挖掘函数中的隐含条件，揭示函数中的深邃美

吴成强　李学武

函数是中学数学的主线，贯穿整个中学数学之中.函数的三要素是定义域、值域和对应关系，函数的性质有单调性、奇偶性、周期性等，而这些要素和性质有时比较隐含，如果仅从表面形式上看，则比较复杂，一时难以弄清思路，甚至感到问题难以解决.但如果我们能抽丝剥茧，挖掘其隐含条件，透过表象而抓住问题的本质，则往往会使问题解决感到很简便，让人眼睛一亮，茅塞顿开，有一种“不识庐山真面目，只缘深在此山中”的感觉.

1定义域的隐含

有些函数，表面上看较为复杂，但如果我们求出其定义域或抓住其定义域中的某些隐含属性，就能将函数式进行化简或求出某些量，使问题简化，解决起来很简单.

例1判断函数f（x）=4-x2|x+2|-2的奇偶性.

解函数的定义域为-2≤x≤2且x≠0，定义域关于原点对称，因为x+2≥0，所以|x+2|=x+2，所以f（x）=4-x2x+2-2=4-x2x，易知f（x）是奇函数.

点拨不少学生由于仅仅从表象上看，得出函数f（x）是非奇非偶函数这一错误结论.这一道题的关键点是挖掘函数定义域这一隐含条件，然后把绝对值去掉，将函数式进行化简.

例2已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，它的定义域是[a-1，2a]，求f（x）的值域.

解因为f（x）是偶函数，所以定义域关于原点对称，又定义域为[a-1，2a]，所以a-1=-2a，所以a=13.由f（x）是偶函数得b=0，所以f（x）=13x2+1，定义域为[-23，23]，易得值域为[1，3127].

点拨本题隐含条件是“奇偶函数定义域关于原点对称”，利用这一属性可求出a的值.不少学生因忽视了奇、偶函数定义域关于原点对称这一属性，没有想到可以求出a的值，而是对a分情况讨论，出现了错误的解法.

2值域的隐含

有些函数或方程，其值域比较隐含，如果抓住了这一本质，就找到了问题解决的突破口，给人一种茅塞顿开的感觉，让人感到心旷神怡，美不胜收.

例3已知P是函数f（x）=-2cosx（x∈[0，π]）图象上的一点，Q是函数g（x）=12x2+lnx图象上的一点，在P点处的切线与在Q点处的切线平行，求直线PQ的斜率.

解f′（x）=2sinx（x∈[0，π]），g′（x）=x+1x（x>0），假设P（x1，y1），Q（x2，y2），则依题意f′（x1）=g′（x2），但f′（x1）=2sinx1≤2，g′（x2）=x2+1x2≥2，所以f′（x1）=g′（x2）=2，等号成立条件是x1=π2，x2=1.所以y1=0，y2=12，即P（π2，0），Q（1，12），所以kPQ=121-π2=12-π.

点拨本题的关键点是发现等式两边的值域分别为f′（x1）≤2，g′（x2）≥2，所以f′（x1）=g′（x2）=2，这是问题解决的突破口，而这也恰恰成为相当一部分学生盲点或者说是不易发觉的点.

例4已知函数f（x）满足如下三个条件：①对任意x1，x2∈[0，1]，x1

解由②知f（0）=12f（0），所以f（0）=0，由③知f（0）+f（1）=1，所以f（1）=1，由②知f（15）=12f（1）=12，由③得f（12）+f（12）=1，所以f（12）=12.

所以f（15）=f（12）=12，由①知当15≤x≤12时，f（x）=12，所以f（13）=12.

所以由②知f（115）=12f（13）=12×12=14，所以f（12）+f（15）+f（115）=12+12+14=54.

点拨本题的关键点是“两边夹”法则，由f（15）=f（12）=12及函数的单调性得15≤x≤12时f（x）=12，而这一点也是不少学生不容易想到的.

