数学解题研究的三维策略*

☉江苏省盐城中学教育集团 张卫明

数学解题研究的三维策略*

☉江苏省盐城中学教育集团 张卫明

美国数学家哈尔莫斯（P.Raloms）指出，问题是数学的心脏.美国全国数学管理者大会（NCSM）在《21世纪的数学基础》中认为：“学习数学的主要目的在于问题解决.”我国《义务教育数学课程标准》（2011年版）也明确要求数学课程的学习应注重发展能力，包括解决问题的能力.因而学习怎样解决问题就成为学习数学的根本原因，培养和提高学生分析、解决问题的能力是中学数学教学的首要任务.

现代认知心理学理论认为，学生应用知识解决问题能力的高低不仅与贮存知识的数量有关，还与贮存知识的概括程度、索引方式、相互关联度等可有效利用的属性有关.出现上述问题的主要原因在于数学解题没有讲究方法，囫囵吞枣，过于追求数量而忽视答题的质量.笔者经过多年的解题研究和实践，认为数学解题只要掌握策略，一定能攻克难关.

一、宏观上，数学解题应先识别问题的类型，寻觅适当的切入点

一般而言，我们解决一道数学题，第一件事应该了解这是道什么题，它是什么形式，属于何种类型.解题中要充分理清条件的指向性和结论的隐藏性、迷惑性，在纷繁复杂的信息中，看条件特殊、看转化结论、看过程沟通，以寻求最有用、最有价值的信息.即我们应先根据题目的条件和结论进行类型识别，再通过差异分析和题目信息的转换、活用等思维活动，结合相应类型的数学题解决模式，就容易得到解决问题的切入点.

案例1：定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）.

A．a=cB．a=bC．b=cD．a=b=c

思路1：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）的根的情况可由b2-4ac来判定.b2-4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；b2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根；b2-4ac＜0⇔方程没有实数根.

解析：由原方程有两个相等的实数根，得b2-4ac=0①.

由a+b+c=0，得b=-a-c②.

把②代入①，得（-a-c）2-4ac=0，整理得（a-c）2=0.

则a=c，故选A．

解题感悟：利用“根的判别式”知识为切入点，是解决与一元二次方程的两根有关的问题的常规思路.

思路2：方程的解是使方程两边相等的未知数的值.若一个值是方程的解，那么用这个值代替方程中的未知数，则方程的两边是相等的.

解析：由a+b+c=0，得“凤凰”方程必有一根为1.若两根相等，则两根均为1.

这样的方程的一般形式为（x-1）2=0，含有系数的一般形式为a（x-1）2=0（a≠0），即ax2-2ax+a=0（a≠0）.

与“凤凰”方程的一般形式对照系数，可知a=c，故选A．

解题感悟：利用“方程根的意义”知识为切入点，以退为进，清新质朴.

思路3：结合一元二次方程的解法，求出方程的解.

解析：由ax2+bx+c=0，a+b+c=0，得a（x2-1）+b（x-1）=0.

则（x-1）（ax+a+b）=0.

则x1-1=0，ax2+a+b=0.

解题感悟：巧妙利用一元二次方程的解法知识为切入点，另辟蹊径，打破思维定势．

有条件限制说原则上认可原审原告在上诉审中能够申请撤回起诉，但是其同样认为与一审撤回起诉相比，原审原告在上诉审中的撤诉应当面临着较多特殊性障碍条件。

以上解题的切入点清楚地表明：由于一个概念或一个问题在同一个体、不同个体中完全可能有不同的心理表征，它们分别突出了对象的某些类型性质，在不同的时刻或场合，针对某种类型性质，在直觉选择的基础上，确定破题的切入点，寻求解题策略．

二、中观上，数学解题应注重运用数学思想方法

现代解题理论指出：数学思想方法是数学知识的精髓，数学解题的过程是数学思想方法得以运用的过程．可以这样说，抓住了数学思想方法就是主宰了数学教育的生命.数学思想的形成与否，关键不是会解某道题，而是会解决某类题，关键是在举一反三、触类旁通的基础上能形成解决不同知识点、不同题型的思维规律.这需要解题者在数学学习方面不仅学好概念、公式、法则等内容，而且要能领悟其中的数学思想方法，并通过不断积累，逐渐内化为自身的解题经验和知识结构，提高解决问题的能力．

案例2：两个不相等的正数满足a+b=2，ab=t-1，设S=（a-b）2，则S关于t的函数图像是（）.

A．射线（不含端点）B．线段（不含端点）

C．直线D．抛物线的一部分

思路点拨：题中出现了a、b、t、S四个字母表示的变量，由于题中最后要求的是S关于t的函数，所以需要消去a、b两个元，即可以化归为只含有t、S两个变量.

解析：S=（a-b）2=（a+b）2-4ab=4-4（t-1）=8-4t．根据其表达式为一次函数，首先可以排除选项D．按题中条件，要求存在两个不相等的正数满足a+b=2，ab=t-1，又0≤得到1＜t＜2，从而答案为B．

解题感悟：本题蕴含了丰富的数学思想，在求S与t的函数关系式的过程中，体现了消参变量中的化归思想；排除选项D的解题过程中，包含了转换中的函数思想和数形结合思想；最后确定选项B，展示了隐含中的等价转化思想．

解这道题难点之一是字母太多，怎样才能减少未知数呢？这对解题者来讲是一种考验，解题者最终能否成功地建构出关于所面临问题的一个合适的内在表征，能否学会用数学思想方法对解题的调节点先进行分析和监控便显得尤为重要．在解题分析中，将不熟悉的类型转化为熟悉的类型，将费解的类型“肢解”成一个个熟悉的小问题或不断地揭示问题的深层结构，运用数学思想方法调节．如本例中消参变量中的转化思想时刻，题目中的某些条件与其本人已有的认识结构发生联系和碰撞，从而此刻“问题空间”向着成功的方向转化，体现了解题者知识与经验之间的相互沟通能力．

