从“形”的角度感知“数”的大小——“有理数大小比较”的教学及感悟

☉江苏省如皋市东陈镇东陈初级中学 徐海燕

从“形”的角度感知“数”的大小
——“有理数大小比较”的教学及感悟

☉江苏省如皋市东陈镇东陈初级中学 徐海燕

数轴是初中阶段的第一次数形结合，它是学生研究有理数、实数的表示、大小比较及运算的重要工具.在七年级上学期的“有理数大小比较”教学中，笔者借助数轴从“形”的角度捕获数的信息，让学生直观感知有理数之间的大小关系，数轴的教学价值得以充分发挥.现呈现这一教学历程，并谈一些个人的感悟，希望能给您带来启示.

一、“1.2.4绝对值”（有理数的大小比较）教学片断

图1

师：请同学们说说数轴上显示的这些数的大小关系.

生1：6最大，0最小.

师：你能用“＜”将这几个数连在一起吗？

生2：0＜1＜2＜3＜4＜5＜6.

师：很好！这里给出的数是些什么数？

生3：正数和0.

师：对！能说说正数和0有着怎样的大小关系吗？

生4：正数大于0.（教师板书）

师：能说出一个比6大的数吗？

生5：7.

师：还有吗？

生6：8.

生7：9.

……

师：这样的数有多少个呢？

生8：无数个！

师：表示这些数的点在数轴的什么位置上呢？

生9：应该在表示数6的点的右边.

师：是吗？

生10：是的.越往右，正数越来越大，过了表示6的点，这些点表示的数都比6大.

师：哪些数比6大得多一些呢？

生11：过了表示数6的点，越往右，比6大得就越多.

师：真不错！能说一个比6小的数吗？

生12：5.

师：除了这里标出来的，还有其他的吗？

生13：5.1.

生14：4.5.

生15：3.5.

生16：0.0001.

师：表示这些数的点又在数轴的什么位置上呢？

生17：在表示数6的点的左边.

师：表示数6的点的左边除了我们刚刚列出的这些数，还有其他数吗？

生18：还有负数！

师：说几个.

生19：-1.

生20：-2.

生21：-100.

生22：-10000.

（投影：将图1中的数轴向左延伸，如图2）

图2

师：这样的数还有多少个？

生23：无数个！

师：在比6小的数中，你能不能找出最小的数呢？

生24：-100000.

生25：不对，-100000000.

生26：我觉得，他们俩说得都不对，应该还有更小的数！

师：在哪儿呢？

生27：在-100000000的左边还有很多数，这些数应该都比-100000000小.

师：是吗？

生28（有点儿犹豫）：应该是的吧！

师：能给出理由吗？

生29：从图1中，我发现，越往右，数轴上的数越大，从图2中，我发现，越往左，数轴上的数越小.所以在-100000000的左边还有数，比如-100000001，它应该比-100000000小.

师：从数轴上看，比6小的数中，有没有最小的数呢？

生（齐答）：没有！

师：结合数轴，我们发现了“正数和正数、正数和0”的大小关系，你能说说正数和负数、负数和0还有两个负数的大小关系吗？

生30：正数大于负数.（教师板书）

师：为什么？

生31：正数和负数之间隔着个“0”，正数在0的右边，而负数在“0”的左边，所以正数大于负数！

师：好的！那么0和负数呢？

生32：0大于负数.（教师板书）

师：负数和负数呢？

（部分学生窃窃私语，教师扫视全班，稍作停顿后，示意一生作答）

生33：看谁在左边，左边的那个数小一些.

师：有道理！数学上有这样的规定.

（投影：在数轴上表示有理数，它们从左往右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数）

师：一个负数越往左，说明它离原点的距离越远，也就是……（教师停顿下来，请一生作答）

生34：它的绝对值越大.

师：说得真好！绝对值是大了，可这个数实际上怎样了呢？

生（齐答）：小了！

师：请用一句话来概括一下你们的发现！

生35：两个负数，绝对值大的反而小.（教师板书）

师：太棒了！这样一来，我们就得出有理数大小比较的方法了！接下来，就请大家应用这里归纳出的方法，比较下面这几对有理数的大小！

二、片断分析

负数引入后，数域得到了拓展，与之配套的数的表示、大小比较和运算等，均需进行相应地调整.数轴是在人们约定俗成下生成的知识，它的出现能让学生体会数和形是有着密切联系的，有利于学生将数的问题与形的问题进行互相转化，另辟蹊径，找寻化解问题的新路径.案例中，教者紧扣学生已有的知识与经验，从一根不标注负数的数轴入手，让学生比较“数轴上显示的这些数的大小”.负数的缺失，唤醒的是学生比较正数与正数、正数与0的大小的经验，让这些存在于学生认知结构中的知识与经验找出了新的载体——数轴.通过数的大小关系向点的左右位置的转化，找寻“比6大的数中最大的数”，虽然求而不得，但向学生传递了借助数轴可以发现数学结论的信号，同时，还让学生充分感知到“数轴上，越往右的点表示的数越大”；找寻“比6小的数”，学生除了在现有数轴（图1）上捕捉，在教师的引导下，它们还将数轴及时延伸，让负数走上了前台，找寻“此中最小的数”，让“数轴上，越往左，数会越小”成为学生的共识.此时，“一个负数越往左，说明它离原点的距离越远”，让刚刚学到的绝对值的知识巧妙地出现在教师的导语中.数的大小在形上的充分展示，为比较两个负数的大小扫清了障碍，彻底成就了“有理数大小比较方法”的生成.在这则片断中，教师立足于学生的旧知，让学生从旧的知识与经验出发，在熟悉的知识应用中将认知难点逐一击破，培养了学生的技能，推动着学生数学素养的整体提升！

