探寻多元解法彰显试题特色

☉江苏省无锡市太湖格致中学 陈锋

☉江苏省无锡市东林中学 顾宏萍

探寻多元解法彰显试题特色

☉江苏省无锡市太湖格致中学 陈锋

☉江苏省无锡市东林中学 顾宏萍

中考试题是命题专家集体智慧的结晶，是引领教师教学重要的“指挥棒”.通过对试题特色的剖析，可以更好地领悟中考试题的评价功能.2015年无锡市中考试卷的第27题就是命题专家反复思量出的一道好题.它是以学生熟悉的一次函数和二次函数为研究对象，以直角坐标系为载体，通过精心设计和巧妙提问，不仅让试题内涵深厚，层层深入，而且还给学生解题提供了广阔的思维空间.下面，笔者就结合此题的不同解法，来谈一谈个人的几点感悟和思考.

一、试题呈现

图1

（1）求点C的坐标.

（2）设二次函数图像的顶点为D.

①点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式.

②CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式.

二、解法分析

本题的第一问，只要学生基础扎实、思路清晰，结合题目条件稍加分析，很容易获得答案，方法也较为一致.从阅卷情况反馈看，第一问得分率较高；而对于第二问的问题②，学生的解法有很多，因此，笔者对此题第二问的问题②学生的解法进行了一些探究，从而对问题②的解法也有了更多的感悟，现将问题②的解法整理归类，供大家参考.

1.立足表面条件，直接建立方程，展示直观性

由于此题入口很宽，题目条件表述很清楚，同学们能根据题目给的条件，直接建立方程求解.即由点A、点D分别在直线和抛物线上的条件，分别用a、c、m设点A、D的坐标，并用含m的代数式表示线段AC，根据AC=CD、S△ACD=10及点A在抛物线y=ax2-4ax+c上这三个条件构建三个方程并进行求解.

由S△ACD=10，可得

点评：用此方法解题的学生一般学习认真，基本功扎实，但思维尚不够灵活，只能根据题目表面条件按部就班地寻找到三个关于a、c、m的方程，虽然方程易得，但运算量较大．同时，阅卷中发现还有部分考生只能列出其中的一个或两个方程，或许因为感觉条件不足无法求解而放弃．

点评：此解法已经比解法1的运算简化了很多，主要是因为考生能看出可以将-4a+c作为一个整体，先求解m的值即可求得点A的坐标，并且通过求出-4a+c的值直接可得点D的坐标，通过点A、点D的坐标可得二次函数的关系式．用此方法解题的同学虽然也是从题目表面条件入手，获得方程，但是做题的目标意识明显要强于用解法1的同学，知道只需要求m、-4a+c即可求点A、D的坐标，并且解题时具有整体思想，从而使题目得解．但总体来讲，这两种方法的思维灵活度都不高，导致对运算能力的要求很高．阅卷中发现．用此类方法解题，很少有人能够顺利完成全部解答、得到满分．

2.转换有效条件，间接构建方程，体现思维力

如果仔细研究题目所给的条件AC=CD、S△ACD=10，发现要求得点A、D的坐标，其实只要根据点A在直线上这一条件，设点然后根据点A、C都在直线y=上得到AC的长，即线段CD的长，根据S=10构建一△ACD个关于m的方程．

图2

图3

点评：这一解法是有效转换条件，进而间接构建方程，如利用线段相等这一有效条件，用含一个字母的代数式来表示两条线段，借助三角形的面积这一条件得到关于m的一个方程，并且理解并掌握一次函数的一次项系数k的几何意义，并能灵活运用，使得运算简便很多.也有同学先根据题目所给的几何条件AC=CD、S△ACD=10，研究△ACD的特征，再根据点A、C都在直线，即已知这个等腰三角形的顶角的三角函数，并且三角形面积已知，转化为求解三角形的腰长，即AC、CD的长，随后根据线段长转换为点A、D的坐标，再求解二次函数的表达式．

点评：用这一解法的同学，在解题之前能筛选题目的有效条件，认真分析条件，明确解题目标，有效转换条件，整理解题思路，构建方程，解题条理清晰．阅卷中发现，有很多考生按解法4作答，这是非常可喜的现象．

