提高数学素养，构建优质教学课堂

吴 英

（浙江省绍兴市高级中学）

新课程理念倡导的数学课堂教学必须“以学生的学为本”“以学生的发展为本”，即数学课堂教学应当是人的发展的“学程”教学，而不是单纯以学科为中心的“教程”的教学。故教师在把握数学课堂教学的科学性的同时，必须讲究教学的艺术性。课堂上，教师在以学生为本的基础上施以巧妙的教学方法、教学技巧，将起到事半功倍的效果。所以面对同样的教材内容，我们要从学生的认知角度培养学生的数学素养出发，适当加工，从特殊到一般，从具体到抽象，逐步深入，揭示知识本质。那如何实行有效的课堂教学呢？笔者有以下几个建议，仅供参考。

一、以问题为中心，建构有效教学的课堂

1.创设有效问题情境

有效的教学应该把学生置于一种完整或逼真的问题情境中，使他们产生学习的需要，并通过师生有效互动，促使他们主动学习、生成性地学习，最终获得问题解决的技能。以问题为中心的学习要避免“开放过度”的问题情境，要避免“探究无力”和“探究无味”的问题情境，因此它必须具有如下特征：（1）问题的“研究性”能否引起更多学生的兴趣，引起更多学生的深入思考，从而有效培养学生发现问题、研究问题的科学素养。（2）问题的“障碍性”与学生的认知水平是否辩证统一，会不会严重阻碍学生的接受和兴趣，影响研究质量和效率。

例如，在双曲线应用教学中，设计如下问题情境：一次，在海岸A、B 两个观察所，收到大海中一所油轮出事的求救信号，而且在观察所A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s。那么，爆炸点应在什么样的曲线上，曲线方程是什么？

这是一个基于真实情景设计的问题，解决问题的全部信息已经呈现出来。首先，学生必须把握情境中包含的有用信息，如声音在空气中传播的速度，A、B 两个观察所之间的距离等。其次，学生抽象出问题的实质，并独立地运用所学知识找到解决问题的办法，如果学生不能独立解决，则引导他们进行讨论。

课堂上学生所面对的问题应该是“跳一跳”能“够得着”的才有意义，才能激起学生的学习兴趣。以此为切入点，在课堂教学中教师必须要有问题意识，尽可能地以学生自主发现问题、主动探究解决问题为课堂的开始与归属。

2.创设有效问题串

问题串的有效性应具备以下几个特征：（1）问题的设计要符合学生一般认知规律，身心发展规律等；（2）开发性：问题富有层次感，入手较易，开发性强，解决方案多，学生思维与创造的空间较大；（3）挑战性：能引起学生的认知冲突和学习心向，能激发兴趣，促进学生能够积极参与，接受问题的挑战；（4）体验性：能给学生提供深刻体验，人人有所得，包括操作、探究的机会或替代性经验，学生能够感受、体验数学。

设计符合学情的“问题串”至关重要，只有这样，才能使问题串搭建起“适切”的“脚手架”，从而突破核心思想教学的难点，引导学生自主探究，并在过程中形成思想，让教学做到真正有效，适度开放。例如，高中数学必修五第三章“二元一次不等式（组）与平面区域”以问题串的形式探究二元一次不等式表示的平面区域。我们先从二元一次不等式x-y＜6 的解集开始研究。

问题①：二元一次不等式x-y=6 的解集是什么图形？

问题②：在平面直角坐标系中，所有的点被直线x-y=6 分成几类？

问题③：如何判断点在直线上？

问题④：以不等式x-y＜6 的解为坐标的点与直线x-y=6 有怎样的位置关系？

问题⑤：如果（x，y1）是直线x-y=6 上的点，则x-y1=6。当y1＞y时，点（x，y）是否满足x-y＞6？

结论：一般地，平面直角坐标系中，在直线Ax+By+C=0 的一侧Ax+By+C＞0，另一侧Ax+By+C＜0（多媒体演示结论）

问题⑥：怎样判断二元一次不等式Ax+By+C＞0 表示的平面区域在直线Ax+By+C=0 的哪一侧呢？

问题①到问题④设计于学生的现有发展区，问题⑤教师借助多媒体演示整个内容，再提出问题⑥。课堂上，教师紧紧地牵引着学生的思维，进行针对性的指导和引领，使学生的新旧知识顺利过渡，更易理解和掌握。当然，教育现实中，任何设计都不可能同时适合几十位学生，但我们要追求的是——让我们的问题串尽量去满足尽可能多的学生，让我们一起努力吧！