三、教学体会

1.依形知数，巧妙渗入数学思想

数学学习中，图形能给人以直观的感知.在认知活动中，为数学探究配上相应的图形将有利于激发学生的学习兴趣，引发他们的数学思考.现行教材中，很多单纯的数的知识都有着相应的图形背景，学生可以在阅读分析及解题应用中形成认知“兴奋点”，有效唤醒“沉睡”着的“四基”.其中，图形与数字的有效结合，让不同的数学思想合理渗透到学生的认知历程之中，非常有利于学生的体验和感悟.分析上述案例，在学生“依形认数”的过程中，不同知识形式的转化让形象思维与抽象思维反复交替出现，转化思想、数形结合思想、极限思想及分类讨论思想均巧妙地渗透在教学进程之中：数值与数轴上的点的互相转化，抽象的数与形象的数轴巧妙地粘连在一起，“数的问题”最终以“形的名义”加以解决，数形结合在师生的探究与交流中几乎无处不在；找“比6大的数中最大的数”和“比6小的数中最小的数”，虽然学生没有也不可能找到这样的数，但是数轴辅助认知的功效在此被发挥得淋漓尽致，“无限往左、无限往右”在强化数轴认知的同时，还让极限思想巧妙融入教学之中；此外、教学进程中还渗入了分类讨论思想，教师首先从一个没有标注负数的数轴入手，引导学生从两个正数大小比较开始，沿着数轴逐步过渡到“正数和0，正数和负数，负数和0，负数和负数”等的大小比较，随着负数与负数大小比较方法的呈现，本课所有用来进行比较的类别已经全部呈现，这样的过程经历对刚入初中的学生来说是十分难得的.

2.以旧带新，促进新知和谐生长

据维果斯基的最近发展区理论，我们的教学应立足于学生的已有知识和经验，在旧知中找寻并建构出新知的“生长点”和新旧知识的“关联点”，为新知识的融合入网与二度应用夯实基础.应该说，有理数大小比较，学生不仅有知识基础，还有充分的经验基础.前两个学段，他们已经深入研究了两个正数及正数与0的大小比较的方法.对两个同类别的数，如两个整数、两个分数、两个小数等，都已经分类探究并获得了统一的方法，研究与应用都十分深入而透彻；对两个不同类别的数，他们也已经学会了合理转化，通过外形的化归将其转化为同类别的数再加以比较.学生获得的这些数学知识和隐形的探究经验，具有极大的延展性，是学生进一步认知新数域内的大小比较方法的基础.因此，我们的教学就应该从这些知识出发，从已有方法的简单应用出发，适度调整已有方法，并将其适用范围进一步拓宽，以推动新知的生成.很明显，案例中的教学历程正是沿着这一思路设计与开展的.教者首先用“特殊的数轴”引入新课，让学生应用这一没有负数标注的数轴确定标注出的数的大小，并找寻“比6大的数”和“比6大的数中最大的数”，以此引入“在数轴上表示有理数，它们从左往右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数”，从形上为新知的生成扫清了障碍.事实上，教者能以数轴来引领学生展开学习，本身就是对旧知的一种准确定位，数轴是学生进入初中后接触到的第一个具有工具性质的数学知识，让有理数的大小比较建立在这一工具之上，是再合适不过的了！

3.渐进引导，规范个体认知历程

数学知识的形成与应用与学生的认知规律一样，都是循序渐进和螺旋上升的.数学教学理应在这一规律的指引下进行，既要保证知识教学的到位，还应满足学生发展的需求.有理数大小比较，是学生小学阶段数的大小比较认知的自然延续.在前两个学段，学生已经建立起来两个数大小比较的完整知识体系.进入初中，负数引入后，数域被拓展，形成了“有理数”数域.自然而然地，在数域拓宽后，由数域变化带来的一系列知识扩充是一定要进行的.然而，学生获取有理数大小比较的方法，几乎是在他们进入初中后就立即展开的，其阅读分析和合作探究的水平均不足以让他们从教材中直接获取知识.因此，教师为学生的认知活动设置多个台阶.教师先呈现学生熟悉的“不标注正数的数轴”，开启了正数大小比较方法的应用历程；基于正数大小比较之上的追问，将数轴向右延伸，巩固了数轴是直线的认知，同时也让学生感知了“数轴上右边的数比左边的数大”；追问“比6小的数”，为的是引入在0左边客观存在的负数，学生的思维被巧妙地向前推进了一大步；最终，对负数大小比较方法的归纳，更是将遵循了数学认知的基本规律，按照数字、图形、文本的顺序逐级呈现，数学知识逐步由形象走向抽象.教师的这种渐进式引导，给这些学习习惯处于“衔接期”的学生指明了学习的方向，通过规范了的认知历程的经历，不仅让他们获取了新的知识，还有效锻炼了他们的数学思维，学习的方法和学习的能力在此过程中同样得到了大幅度提升.Z