三、微观上，数学解题应注重解题后的反思

解题者解决完数学问题，若到此就心满意足，抛却脑后，就可能错过提高的机会，往往会导致获得的知识系统性减弱、结构性不强等问题.因此解题后的反思是提高数学解题能力的重要环节．为了提高数学学习效率，必须加强正确的解题思想，养成反思的习惯．

案例3：如图1，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．

图1

图2

1.反思解题方法，开拓解题思路

因每位解题者的思维角度、方式、水平等方面的差异，所以解题者的解答往往呈现多样性，而一题多解是培养解题者思维力的一种有效手段，因此探讨解法的多样性，领悟数学的实质，培养思维的发射性，是解题反思力的重要内涵．李政道教授指出：“真正的学习是要没有路牌子也能走路，最后能走出来，并且从捷径中走出来，这才是学习的本质.”这生动说明解题者不仅要学会学习，而且要有独创精神.

例如，案例2中若取AB的中点M，连接ME，则AM= EC，易证△AME≌△ECF，从而得到AE=EF．这种方法简单快捷，不是人云亦云，而是跳出常规思维模式，标新立异，这正是我们所提倡的创新精神.

2.反思问题变式，激活创新思维

变式训练，不仅可以培养解题者的逻辑思维能力，也可以培养解题者思维的灵活性和创新性．将课本中例、习题或一些中考题的条件、结论作一些改变，既可防止静止、孤立地看问题，还可促进解题者对数学思想方法的认识，增强探究能力．

变式1：如图3，如果把“E是边BC的中点”改为“E是边BC上（除点B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立．你认为该观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，试说明理由．

图3

图4

变式2：如图4，E是BC的延长线上（除点C外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为该观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，试说明理由．

变式3：如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=2AB=2AD．

（1）求证：∠DCB=45°.

（2）小丽现将一把三角尺的直角顶点M在射线AD上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与腰CD所在的直线交于N．试问：

①如图5-1，当M为AD的中点时，BM与MN有怎样的大小关系？请给予证明．

②如图5-2，当M在AD的延长线上时，BM与MN又有怎样的大小关系？请证明你观察得到的结论．

图5-1

图5-2

从特殊到一般，及时有机地进行图形演变，但全等三角形不变，做到“润物细无声，形变而神不变”.需要解题者注重对数学问题研究的深入性，不能浅尝辄止，要知其然，还要知其所以然，对数学问题的内涵与外延进行深入探索，发展数学思维能力，练好解题的内功！

3.反思问题结构，学会编拟问题

有位数学家曾这样说：一道好的数学试题，就是一部好的教材.因此，能够自我命制数学试题，就是数学学习的最高境界，它要求命题者具有先进的理念和扎实的数学知识功底．编拟结构良好新颖的数学问题不只是简单的变式，应包括立意、情境和设问三个方面．所谓“立意”，是指考查的目的，即考查什么知识、能力，体现什么数学思想方法；所谓“情境”，是指考查的载体；所谓“设问，”是指问题的呈现方式，如探索性、开放性试题，问题的设问一般都是逐步深入、层层递进的．

案例4：聪明好学的小敏查阅有关资料发现：用不过圆锥顶点且平行于一条母线的平面截圆锥所得的截面为抛物面，即图6中曲线CFD为抛物线的一部分．如图6，圆锥体SAB的母线长为10，侧面积为50π，圆锥的截面CFD交母线SB于F，交底面圆P于C、D，AB⊥CD于O，OF∥SA且OF⊥CD，OP=4．

（1）求底面圆的半径AP的长及圆锥侧面展开图的圆心角的度数.

（2）以CD所在直线为x轴，OF所在的直线为y轴，建立如图7所示的直角坐标系．求过C、F、D三点的抛物线的函数关系式.

（3）在抛物面CFD中能否截取长为5.6、宽为2.2的矩形？请说明理由．

图6

图7

命题的主要目的是让考生在阅读理解的基础上，通过呈现圆锥的直观图形，将圆、抛物线、圆锥等知识有机结合在一起，有效地体验数学推理的力量和证明的意义，发展空间观念和自主创新的意识.但通过阅卷分析，发现许多考生由于理解能力不强，不能综合问题的条件和结论之间的联系，从而不能顺利地不间断地分析和解决问题．其实，数学解题就是一个编拟问题的过程，试题编制要体现新课标改革的方向与理念，要根据知识技能目标、过程性目标及使用目的和使用对象来决定题目的形式、综合程度、知识覆盖面，同时还要注意试题背景公平，避免出现陈题．

四、结束语

数学解题，要善于从思维定势中解脱出来，养成从多角度、多侧面分析问题的习惯，以培养思维的广阔性、缜密性和创新性.对例题、习题、练习题、复习题等，不能就题做题，要以题论法，以题为载体，阐述试题的条件加强、条件弱化、结论开放、变换结论、多种解法、与其他试题的联系与区别、其中蕴含的数学思想方法等，将试题的知识价值、教育价值一一解剖，达到“做一题，会一片，懂一法，长一智”.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

*本文是江苏省中小学教研室第十批立项课题“苏科版初中数学课标（2011版）教材的使用研究”（课题批准号：2013JK10-L154）和江苏省十二五教育科学规划立项课题“区域性初中数学高效课堂构建策略的研究”（课题批准号：D/2013/02/632）的阶段性成果.