创新例习题呈现，发展批判性思维

☉江苏省江阴市敔山湾实验学校 李磊

☉江苏省江阴市周庄中学许爱珍

创新例习题呈现，发展批判性思维

☉江苏省江阴市敔山湾实验学校 李磊

☉江苏省江阴市周庄中学许爱珍

近一段时间以来，以《人民教育》为代表的期刊发表了不少引导关注“批判性思维”的文章，比如文1对于批判性思维的本质进行了澄清和纠偏，并指出“批判性思维，是以理性和开放性为核心的理智美德和思维能力的结合，是一种谨慎公正的分析、构造和发展的过程．”回看我们的数学课堂、数学例习题设计，与倡导批判思维、开放教学的高要求相比，仍然还有很大的提升空间．作为一名一线教师，也不可能提出多么宏大的努力方向，但是笔者以为，如果我们能立足于教学实践，把每堂数学课、每天都要设计或布置的数学例习题通过恰当的改编，也是可以训练和发展批判性思维的．下面我们先呈现近期教学过程中收集的一些发展学生批判性思维的例习题案例，并跟进解读，与同行研讨．

一、发展“批判性思维”的题例

例1如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别在AB和AC上．

图1

（1）若∠AED+∠AFD=180°，求证：DE=DF．

（2）若DE=DF，则∠AED+∠AFD=180°是否成立？如果成立，说明理由；如果不成立，举出反例．

解读：第（1）问可以利用角平分线上一点到角的两边距离相等来添加辅助线获得思路贯通；然而第（2）问引导学生思考第（1）问的逆命题，并且要举出反例，倡导批判性思维．教学经验告诉我们，至少有40%的学生对于命题真假的判断存在疑问，从而出现解题的方向性偏差．

例2如图2，D、E分别为等边△ABC的边BC、AC上的动点，且BD=CE，连接BE、AD交于点F．

图2

（1）求∠BFD的度数.

（2）过点A作AH⊥BE，垂足为点H．求证：AF=2FH.

（3）小舟练习后，提出一种变式拓展的思考，当点D、E分别在CB、AC的延长线上时，直线BE、AD相交于点F，其余条件不变，请画出符合要求的图形，猜想AF与FH的数量关系，并说明理由．

解读：前两问是经典考题，第（3）问是经过改编之后呈现的问题，有两个引领意义：其一，要求学生根据题意画出图形变换之后的图形，考查必要的读句作图能力；其二，引导学生学会解后反思、追问，学会从特殊到一般地思考经典几何问题及性质．

例3（2015～2016学年北京市交大附中八年级上学期期中卷第24题）已知：如图3，Rt△ABC中，∠BAC=90°．

图3

（1）按要求作图：（保留作图痕迹）

①延长BC到点D，使CD=BC；

②延长CA到点E，使AE=2CA；

③连接AD，BE，并猜想线段AD与BE的大小关系.

（2）证明（1）中你对线段AD与BE大小关系的猜想．

改编题如图4，△ABC中，∠BAC=90°，延长BC到点D，使CD= BC，延长CA到点E，使EA=2AC．连接AD，BE．

图4

（1）求证：AD=BE；

（2）小贾同学提出“猜想”：当∠E=60°时，CE=BE．请判断“猜想”的真假，并说明理由．

解读：改编题是基于八年级学生训练的重点，应该是构造、推理证明，所以把作图语句前置到题干条件中，直接在第（1）问明确提出证明“AD=BE”；而增加了第（2）问，从学生练习的情况来看，班级有四分之一学生求解方向出错，误认为猜想是真命题；另有不少学生证明假命题的方法不够简化，虽有反证法意识，然而表述繁杂，只有近四分之一优秀学生通过设AC=m，推得AE=2m，BE=4m，从而发现CE=3m，并不等于BE，否定了命题.可见，增加的第（2）问，需要判断真、假命题，结论开放，同时又发展了学生的批判性思维.

