知识与能力并重方法与思想兼顾——以“圆”为例谈复习课的例题设计

☉江苏省泰州市苏陈中学 韩新正

知识与能力并重方法与思想兼顾
——以“圆”为例谈复习课的例题设计

☉江苏省泰州市苏陈中学 韩新正

初三复习除了梳理概念、构建知识框架等，还离不开例题的选择和教学，选择什么样的例题是每个初三老师都必须面对的问题.本文以“圆”这一章为例，立足“知识与能力并重，方法与思想兼顾”的选题思路，谈谈复习课的例题选择和设计，供参考.

一、设计理念

1.教学内容分析

本文以苏科版《义务教育教科书·数学》为复习用书，本书关于“圆”这一章内容中的“垂径定理”和“切线长定理”标注了“※”号（不作为考试内容）；删除了“弦心距”、“圆的两条平行弦所夹的弧相等”、“圆与圆的位置关系”等内容，这和《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求是一致的.本章的复习重点是点和圆的位置关系，圆的切线的性质和判定定理；难点是借助于例题教学，归纳解题方法，形成数学思想，培养学生“通性通法”的解题能力，养成“回到概念”的解题习惯.

2.例题编排意图

本章例题选择的策略是放慢节奏，小坡度起步，教学目标分阶段达成.对每道例题，力求从知识、方法、能力、数学思想多个方面进行挖掘，充分发挥例题的最大效益.例1尽量多地涵盖“圆”中涉及的基本概念和知识，目的是借助于例题梳理本章知识结构，同时关联其他知识，如直角三角形、勾股定理、锐角三角函数、特殊四边形的判定和性质、二次根式的化简等知识；例2突出“模型思想”教学，使学生会从生活背景中抽象出数学模型，初步感知解答圆的“通法”；例3侧重解题方法归纳，通过列方程、运用相似形、构造勾股定理等方法解题，归纳解题方法，提炼解题思想，培养学生“通法”解题习惯；例4综合运用所学知识，引导学生关注中考重点和热点，在传统题中注入时尚元素，培养学生“用数学思考”的习惯.比如，通过巧妙编排，融合平面直角坐标系、函数、点的运动等，培养学生综合解决问题的能力.

二、例题设计

例1如图1，已知：P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是圆上一点，连接PD，且圆的半径r=4，PC=PD=BC．下列结论：①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO=AB；④∠PDB=120°；⑤（的长为正确的序号是____________________.

图1

图2

解析：①如图2，连接CO，DO，由PC与⊙O相切，得∠PCO=90°，易证△PCO≌△PDO（SSS），得∠PCO=∠PDO=90°，所以D与⊙O相切.

②易证△CPB≌△DPB（SAS），由BC=BD，得PC= PD=BC=BD，所以四边形PCBD是菱形.

③连接AC，易证△PCO≌△BCA（ASA），得AC=CO，所以AC=CO=AO，得∠COA=60°，所以∠CPO=30°，PO= AB.

④根据四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，得DP=DB，所以∠DPB=∠DBP=30°，得∠PDB=120°.

⑤在Rt△PCO中，∠PCO=90°，∠CPO=30°，得∠POC=60°，所以∠DOC=120°，的长

说明：本例设计的目的，主要帮助学生系统整理本章基本知识，并进一步关联起和圆有密切联系的相关知识，帮助学生建构解决圆的问题的知识体系，同时，对本章题目的解题方法、思想方法进行渗透，两次通过“全等三角形的判定”解决问题，引导学生发现“全等三角形的判定”是解决这部分题目的“通法”，为解决综合题准备知识和方法.

例2如图3是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA、OB、OC抽象为线段，有OA=OB=OC，且∠AOB=120°，折线NG—GH—HE—EF表示楼梯，GH、EF是水平线，NG、HE是铅垂线，半径相等的小轮子⊙A、⊙B与楼梯两边相切，且AO∥GH.

图3

图4

图5

解析：（1）如图4，设P为⊙B与HE的切点，连接BP并延长，过点O作OL⊥BP于点L，交GH于点M，所以∠BPH=∠GHE=90°，所以BL∥GH.因为AO∥GH，所以BL∥ AO∥GH.因为∠AOB=120°，所以∠OBL=60°.又因为OL∥HE，所以∠BHP=30°.在Rt△BPH中

（2）如图5，作HD⊥OB，设P为⊙B与HE的切点，连接BP，PH的延长线交BD的延长线于点L，所以∠LDH=∠LPB=90°，所以△LDH∽△LPB，所以AO∥PB，∠AOD=120°，所以∠B=60°，所以∠BLP=30°，所以DL=■3DH，LH=2DH.因为因为0≤DH≤3，所以解得

说明：本例的设计基于两点考虑，一是对课标核心概念“模型思想”的建立，让学生经历三个小轮的手拉车在“爬”楼梯的情境，从中抽象出几何图形，并利用相似三角形、解直角三角形、特殊角的三角函数等知识求解模型的过程；二是培养学生解决问题的能力，设计具有实际背景的问题，本例的手拉车是现实生活中常见情景，从这一常见的背景中，引导学生思考并解决问题.