二、以探究性教学为中心，建构有效教学的课堂

新一轮数学课程改革强调数学学习活动中自主探究、动手实践、合作交流等学习方式。探究性教学是指在教师的帮助和支持下，学生围绕一定的问题、文本或材料，自主寻求或自主建构答案、意义、理解或信息的活动或过程。探究性教学应该是全部数学教学模式的重要组成部分，但仅仅是一部分。笔者认为高中数学探究性教学在传授学生知识的同时更重要的目标是：让学生在经历探究的过程中，培养好奇心与求知欲；培养科学的推理能力；发展决策能力；培养抗挫力和克服困难的毅力以及形成实事求是的科学态度避免想当然的思维方式才是探究性教学的真正目标。

例如，在抛物线教学的习题中有这样一道题。过抛物线y2=2x的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2，求证：y1y2=-1。

经过探究，学生可以反思，教师也可以设置如下问题，继续探究。

反思①：过x 轴上的任一点（a，0）的直线与抛物线y2=2px 交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都为常数呢？

反思②：过y 轴上的任一点（0，b）（b≠0）的直线与抛物线y2=2px 交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都为常数呢？

反思③：过平面上的任一点（a，b）的直线与抛物线y2=2px 交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都为常数呢？

这样可以使学生真正理解并掌握这块知识并能正确运用。通过探究可以培养学生不断探究，不断反思的良好习惯，培养学生的抗挫力并锻炼学生克服困难的毅力，以此来培养学生科学合理的推理能力并发展学生的决策能力。

三、以变式教学为中心，建构有效教学的课堂

变式教学是在教学中用不同形式的直观材料或事物说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征。通过变式教学能让学生对概念、定理、公式有多角度的理解；同时通过对问题的多层次的变式构造，可以使学生对问题解决过程及问题本身的结构有一个清晰的认识，也能有效地帮助学生积累问题解决的经验和提高解决其他问题的能力。因此变式教学是提高课堂效率的有效途径，是一种行之有效的教学方式。

变式时，适时改变问题情境，引导学生考察新情景中的结论、求解思路，有益于学生掌握类比迁移的技能，提高触类旁通的解题能力。变式教学可以避免枯燥的重复演练，“重复经过变式而得到发展”。例如，在高中教学必修5 第三章“数列”有这样一道习题：已知Sn是等比数列｛an｝的前n 项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列。在求证过程中我们容易知道1+q3=2q6是一个关键的式子，有了此式，我们很容易得到大量的新的“结果”。

变式①：已知Sn是等比数列｛an｝的前n 项和，Sn，Sn+6，Sn+3成等差数列，求证：an，an+6，an+3成等差数列。

从这个意义上讲，给村社集体以实权，让他们具有依据当地实际来进行公共事业建设的权力，而不是限制村社集体权力，约束村社集体权力，甚至直接虚化和架空村社集体，国家与农民之间才会有一个有力的对接平台与工作抓手。

变式②：已知Sn是等比数列｛an｝的前n 项和，Sk，Sk+m,Sk+n（k，m，n∈N+）成等差数列，求证：ap，ap+m，ap+n（p∈N+））成等差数列。

变式是教学的一种手段，我们在教学中要重视引导学生在变中悟，在变中练，有利于开拓思维，有效提高学生的学习能力，使教学收到事半功倍的效果。

四、以特殊化教学为中心，建构有效教学的课堂

特殊化思想是中学数学中应用最为广泛的数学思想之一，可以起到形成良好的思维品质，培养和发展思维能力的作用。在教学中应有意识应用这个载体，加强对学生数学思维的锻炼的能力的培养。特殊化思想作为解题技巧，它没有既定的模式，需要解题者从不同的角度和层面去探求特殊值，特殊化状态，特殊位置等来得到问题的特殊情况。

