宙教授语）因此在反复研读教材的过程中，我充分认识到用数对确定位置并不是单纯生活意义上的确定位置，而是认识坐标的雏形，引导学生用坐标的方法描述位置。正是基于这样的思考，我把本节课的重点放在用数对确定点的位置和用数对的方法在方格图上确定位置，更加贴近教材内容的本质。安排让学生写出自己的“简明写法”，让学生在比较中认识数对的概念，或许这个方法并不是首创，但学生在探究的过程中并不只是单纯“创造”数对，而是用自己的方法去表达自己的思考过程，在思考的过程中认识数对，显得“厚实”，让学生亲身经历了数对写法的再创造过程，初步理解数对所蕴含的意义。同样在教学方格图上用数对确定点的位置时，利用方格纸巧妙过渡，让学生在自主表示的过程中感受到方格图上“0起点”的重要性，显得精巧而又自然。最后再通过数学史料的巧妙介入——笛卡儿发现数对的故事，引导学生初步感知知识的形成和发展的过程，尽管展现的过程略显感性、单薄，但其散发出的数学味却足以打动每一个学生。

二、从思想的价值去挖掘数学的本质

一节数学课还应该搞清楚为什么教，教材安排这一内容有什么目的，它在学生数学思维发展的梯度上应该承载着什么作用。具体的数学知识只是提供了必要的基础，仅是“生活建筑物”中的“脚手架”，只有认识到隐藏在具体数学知识背后的数学思想，才能深刻地理解和牢固地掌握具体的数学知识，真正能对有效的思维模式进行自觉地运用和创造。数学思想是被人们反复运用和确认的，它具有普遍意义和相对稳定的特征，它直接支配着数学的实践活动，是对数学规律的理性认识，它决定了数学的经验基础、思考核心、发展目标。数学课堂应该重视学生思维素质和数学素养的提升，而重视数学思想的引领就是提升学生数学素养、形成良好思维素质的关键。

本课所蕴含的数学思想是什么呢？从张奠宙教授关于对“数学本质”一文的描述中，我们找到了答案，“在新课标以前，小学数学主要包括直观几何和度量几何。后来发现，大学数学的许多问题，它的原始思想是非常简单、非常朴实的，和小学生的生活也是密切相关的，后来增加了三个方面的内容‘演绎几何、运动几何、坐标几何’，教学内容从过去的两块扩大到五块，扩大了几何学的视野和感受，是十分有意义的改革。”从这段话中，我们清楚地意识到“用数对确定位置”正是基于对数学课程内容的思考与补充，让小学生初步感知坐标几何的思想与价值，是教材中安排这一内容的意图所在。在教学过程中，有两大主线贯穿始终,一是图例的抽象和演变，二是确定位置的方法。两大主线的层层递进与发展，充分展现了数对的数学知识和思想的产生与发展过程。在引导学生根据点的位置说出数对、根据给出的数对确定点的位置的过程中，让学生感受到点和数对的“一一对应”的数学思想，显得“精妙”；在方格图上用数对确定位置，不仅关注了数对方法的运用，还关注了在方格图上用数对确定位置的背景，通过学生的不同资源的呈现对比，引导学生思考方格图上用数对确定位置的核心所在——原点，从而引导学生逼近坐标的最核心知识，真正在学生心中建立起坐标的雏形，让学生初步感受到坐标思想的存在。通过在方格图上描点、围三角形、围不同的平行四边形等过程，让学生真正体会了数对与图形之间对应的关系，特定数学情境下可以用数对来表示图形，也可以根据图形来推理出点的位置，这就达成了数对最核心的价值就是可以“用数来表示形”，最重要的是学生亲身经历了体悟数学思想价值的过程，巧妙而又不着痕迹，简洁而又不失味道。

三、从儿童的视角去体悟数学的本质

一节数学课还应该搞清楚为谁而教。显然，儿童是数学教学的主体，是教师教学设计的出发点和归宿。无论数学的本质浅显还是深奥，都必须基于儿童的经验基础和认知规律，探究活动都必须符合儿童的身心发展特点，让儿童在数学研究活动中愿倾听、敢质疑、乐表达，从而触摸到数学的本质所在。有人把数学课堂教学质量理解为学生思维活动的质和量，也就是学生知识结构、思维方法形成的清晰程度和参与思维活动的深度和广度。对学生的思维活动我们应该追求“新”“、高”“、深”，即学生的思维活动要有新意，能形成一定高度的数学思想，参与教学活动的程度达到一定的深度。因此数学课堂应该基于儿童的视角，设计符合儿童需求的数学活动，给儿童留下深刻的知识理解和长久的思想激动，获得一种思想的熏陶，形成一种“数学头脑”，使他们在每一个问题解决的过程中，都能带有鲜明的“数学色彩”，这样的数学才能实现真正的实效和长效，真正提升学生的数学素养。

本课中，数对这一知识本身属于已经确定的规则性的内容，是学生可以直接接受的，并没有太多的价值进行探索研究，如果一味地把探究活动放在数对的外在形式的获取上，就削弱了儿童探索新事物的能力了。因此在教学中，先让学生用自己的方法确定小红的位置，在较短的时间内形成对已有认知的“不满足”，激发新的需要；然后直接将“列与行”的概念告知学生，让学生在认知结构中建立用“第几列第几行”的方法确定位置的规则，并观察从座位图到点子图的变化过程，感受到用“列与行的方法”确定位置的统一性和准确性，便于学生对数对的理解由表象的感知过渡到内在的把握。同样，直接引导学生对已有方法进行思考比较，用较短时间进行简明写法的探索，然后再比较不同方法中的相同之处，这个过程水到渠成地抽象出数对的结构特点“，人为规定”的数对含义在学生的主动参与中获得了更为鲜活的意义。学生在找点的过程中，产生了有意义的错误资源，或许是对数对结构的混淆，或许是对数对特征的难辨，但在比较的过程中，却看到了更加有意义的东西，那就是——思想。方格纸的巧妙引入，也是源自学生对数对方格图的认知，多数学生认为方格图与使用过的方格纸十分相似，既然学生对此并不陌生，何不顺水推舟呢？正是起于儿童，基于儿童，终于儿童，才让我们的数学在富有童趣的探究活动中走向本质、走向理性。

数学不仅是一种知识，更是一个发现的过程，对于小学生来说，数学还应该是一种再创造活动，而不只是印在书上和铭记在脑子里的知识，我们的数学教学应该通过数学活动让学生感受数学抽象、严密和简洁的本质，感受数学知识的生长性，感受数学思想的魅力，感受数学文化与精神的力量！