例3如图6，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A， OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.

（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；

（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围.

图6

图7

解析：（1）略.

（2）延长AP交⊙O于点D，连接BD，设圆的半径为r，则由OA=5，OP=OB=r，在Rt△ABO中，AB2=OA2-OB2=52-AC，所以52-r2=-（5-r）2，解得r=3，所以AB=AC= 4.因为PD是直径，所以∠PBD=90°=∠PAC.因为∠DPB=∠CPA，所以△DPB∽△CPA，所以所以⊙O的半径是3，线段PB的长

（3）如图7，作线段AC的中垂线MN，过点O作OE⊥ MN，所为⊙O与直线MN相交，所⊙O与直线l相离，所以r＜5，所

说明：本例设计侧重于基础知识和基本技能的训练，使学生养成“回到概念”解题的良好习惯.本例具有代表性、典型性，有着一类题目共性的解法，能通过例题的讲解，使学生获得解一类题目的方法，并形成稳定的思维模式.

（1）求证：直线FC是⊙A的切线；

（2）求点C的坐标及直线FC的解析式；

（3）有一个半径与⊙A的半径相等，且圆心在x轴上运动的⊙P.若⊙P与直线FC相交于M、N两点，是否存在这样的点P，使△PMN是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

图9

解析：（1）略.

（3）存在，当点P在点C左侧时，若∠MPN=90°，过点P作PH⊥MN于点H，易证△CPH∽△CAF，点P在点C右侧时，记为P′，设∠M′P′N′=90°，过点P′作P′Q⊥M′N′于点Q，则P′Q=P′Q=PH，可知P′与P关于点C中心对称，根据对故存在这样的点P，使得△PMN为直角三角形，P点坐标

说明：本例一方面考查学生综合运用知识解决问题的能力，另一方面让学生感受到“通法”的力量，很多难题都是通过转化为基本题目或基本方法（通法）来解决的.本例中第（3）问难度较大，但解题思路正常，不强调技巧，在顺利解答前面的问题后，充分利用第（1）、（2）问的结论和思路，第（3）问的解决顺理成章.

三、几点思考

例题教学以“题目串”的形式展开为好，让不同的例题承载不同的作用，相互结合，共同发挥教育功效.例题设计既要注重知识关联，又要注重能力发展；既要归纳解题方法，更要提炼数学思想；既要突出教学重点，也要关注中考热点.

1.知识与能力并重

设计“题目串”要起点低，坡度小，图形简单，但知识点的容量大，便于学生系统建构知识体系，感悟解题方法，培养解题能力，做到知识与能力并重.例1的设计以知识梳理为主，为解答题目做相关知识准备，例3的第（3）问利用临界位置（或特殊位置）求参数的取值范围，这一设计不仅考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、圆的知识，同时也培养了学生的空间想象能力.这些题目的设计不仅体现了数学知识、技能、经验的内在价值，更突出了对学生运用这些知识的能力培养.

2.思想与方法兼顾

利用典型例题教学，不仅能使学生获得基础知识和基本技能，更能掌握解题“通法”，深化数学思维.例2创设的“三轮车上楼”这一生活背景，既体现了“数学模型”思想，让学生感受到数学来源于生活，又归纳出解答本章习题的“通法”，即构造“相似三角形和勾股定理”.例3通过求参数的取值范围提炼出运动模型，并借助特殊位置巧妙解题.例4通过分类讨论，让需要考虑的点（位置）不漏不重，并顺势提炼出分类思想.上述设计不仅使学生获得了解题方法，更培养了学生的思维能力，收获了数学思想，真正做到了思想和方法的兼顾.

3.重点与热点并行

重点知识是一章的核心知识，它既是学习的重点，也是考试的重点.围绕核心知识，不仅要注重知识的建构，更要加强相关题型的归纳.热点题型就是结合生活背景，注入时尚元素，综合各章知识的综合题，旨在引导学生关注生活、关注社会、灵活运用所学知识和方法去解决问题，教师一定要关注重点和热点题型，加强对这些题目的研究和总结，以适应课标和社会需要“.切线的性质与判断定理”是本章的重点知识，笔者在4个例题中均有体现，并渐次深化对该知识的认识，不断归纳切线的解题方法.同时，对生活中的“三轮车上楼”、点的运动、参数变化范围、函数与圆的结合、圆与点的运动等热点题型均给予重视，所以，中考复习时，重点与热点并行，两者不可偏颇.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.陈志勇．同步中考：二轮复习课的教学指向［J］．中学数学（下），2015（1）.

3.高之风．透视中考热点——动态问题的求解策略［J］．中学数学（下），2013（1）