例4如图5，等腰直角三角形ABC，∠ACB=90°，点D在CB的延长线上，连接DA，作AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交AC的延长线于点P.

（1）求证：∠D=∠EAC；

（2）若AC=1，求点E到直线AC的距离；

（3）求证：点P为BE的中点.

图5

图6

拓展思考：如图6，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（-1，0），P（p，0），将AP绕点A逆时针旋转90°后得到AQ.

（1）当p＜-1时，连接BQ，求证：BQ能被y轴平分.

（2）当p＞0时，BQ是否还能被y轴平分，画出图形，简要说明理由即可.

（3）小涵发现：点Q在直线x=1上！你怎么看这个发现？

解读：例4是个经典的几何问题，在学生成功解题之后，我们给出“拓展思考”，就是对上面的问题进行包装，放置到平面直角坐标系中，引导学生体会几何问题的结构，训练学生洞察问题深层结构的“眼力”.不少学生在解后反思都提到，它们都是一样的.这里学生对“一样的”认识正是我们的命题立意所在.

二、进一步的思考

以上摘选了近期教学手记中的一些题例素材，并逐题给出解读，也可看成是讲述教学上的故事；以下再围绕上述题例所共有的立意——培养批判性思维，阐述笔者进一步的思考.

1.重视发现问题、提出疑问、辨别是非的思维品质训练

文1认为：“思维的批判性，就是善于发现问题，提出疑问，辨别是非的一种思维品质.批判性思维是一种实事求是、周到缜密的思维.”正是基于上述认知，笔者在例2、例3中的最后一问明确示范了“提出问题”的角度、方式，既是开展习题训练、巩固技能，同时又是传递善于提问、学会提问、辨别是非的求真品质.

2.“把数学问题还原为数学现象”，培养学生的批判性思维

近读《数学通报》，孙四周老师在文2中介绍了近年来基于活动与体验的例题教学实验，尝试了把数学问题还原为数学现象，让学生经历“现象—问题—解决—反思”的全过程.比照孙老师的教学实验和所例举的题例，我们在上文中提及的例1中的第（2）问、例2中的第（3）问都属于将数学问题还原为数学现象，把一些问题的客观事实呈现给学生，作为学生观察、研究、发现、决策的素材.虽然“数学现象”并不是所谓结构优良的数学试题呈现方式，然而以不完美的形态、不定型的反思，却给学生提供了批判思维的空间，一定意义上也是追求开放的数学教学和有深度的教学.

3.立足实践，以习题改编为出发点，拓展培养数学思维批判性的途径

文3专题论述“数学教学中思维批判性的培养”，明确指出了培养数学思维批判性的三个途径：比如，激发学生向权威挑战，培养质疑精神；引导学生辨析错误，提高识别能力；让学生自我纠错，提高自我评价能力；鼓励学生构造反例，培养反驳能力.对应来看，我们在上文中的例1第（2）问则是鼓励学生构造反例，渗透反证意识；例3改编题的第（2）问则是鼓励学生辨析错误，反驳错误.

三、写在最后

华东师大终身教授钟启泉教授指出：“知识经济时代是崇尚‘批判性思维’的时代，因为它是推动知识社会前进的主要动力.”［4］钟教授不无忧虑地指出“我国的‘批判性思维’与‘批判性思维教学’的研究几乎是一片空白”.希望更多的一线教师能立足实践，为数学教学中的批判性思维的训练和研究提供一些实践性智慧.当然，我们的努力还很初步，微不足道，供有识之士批判.

1.陈金辉.例谈数学思维的批判性［J］.数学通报，2001（1）.

2.孙四周.把数学问题还原为数学现象——谈“基于活动与体验的例题教学”［J］．数学通报，2015（10）.

3.唐绍友．数学教学中思维批判性的培养［J］．数学通报，1996（8）.

4.钟启泉．“批判性思维”及其教学［J］．全球教育展望，2002（1）.

5.刘东升．经历问题生成，深刻理解教材——人教八上“每日一题”的命题实践与思考［J］．中学数学（下），2014（4）