3.挖掘隐性条件，巧妙创建方程，凸显简洁美

上述四种方法其实是一个体系，从解法1到解法4，解题分析越来越清晰，自然解题过程也越来越简单．可以先通过三角形的条件求得线段条件，再进行坐标转换，则运算将大为简化，但是就解法而言，这4种解法还是不够简洁．

图4

点评：这是一种非常规的解法，简洁明了且思路清晰，充分运用到AC=CD、点C为定点等条件，通过构建等腰△COE，运用它与△CAD的相似关系求得CD的长，思路巧妙，运算过程大大简化，凸显简洁美．笔者觉得，用这一解法的考生“图感”很好，对数学各知识点的综合运用能力也很强．

三、特色彰显

1.立足学生基础，设问有层次、区分度高

《义务教育数学课程标准》（2011年版）中特别强调“以学生发展为本”，这不仅在课程设计、教材的开发、教法的运用上得到有效的理解和落实，而且在考试评价上也应该得到真实的体现．本题的表述简洁明了，不同层次的学生对题意均能一目了然，而且命题者对问题的设置精确到位，体现出科学的层次性，让整道题目具有低起点，小坡度，但综合性较高的特点．问题的巧妙设置，从形式上看相对独立，但其实质却在层层推进，问题（1）求点C的坐标，只要学生审题仔细，即可较为顺利地得到答案，既注重了对“双基”的考查，又实现了面向全体学生的命题要求，体现了对基础薄弱学生的关爱，突出了试题的人文性．问题（1）的顺利解决不仅增强了学生探究的乐趣、信心和勇气，也为问题（2）的解决打下了基础．问题（2）的第一小问是在问题（1）的基础上增加了探究的条件，提高了解决的难度，考查了函数与面积、点与线的关系，属于中等层次知识的问题，问题（2）的第二小问则是改变了第一小问的条件，适当增加了探究的难度，拓展了探究的空间，属于较难的层次，体现了试题的层次性，区分度高，凸显了试题的选拔功能．我们一线教师为这样的低起点、拾级而上、层次明显的试题叫好！

2.探寻多元化解答，拓展思维能力的考查

评价好题的标准是多样的，对能力的适度考查是其中一个重要的指标，解题方法的多样化是达成这一指标的途径之一．本题具有多元化解答．其一是源于题目本身丰富的内涵，本题借助两种函数和半张图（其他需要学生根据题意画出），构图简洁明了，题目行文简约流畅，让题目显得更为自然灵动，这些都为解法的多元提供了广阔的空间．其二是源于命题者精心的设计，把初中数学几个核心知识点（函数、方程、面积、相似）联系起来考查，给了学生很大的思考空间和解题平台．本题多样化的解法为不同基础的学生提供成功的可能．虽然方法有多种，但都殊途同归，着眼于条件的转化和点的坐标表示，如将几何条件（S△ACD=10、CE∶AE∶AC=3∶4∶5等条件）转化为坐标条件（点A、D的坐标），从而求得所要求的二次函数的表达式，即通过面积这个已知条件建立方程求解，其本质都是通过函数思想、形数转换把问题转化成求方程或方程组的解．其三，从上述分析可见，学生的解题差异不仅是知识技能层面，更重要的是反映了考生数学思想运用能力的差异和信息整合能力的差异及在思维能力方面的差异，这道具有层次性和思维探究性的精彩试题，它对日常教学必将产生良好的导向，它启示我们数学教学除了加强对基本知识和基本技能的训练，更要注重对学生数学思考习惯的培养，强化数学思维能力的训练，不仅关注学习的结果，更要关注学习的过程，要有面对题目积极探索的精神．让学生能在陌生的情景中，从已知条件入手，运用已有知识、技能、方法进行分析探索，寻求解题思路，正确解题．

品读着这道颇具韵味的试题，回味着上述多彩的解答，处处展现着学生解题的灵感，展现数学的精彩和魅力．其实我们的教学所追求的目标不就是如此吗？但愿会有更多“有韵味”的试题出现，促使我们去思量，去体会，去分享！

1.陈锋，薛莺，章伟伟.多元化的“微探究”：从机械记忆走向理解建构［J］.中学数学（下），2013（9）.

2.仲玲玲.紧扣教学环节渗透数学思想——谈检测讲评课中数学思想的教学策略［J］.中学数学（下），2013（10）.Z