特殊化思想作为一种技巧，关键在于选取“一针见血”的特例，但特例并非一贯的偶得，而是解题者的“数感”，是建立在合理的数学知识结构，清晰的概念理解，广泛而大胆的联想与猜想之上的，是一种直接的领悟性的思维活动。在逻辑推理上，由反例来否定命题，还可以运用特例，得到问题的必要条件，然后再通过检验、证明，形成问题的充要条件。教师应在教学中鼓励学生大胆地联想和猜想，然后通过比较和反思，去得到最优的特例，并反思特例与问题本质之间的联系，从而提高学生的思维的灵活性和敏捷度，培养学生的直觉思维。英国心理学家瓦拉斯提出创造性思维的“准备—酝酿—豁朗—验证”四个阶段，在教学中以学习特殊化解题策略为载体，遵循这四个阶段来培养创新思维，能够达到很好的效果。

五、以信息技术教学为中心，建构有效教学的课堂

当今教育的侧重点必须随着计算机在数学中的应用而有所改变，特别是几何画板的运用，使数学学习更直观化。教师可以让学生通过自己动手操作，进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后获得概念、理解或解决问题。教师应鼓励学生去探索数学问题以及用数学去解决问题，不仅要培养学生的逻辑能力，空间想象能力和运算能力，还要培养数学建模能力、数据处理能力和探究学习能力，加强在“用数学”方面的教育，使得学生明白数学是多么基础又重要的学科。

六、以精讲精练的教学为中心，建构有效教学的课堂

例如，高二“有限制条件的排列问题”的数学内容，课本中有这样一道例题：用0 到9 这10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？易见，课本中安排这道例题，旨在让学生“提炼”解决有限制条件的排列问题的三种最基本最常用的方法：特殊元素分析法、特殊位置分析法、间接法。细细“揣摩”教材的用意以后，在设计本例时，给出以下两个小问题：

①从这10 个数字中选出不重复的3 个数字作为函数y=ax2+bx+c 中a，b，c 的值，问可以组成多少个不同的二次函数？

②从这10 个数字中选出不重复的3 个数字作为圆的方程（xa）2+（y-b）2=r2中a，b，r 的值，问可以组成多少个不同的圆的方程？

第①小题后接着问：可以组成多少个关于y 轴对称的二次函数？可以组成多少个不同的二次函数（把“二次函数”拓展为“函数”）？

第②小题后接着问：可以组成多少个圆心在x 轴上的圆方程？

练习是数学教学的一个重要组成部分，学生通过训练，巩固概念，体会数学思想，掌握数学方法。训练内容针对性和目的性要强，学习训练的设计要有层次，根据学生的数学学习水平提出不同的训练要求，重视学习训练的质量和效益。注重引导学生积极参与，让学生体验发现和解决数学问题的探究和学习过程，不断地反思、归纳、优化解决问题的策略，进而全面提高学生的数学素养。

七、以设置悬念的教学为结尾，建构有效教学的课堂

在中学数学课堂教学的过程中课堂小结几乎是少不了的，但教师在作课堂小结的时候，学生往往在做下课的准备，至多记下小结的内容和作业，很少再积极主动深入地思考。因此，课堂小结成了课堂结束的序曲。教师应在课堂结束时，提出一些富有启发性的问题，不作解答，以造成悬念，预示新课，从而激发学生的求知欲，使他们渴盼“且听下回分解”，这样，此课的“尾”就成了彼课的“头”，使新旧课之间有了衔接，把一次次的课堂教学连贯起来。教材中有许多开放性和探究性的问题，包括思考题、问题探究及探究、拓展练习等，另外还有一些阅读材料，这些都是设置悬念的好材料。优秀教师在教学结课时常常会使用设置悬念的方法，使学生在“欲知后事如何”时戛然而止，从而给学生留下了一个有待探索的未知数，激起学生学习新知识的强烈愿望。

数学教学是一门名副其实的艺术，数学课堂的“高效”设计，是科学与艺术的高度统一和完美结合。合理有效地安排教学内容，合理有效地安排教学策略，努力实现数学课堂教学过程的最优化。我们在探索数学课堂教学设计的科学性的同时要充分发挥它的艺术价值，不断创新，追求高效课堂，有效教学。