3函数性质的隐含

有些函数，其单调性与奇偶性这些性质往往比较隐含，如果不把这些隐含的性质挖掘出来，仅仅根据解析式的表象，则问题解决比较困难，甚至于无法求解.而如果利用这些隐含的性质，则使问题解决变得十分轻松，给人一种哥伦布发现新大陆的感觉，美妙无比，思维受到很大的启发.

例5已知f（x）=ln（x+1+x2），f（a）+f（b-1）=0，求a+b的值.

解易知f（-x）+f（x）=0，所以f（x）为奇函数.又根据复合函数的性质易知f（x）在（0，+∞）上为增函数，而奇函数不改变函数的单调性，所以f（x）在（-∞，0）上也为增函数，又f（x）是连续函数，所以f（x）在（-∞，+∞）上为增函数.由f（a）+f（b-1）=0得f（a）=-f（b-1）=f（1-b），所以a=1-b，所以a+b=1.

点拨本题的关键是挖掘函数的隐含性质：单调性和奇偶性，利用性质轻松解题，让人眼睛一亮，给人以简洁美的享受.题目中没有明确给出函数的单调性与奇偶性，而要靠自己去发掘，去发现，这也是不断提升思维品质的关键所在.

例6已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（-32+x）=f（32+x），当x∈（0，32）时，f（x）=ln（x2-x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点的个数是

A.3B.5C.7D.9

解易知f（x+3）=f（x），所以周期T=3，根据题设，易画出y=f（x）在[0，6]上的草图如下：

在f（-32+x）=f（32+x）中，令x=0得f（-32）=f（32），又f（-32）=-f（32），所以-f（32）=f（32），所以f（32）=0，所以f（92）=f（3+32）=f（32）=0.

所以函数f（x）在[0，6]上零点个数为9，选D.

点拨本题中隐含着奇函数的性质，学生不容易发现f（32）=0，从而f（92）=0，从而导致得出零点个数为7的错误答案.

4数列中的隐含

数列也是函数，而对于数列中的某些隐含条件，如果加以挖掘，则会使问题巧妙解决.

例7已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1=a（a>0），b1-a1=1，b2-a2=2，

b3-a3=3，若数列{an}唯一，求a的值.

解设{an}的公比为q，则由已知b1=1+a，b2=2+aq，b3=3+aq2，又{bn}为等比数列，所以b22=b1b3，即（2+aq）2=（1+a）（3+aq2），整理得aq2-4aq+3a-1=0.（*）

由于Δ=16a2-4a（3a-1）=4a2+4a>0（因为a>0），所以方程（*）有两个不等的根，而等比数列{an}唯一，所以方程（*）必有一根q=0，将q=0代入方程（*）得3a-1=0，所以a=13.

点拨本题的隐含条件是等比数列的公比q≠0，而方程（*）有两个不等的根，所以必有一根为q=0，这是解决问题的突破口.

本文仅仅研究了函数方面的隐含条件，其实数学中的隐含条件有很多，既有代数方面的，也有几何方面的，如果解题中不能挖掘这些隐含条件，透过现象抓本质，而仅仅停留在问题的表面上，则往往使问题解决变得非常复杂，甚至于出现错误结果.在平时的解题中，就是要养成多思考、多总结、多归纳的良好习惯，要训练思维的深刻性，增强思维的评判性，要善于抓住问题背后隐含的条件或者本质，克服思考问题的简单性和片面性.要通过解决一个问题，发现和联想一片问题，达到“见树木更见森林”的境界.

作者简介吴成强，男，1963年生，中学高级教师，安徽省特级教师，池州市首届拔尖人才，池州市首批名师工作室主持人，池州市学科带头人，池州市优秀教师，十佳教师，安徽省教坛新星，安徽省先进工作者（省劳模），全国五一劳动奖章获得者，苏步青数学教育奖获得者.在省级以上刊物发表学术论文50多篇，有两篇论文被中国人民大学书报资料中心《高中数学教与学》全文转载.